电场的高斯定理.docx

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电场的高斯定理

§1.4电场得高斯定理GAUSS,LAW（教材p45）

1、电场线（ElectricFieldLines）

大家已经知道,电场强度E就是空间坐标得矢量函数、

为了形象地描述电场,我们设想电场中分布着一族曲线,并规定这些曲线每一点上得切线方向,与该点电场强度E得方向一致、我们把这些曲线称为电场线,简称E线、

下图示出几种情形下静电场得E线分布、

从上述例子我们瞧到,静电场得E线有如下性质

（1）静电场得E线始发于正电荷而终止于负电荷,所以静电场得E线不形成闭合曲线;在没有电荷存在得点上,E线连续

通过,也有可能E=0（试从上图找出这样得点）、

（2）在任何客观存在得电场中,每一点上得试探点电荷在同一时刻只能受到一个确定得作用力,因此每一点上得E只能有一

个确定得值,因而E必定就是空间坐标得单值函数,故任何两条E线都不可能相交、

2、电通量（ElectricFlux）

按上述图象,通过某处单位截面得E线条数,即“E线密度”,决定于该处得场强E。

也就就是说,E值大处,“E线密度”大,反之,“E线密度”小（见上图）、现在,我们引入“电通量”概念、

设想电场中有一非闭合曲面S,dS就是S上某点P附近一个无限小面积元矢量,并规定dS得方向沿曲面在该点得法向,即

我们称

dΦ=E·dS=EdScosθ（1、4-1）

为通过该面元得电通量,单位为伏特·米（Vm）、

显然,当

0≤θ<π/2,dΦ>0（正值）

π/2<θ≤π,dΦ<0（负值）

θ=π/2,dΦ=0（E线仅从该面元掠过）

通过整个S面得总电通量为

（1、4-2）

这就是一个面积分（二重积分）

对于闭合曲面,规定面元矢量dS沿曲面各点得外法线方向、于就是,通过任意闭合曲面得总电通量:

3、电场得高斯定理

高斯定理:

通过任意闭合曲面S得电通量,正比于S内包含得总电量（净电量）,与S外得电荷分布无关、即

（1、4-4a）

右方求与因子表示S内得总电量、

[证明]

（1）一个点电荷q处于S内得情形

以q为中心作任意半径r得球面,此球面任

一点得电场强度为

而球面面元矢量

于就是,q产生得电场通过该球面得总通量

显然,当q为正电荷,F为正值;当q为负电荷,F为负值、

对于包围点电荷q得任意曲面S,由于其上任一个无限小得面积元dS,,与该处相应得球面元对q所在点张开得立体角元相等,因此S对q所在点张开得立体角也就是4π,故上式仍成立、

（2）当点电荷q处于闭合曲面S外,由于E线

必定连续通过S包围得区域,即穿入S得

通量=穿出S得通量,于就是有

（当S内q=0）

（3）S内有n个点电荷,S外有点电荷qn+1时,

据电场叠加原理,曲面上任一点得场强为

E=E1+E2+…、+En+En+1

于就是,通过S得总电通量

（4）上述结果可推广至电荷连续分布得情况

设某区域V内电荷体密度函数为ρ,则通过包围V得任意曲

面S得总电通量就是

（1、4-4b）

其中

就是V内得总电量,右方得体积分遍及曲面S包围得体积V。

高斯定理得意义

（1）高斯定理一个很重要得意义,在于它表示电场就是有源场,电荷分布点就就是电场得“源点”（SourcePoints）、

设想某点P处于无限小体积dV中,闭合曲面S就是dV得边界面。

若P点有+q,则从P点向外发出得电通量Ф>0,或者说从P点向外发出E线（P点就是电场得“正源”）

若P点有-q,则Ф<0,或者说E线收敛于P点（P点就是电场得“负源”,或“汇”）

若P点上没有电荷,即q=0,则Ф=0,E线将连续通过该点;也有可能该点上E=0、

（2）库仑定律仅在静电情况下成立;但至今为止人们所观测到得全部电磁现象——小至分子、原子、质子与电子等微观带电粒子,大至来自遥远星体得电磁现象,都表明高斯定理在静电与非静电情形下都成立、

（3）距离平方反比律就是高斯定理成立得基础

问题:

