第11讲 一元一次方程及其解法2 解析版.docx
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第11讲一元一次方程及其解法2解析版
第11讲一元一次方程及其解法
（2）
一、知识梳理
1.解一元一次方程（去括号）
【例1】.
（1）方程3x﹣2（x﹣3）＝5去括号变形正确的是（ ）
A．3x﹣2x﹣3＝5B．3x﹣2x﹣6＝5C．3x﹣2x+3＝5D．3x﹣2x+6＝5
【分析】由去括号法则可得3x﹣2（x﹣3）＝3x﹣2x+6．
【解答】解：
3x﹣2（x﹣3）＝3x﹣2x+3×2＝3x﹣2x+6＝﹣x+6，
故选：
D．
（2）解方程：
x﹣2（8﹣x）＝5；
【分析】根据解一元一次方程的步骤求解即可；
【解答】解：
去括号得，
x﹣16+2x＝5，
移项合并同类项得，
3x＝21，
系数化1得，
x＝7．
（3）对任意有理数a、b，规定一种新运算“⊗”，使a⊗b＝3a﹣2b，例如：
5⊗（﹣3）＝3×5﹣2×（﹣3）＝21．若（2x﹣1）⊗（x﹣2）＝﹣3，求x的值．
【分析】这种运算，等于第一个数的3倍减去第二个数的2倍，根据题中条件列出方程求解即可．
【解答】解：
根据题意得：
3（2x﹣1）﹣2（x﹣2）＝﹣3，
去括号得：
6x﹣3﹣2x+4＝﹣3，
移项得：
6x﹣2x＝﹣3+3﹣4，
合并同类项得：
4x＝﹣4，
系数化为1得：
x＝﹣1．
答：
x的值为﹣1．
【变式训练1】.
（1）一元一次方程2（x﹣1）＝5x﹣8的解为（ ）
A．x＝﹣2B．x＝2C．x＝﹣3D．x＝3
【分析】方程去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：
去括号得：
2x﹣2＝5x﹣8，
移项得：
2x﹣5x＝﹣8+2，
合并得：
﹣3x＝﹣6，
解得：
x＝2．
故选：
B．
（2）解方程：
2x﹣3（2x﹣3）＝x+4；
【分析】去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．
【解答】解：
去括号，可得：
2x﹣6x+9＝x+4，
移项，可得：
2x﹣6x﹣x＝4﹣9，
合并同类项，可得：
﹣5x＝﹣5，
系数化为1，可得：
x＝1．
（3）对于有理数a，b，规定一种新运算：
a*b＝ab+b．
（1）计算：
（﹣3）*4＝ ﹣8 ；
（2）计算：
5*[（﹣3）*2]的值；
（3）若方程（x﹣4）*3＝6，求x的值．
【分析】
（1）原式利用新定义化简即可求出值；
（2）原式利用新定义化简即可求出值；
（3）已知等式利用新定义化简，计算即可求出x的值．
【解答】解：
（1）根据题中的新定义得：
原式＝﹣12+4＝﹣8；
故答案为：
﹣8；
（2）根据题中的新定义得：
原式＝5*（﹣4）＝﹣20﹣4＝﹣24；
（3）已知等式利用新定义化简得：
3（x﹣4）+3＝6，
去括号得：
3x﹣12+3＝6，
移项，得：
3x＝6+12﹣3，
合并同类项，得：
3x＝15，
解得：
x＝5．
2.解一元一次方程（去分母）
【例2】.
（1）解方程：
＝
．
【分析】根据解一元一次方程的步骤解方程即可求出解，即：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
【解答】解：
去分母，得：
3（x+1）＝2（x+2），
去括号，得：
3x+3＝2x+4，
移项，得：
3x﹣2x＝4﹣3，
合井同类项，得：
x＝1．
（2）解方程：
＝
﹣1．
【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：
去分母得：
4x﹣2＝2x+1﹣6，
移项合并得：
2x＝﹣3，
解得：
x＝﹣1.5．
（3）解方程：
＝﹣6．
【分析】方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：
方程整理得：
﹣
＝﹣6，
去分母得：
3（3x﹣1）﹣2（2x+9）＝﹣36，
去括号得：
9x﹣3﹣4x﹣18＝﹣36，
移项合并得：
5x＝﹣15，
解得：
x＝﹣3．
【变式训练2】.
（1）解方程：
．
【分析】方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可．
【解答】解：
，
去分母，得2（2x+3）＝10﹣5（x﹣4），
去括号，得4x+6＝10﹣5x+20，
移项，得4x+5x＝10+20﹣6，
合并同类项，得9x＝24，
系数化为1，得
．
（2）解方程：
＝2．
【分析】先把方程化简，再根据解一元一次方程的基本步骤求解即可．
【解答】解：
＝2，
化简，得
，
去分母，得6x+45﹣（10x﹣1）＝6，
去括号，得6x+45﹣10x+1＝6，
移项，得6x﹣10x＝6﹣1﹣45，
合并同类项，得﹣4x＝﹣40，
系数化为1，得x＝10．
二、课堂训练
1．解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（ ）
A．﹣4x+1＝﹣xB．﹣4x+2＝﹣xC．﹣4x﹣1＝xD．﹣4x﹣2＝x
【分析】可以根据乘法分配律先将2乘进去，再去括号．
【解答】解：
根据乘法分配律得：
﹣（4x+2）＝x，
去括号得：
﹣4x﹣2＝x，
故选：
D．
2．将方程
＝1去分母得到2（2x﹣1）﹣3x+1＝6，错在（ ）
A．分母的最小公倍数找错
B．去分母时漏乘项
C．去分母时分子部分没有加括号
D．去分母时各项所乘的数不同
【分析】根据等式的性质，将方程
＝1去分母得到2（2x﹣1）﹣3x+1＝6，错在去分母时分子部分没有加括号，应该是：
2（2x﹣1）﹣3（x+1）＝6．
【解答】解：
将方程
＝1去分母得到2（2x﹣1）﹣3x+1＝6，错在去分母时分子部分没有加括号．
故选：
C．
3．规定一种新运算：
a⊗b＝a2﹣2b，若2⊗[1⊗（﹣x）]＝6，则x的值为（ ）
A．﹣1B．1C．2D．﹣2
【分析】首先根据题意，可得：
1⊗（﹣x）＝12﹣2×（﹣x）＝1+2x，所以2⊗（1+2x）＝6，所以22﹣2（1+2x）＝6；然后根据解一元一次方程的方法，求出x的值为多少即可．
【解答】解：
∵a⊗b＝a2﹣2b，
∴1⊗（﹣x）＝12﹣2×（﹣x）＝1+2x，
∵2⊗[1⊗（﹣x）]＝6，
∴2⊗（1+2x）＝6，
∴22﹣2（1+2x）＝6，
去括号，可得：
4﹣2﹣4x＝6，
移项，可得：
﹣4x＝6﹣4+2，
合并同类项，可得：
﹣4x＝4，
系数化为1，可得：
x＝﹣1．
故选：
A．
4．下列方程变形中，正确的是（ ）
A．方程3x﹣2＝2x﹣1，得3x﹣2x＝﹣1﹣2
B．方程3﹣x＝2﹣5（x﹣1），得3﹣x＝2﹣5x﹣1
C．方程
y＝
，得y＝1
D．方程
＝1，得3x＝6
【分析】各方程变形得到结果，即可作出判断．
【解答】解：
A、方程3x﹣2＝2x﹣1，得3x﹣2x＝﹣1+2，不符合题意；
B、方程3﹣x＝2﹣5（x﹣1），得3﹣x＝2﹣5x+5，不符合题意；
C、方程
y＝
，得y＝
，不符合题意；
D、方程
﹣
＝1，得5x﹣5﹣2x＝1，即3x＝6，符合题意．
故选：
D．
5．解一元一次方程
＝4﹣
时，去分母步骤正确的是（ ）
A．2（x﹣1）＝4﹣3（2x+1）B．2（x﹣1）＝24﹣（2x+1）
C．（x﹣1）＝24﹣3（2x+1）D．2（x﹣1）＝24﹣3（2x+1）
【分析】方程去分母得到结果，即可作出判断．
【解答】解：
解一元一次方程
＝4﹣
时，去分母得：
2（x﹣1）＝24﹣3（2x+1）．
故选：
D．
6．当x＝ 7 时，
的值是2．
【分析】首先根据题意，可得：
＝2，然后去分母、移项、合并同类项，求出方程的解是多少即可．
【解答】解：
根据题意，可得：
＝2，
去分母，可得：
x﹣1＝6，
移项，可得：
x＝6+1，
合并同类项，可得：
x＝7．
故答案为：
7．
7．定义一种新运算：
a*b＝
a﹣
b．若（x+3）*（2x﹣1）＝1，则根据定义的运算求出x的值为 5 ．
【分析】根据定义列出方程，再根据解一元一次方程的步骤求解即可．
【解答】解：
根据题意，
得
，
去分母，得3（x+3）﹣2（2x﹣1）＝6，
去括号，得3x+9﹣4x+2＝6，
移项，得3x﹣4x＝6﹣2﹣9，
合并同类项，得﹣x＝﹣5，
系数化为1，得x＝5．
故答案为：
5．
8．若代数式
与x﹣3互为相反数，则x＝ 2 ．
【分析】根据互为相反数的两个数的和为0列出方程，解方程即可．
【解答】解：
根据题意得：
+x﹣3＝0，
解得：
x＝2．
故答案为：
2．
9．对于两个非零常数a，b，规定一种新的运算：
a※b＝a﹣2b，例如，3※2＝3﹣2×2＝﹣1．根据新运算法则，解答下列问题：
（1）求（﹣2）※5的值；
（2）若2※（x+1）＝10，求x的值．
【分析】
（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）利用题中的新定义得出关于x的一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：
（1）根据题中的新定义得：
（﹣2）※5＝﹣2﹣2×5＝﹣2﹣10＝﹣12；
（2）根据题中的新定义得：
2﹣2（x+1）＝10，
2﹣2x﹣2＝10，
﹣2x＝10﹣2+2，
﹣2x＝10，
x＝﹣5．
10．解方程：
．
【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【解答】解：
去分母，得2（3x+2）＝3（x+5）﹣6，
去括号，得6x+4＝3x+15﹣6，
移项，得6x﹣3x＝15﹣6﹣4，
合并同类项，得3x＝5，
系数化成1，得x＝
．
三、课后巩固
1．若*是规定的运算符号，设a*b＝ab+a+b，则在3*x＝﹣17中，x的值是（ ）
A．﹣5B．5C．﹣6D．6
【分析】根据a*b＝ab+a+b，3*x＝﹣17，可得：
3x+3+x＝17，据此求出x的值是多少即可．
【解答】解：
∵a*b＝ab+a+b，3*x＝﹣17，
∴3x+3+x＝﹣17，
∴4x+3＝﹣17，
∴4x＝﹣20，
解得：
x＝﹣5．
故选：
A．
2．下列解方程过程正确的是（ ）
A．2x＝1系数化为1，得x＝2
B．x﹣2＝0解得x＝2
C．3x﹣2＝2x﹣3移项得3x﹣2x＝﹣3﹣2
D．x﹣（3﹣2x）＝2（x+1）去括号得x﹣3﹣2x＝2x+1
【分析】解一元一次方程ax+b＝0的步骤是：
去分母（含有分母的一元一次方程），去括号，移项，合并同类项，系数化1．据此逐一判断即可．
【解答】解：
A、2x＝1系数化为1，得
，故本选项不合题意；
B、x﹣2＝0解得x＝2，正确，故本选项符合题意；
C、3x﹣2＝2x﹣3移项得3x﹣2x＝﹣3+2，故本选项不合题意；
D、x﹣（3﹣2x）＝2（x+1）去括号得x﹣3+2x＝2x+2，故本选项不合题意；
故选：
B．
3．解方程1﹣
＝
，去分母，去括号得（ ）
A．1﹣2x+2＝xB．1﹣2x﹣2＝xC．4﹣2x+2＝xD．4﹣2x﹣2＝x
【分析】方程两边乘以4去分母得到结果，即可作出判断．
【解答】解：
解方程1﹣
＝
，去分母，去括号得4﹣2（x+1）＝x，即4﹣2x﹣2＝x．
故选：
D．
4．代数式2ax+5b的值会随x的取值不同而不同，如表是当x取不同值时对应的代数式的值，则关于x的方程2ax+5b＝﹣4的解是（ ）
x
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
2ax+5b
12
8
4
0
﹣4
A．12B．4C．﹣2D．0
【分析】根据表格中的数据确定出a与b的值，代入方程计算即可求出解．
【解答】解：
根据题意得：
﹣2a+5b＝0，5b＝﹣4，
解得：
a＝﹣2，b＝﹣
，
代入方程得：
﹣4x﹣4＝﹣4，
解得：
x＝0，
故选：
D．
5．已知a，b，c，d为有理数，现规定一种新的运算
＝ad﹣bc，那么当
＝18时，则x的值是（ ）
A．x＝1B．
C．
D．x＝﹣1
【分析】根据行列式，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案．
【解答】解：
由题意，得
2×5x﹣4（1﹣x）＝18，
解得x＝
，
故选：
C．
6．方程x﹣2＝﹣1的解是 x＝1 ．
【分析】方程移项并合并同类项，即可求出解．
【解答】解：
x﹣2＝﹣1，
移项得：
x＝﹣1+2，
解得：
x＝1．
故答案为：
x＝1．
7．如果
x+1与﹣
x﹣1互为相反数，x的值 0 ．
【分析】首先根据题意，可得：
x+1﹣
x﹣1＝0；然后根据解一元一次方程的方法，求出x的值为多少即可．
【解答】解：
∵代数式
x+1与﹣
x﹣1的值互为相反数，
∴
x+1﹣
x﹣1＝0，
移项，可得：
x﹣
x＝0，
解得：
x＝0．
故答案为0．
8．如图的框图表示了琳琳同学解方程
+1＝
的流程，你认为琳琳同学在解这个方程的过程中从第 三 步开始出现问题，正确完成这一步的依据是 等式的基本性质1 ．
【分析】琳琳同学在解这个方程的过程中从第三步开始出现问题，应该是：
4x﹣9x＝3+2﹣6，正确完成这一步的依据是等式的基本性质1．
【解答】解：
琳琳同学在解这个方程的过程中从第三步开始出现问题，正确完成这一步的依据是等式的基本性质1．
故答案为：
三；等式的基本性质1．
9．解方程
（1）2﹣2（x﹣2）＝3（x﹣3）；
（2）
＝1．
【分析】
（1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：
（1）去括号得：
2﹣2x+4＝3x﹣9，
移项得：
﹣2x﹣3x＝﹣9﹣2﹣4，
合并得：
﹣5x＝﹣15，
解得：
x＝3；
（2）方程整理得：
﹣
＝1，
去分母得：
20x﹣3（5﹣10x）＝6，
去括号得：
20x﹣15+30x＝6，
移项合并得：
50x＝21，
解得：
x＝
．
10．用“*”定义一种新运算：
对于任意有理数a和b，规定a*b＝b2+2ab，如：
1*4＝42+2×1×4＝24．
（1）求（﹣5）*3的值；
（2）若（
）*6＝3，求a的值．
【分析】
（1）原式利用已知的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，即可求出x的值．
【解答】解：
（1）根据题中的新定义得：
原式＝32+2×（﹣5）×3＝9﹣30＝﹣21；
（2）根据题中的新定义化简得：
36+12×
＝3，
整理得：
36+3（a+1）＝3，
去括号得：
36+3a+3＝3，
移项合并得：
3a＝﹣36，
解得：
a＝﹣12．
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