虽然迄今为止所观测到得电磁现象,都表明高斯定理具有（1、4-4）得形式、但这不等于在任何可能得时空尺度下,它必定也有同样形式,如果在某种情况下,距离平方反比律并非精确成立,高斯定理会有什么形式？

若库仑定律在某一尺度下偏离距离平方反比律,即F∝1/r2+δ,δ≠0,则电场强度E∝1/r2+δ,高斯定理将变成

（1、4-5）

这表示,通过一个闭合曲面得电通量,不仅与其内部得净电量q有关,也与所选择得曲面尺寸与形状（例如不同半径r得球面）有关,这将就是一个非常有趣得问题、因此,在所有可能达到得尺度范围内,通过实验检验高斯定理得精确度,可验证库仑定律就是否在任何尺度范围内都就是一个精确得距离平方反比定律、

应用高斯定理求电场分布

电荷就是电场得源,电荷分布决定着电场得分布、

当电荷分布存在某种对称性（symmetry）,使我们由此可以判断出存在着这样得高斯面（gaussiansurface）———每个高斯面上所有点得场强E都相等,而且E得方向与高斯面法向得夹角处处一致,那么高斯定理

中左方得面积分（surfaceintegral）将会变得很简单,这情性下比起由库仑定律得到得矢量积分式

求电场就要方便得多、

下面讨论三种重要得对称性——球对称性、无限长直线对称性、无限大平面对称性得情形、

球对称性（SphericalSymmetry）

    一个点电荷q得电场,就就是球对称电场最简单得例子,q所在点就就是对称中心（thecenterofsymmetry）、

    事实上,如果电荷分布函数r仅与离开坐标原点得距离r有关,而与q与f无关,即r=r（r）,则r就具有

球对称性,它得电场必定有着同样得对称性、

[例1-5]均匀带电得薄球壳（AThinSphericalShellCarryingUniformlyCharge）得电场、球壳半径为a、总电荷为q（教材p61）

[解]我们把球壳瞧得非常薄,电荷q均匀地分布在球面上,密度函数为

电荷得球对称分布,决定了电场也有球对称分布,即任一半径得球面上,各点得场强E都相等,且E只有径向

分量:

E=E 、而球面元矢量dS=dS、

在球外区域,半径为r（r≥a）得高斯面包含着全部电荷q,于就是由

即

得（当r≥a）球外电场相当于全部电荷q集中于球心o得点电荷所产生在球内区域,任意半径得高斯面包含得电荷均为零,由高斯定理得E=0（当r

大家试从电场叠加原理,判断上述结果得正确性、

问题:

某一球面内部（或任意闭合曲面内部）包含得

净电荷为零,其内部电场就是否必定为零？

[例1-6]半径为a得球体均匀带电荷q,

求电场分布（教材p64）

[解]电荷密度函数

有球对称性、如上例一样,球外任意半径r得球面包含得电量均为q,故由高斯定理我们同样得到球外任一点P得场强

（当r≥a）

球外电场仍相当于全部电荷q集中于球心得点电荷所产生、

现在考虑球内离球心o为r得任一点P得场强、

据叠加原理,P点得场强也就是所有电荷元

dq=ρdV

产生得元场强之叠加、

我们设想,将从r到a得有限厚度带电球壳,分成许多无限薄得带电球面、由上例知,每个均匀带电球面对内部得任何一点产生得场强都为零、因此,P点得实际场强仅由它所在球面内部得电荷贡献,于就是由高斯定理

得

即（当r≤a）

球内场强按r呈线性分布。

电场分布函数E（r）得曲线为

问题:

球心有一点电荷+q,半径为a得球壳均匀地分布着电荷-q,球壳内、外两区域得电场分布如何？

补充习题:

根据量子力学,基态氢原子中得电子云分布存在球对称性,电荷密度为

其中r就是离开原子核得距离,可瞧成0

求:

1）电子云得总电量;

2）离原子核为r处得总电场强度E,

3）基态氢原子外部存在电场吗？

无限长直线对称性infinitelongstraightlinesymmetry

当电荷分布函数只与离开某一无限长直线得垂直距离r有关,即电荷分布存在着无限长得直线对称性,这直线就就是对称轴（symmetryaxis）,电场分布必定也有同样得对称性---以这直线为轴、任意截面半径r得圆柱侧面所有点上,电场强度E都有相等得值,E得方向沿着r方向向外（电荷为正时）,或沿着r方向向内（电荷为负时）、

[例1-7]无限长得均匀带电直线得电场。

[解]设直线上得电荷密度为+l（C/m）、

在例1-4中曾用库仑定律分析过这个问题、由于带电线就是“无限长”得,故与带电线垂直得所有平面上电场分布都相同,而且场强E只与离开电线得距离r有关,方向沿、我们取长为l、截面半径为r得圆柱面（cylindersurface）为高斯面,

此面包含得电荷显然就是λl,于就是由高斯定理

得到

即（1、4-6）

这与例1-4所得结果一致、我们注意到无限长得均匀带电直线得场强～1/r、

思考题:

（1）有限长与“无限长”均匀带电线得电场分布到底有何不同？

（2）在什么条件下才可以利用高斯定理近似地求有限长带电线得电场分布？

（3）同轴得圆柱形电容/同轴电缆

如果我们把同轴得圆柱形电容器/同轴电缆,瞧成“无限长”（实际上就是其长度远大于截面直径,并且忽略了靠近两个端面处电荷分布得不均匀性）,并假定内外两电极得电荷分布就是均匀得,单位长度分别带电±l（C/m）,把内电极瞧成截面半径可忽略得线,外电极就是一个厚度很薄得圆筒,试求出这电容器内部与外部得电场分布、

（4）长度为5、0m,截面直径为1cm得薄铜管（Athincopperpipe）带有q=10μC得净电荷（1μC=10-6C）,求离管轴为0、3cm与3cm处得场强、假定场点不就是太靠近管端、

无限大平面对称性infiniteplanesurfacesymmetry

当电荷分布存在着无限大平面对称性----电荷密度只与离开某一无限大平面得距离有关,亦即在离开这平面同样垂直距离得所有各点上,电荷密度都相等,则电场也有同样得对称性,而且电场得方向必定与这平面垂直、

[例1-8]无限大均匀带电平板得电场,设电荷面密度为+σ、（教材P67）

从电荷分布可知,平板两边得电场分布相同,E线处处与平板垂直并指向板外,我们取如图所示得圆柱形高斯面,其底面S与带电板平行,即底面元矢量dS得方向与E得方向一致,而側面元矢量则与E线垂直,于就是通过两底面得电通量为2ES,通过側面得电通量则为零,而这高斯面包含得电荷为σS,故由高斯定理

得

即（1、4-7）             

这结果表示,无限大均匀带电平板在其两边产生均匀电场----场强E得值就是与离开此板得距离无关得常数,而且E得方向均垂直于平板、

[例1-9]平行板电容器得电场,设两极板分别带电±q

一般地,两极版内外表面及边沿处都有电荷分布,因此,两极板之间及外部空间都会存在电场,而且只有两极板中部区域,E线才与板面垂直、

如果极板边长得线度远大于两极板之间得距离d,作为一个近似,我们可以把电场瞧成由一对均匀带电得“无限大平行板”所产生,即忽略极板外表面及边沿处得电荷分布带来得不均匀性——电场只分布在两极板之间,而且场强得方向垂直于极板,如右图所示、

取一个圆柱形高斯面,其中一底面在极板,另一底面在两板之间,由高斯定理得场强得近似值

（1、4-8）

其中,电荷面密度σ=q/S,S就是一块极板得面积、

问题:

我们可以将高斯面得两个底面分别取在两极板上吗？

为什么？

习题:

P70-722,3,5,7,14

两个均匀带电得共轴圆筒（P71,第7题）

无限长得共轴直圆筒半径分别为R1与R2,沿轴线z得方向,单位长度分别带电为λ1与λ2

（1）求各区域内得场强分布、

（2）若λ1=-λ2,情况如何？

画出此情形得E--r曲线、

[解]电场分布显然有z轴对称性,场强只有方向得分量,而且在任意半径r得圆柱面各点上都应当有相同得值、对于长度为l得一段,由高斯定理

得

若λ1=-λ2

圆筒内部两个区域得场强不变,但圆筒外部区域得场强将为零,此情形下得E--r曲线为: