椭圆周长和面积计算公式.docx

椭圆周长和面积计算公式.docx

《椭圆周长和面积计算公式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《椭圆周长和面积计算公式.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

椭圆周长和面积计算公式

椭圆周长和面积计算公式

椭圆周长、面积公式

椭圆定理（又名：

椭圆猜想）

椭圆定理

（关键词：

椭圆周长公式、椭圆周长定理、椭圆面积公式、椭圆面积定理等。

）

一、椭圆第一定义

椭圆第一定义：

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

椭圆第一定义的数学表达式：

MF1+MF2=2a>F1F2

（由于网上发文的遗憾，公式和符号略有缺陷，相信您能够看懂。

M为动点，F1、F2为定点，a为常数。

在椭圆中，用a表示长半轴的长，b表示短半轴的长，且a>b>0;2c表示焦距。

二、椭圆定理

（一）椭圆定理1（椭圆焦距定理

椭圆定理I:

任意同心圆，小圆任意切线与大圆形成的弦等于以大圆半径为长半轴长、小圆半径为短半轴长的椭圆焦距。

该椭圆中心在同心圆圆心，焦点在圆心以焦距一半为半径的圆上。

附图：

椭圆的奥秘图解之一（焦距定理）（略）

（二）椭圆定理H（椭圆第一常数定理）定义1:

0=2/（n2）,K1为椭圆第一常数。

定义2:

f=b/a,f为椭圆向心率（a>b>0）。

定义3:

T=K1+f,T为椭圆周率。

椭圆定理椭圆是同心圆依照勾股定理和谐组合，椭圆第一常数K1的数值加上椭圆向心率f的数值等于椭圆周率T的数值。

（三）椭圆定理皿（椭圆第三常数定理）

椭圆具有三特性，也称椭圆三态。

1、当椭圆b>c时，椭圆为向外膨胀型，其焦点在以b为半径的圆内；

2、当椭圆b=c时，椭圆为相对稳定型，其焦点在以b为半径的圆上；

3、当椭圆bvc时，椭圆为向内收缩型，其焦点在以b为半径的圆外。

定义：

任意椭圆长半轴的长a为该椭圆单位，用A表示，称为椭圆单位。

根据椭圆第一定义，a2=b2+c2,且a>b>0,则有：

b2+c2=1（椭圆单位）

当b=c时，2b2=1（椭圆单位），b=根号1/2（椭圆单位）。

定义：

K3=根号1/2,K3为椭圆第三常数。

椭圆定理川：

椭圆第三常数K3与椭圆单位决定椭圆特性。

当椭圆b>c时，椭圆向心率（f）大于椭圆第三常数

（K3），椭圆离心率（e）小于椭圆第三常数（K3），椭圆为向外膨胀型；当椭圆b=c时，椭圆向心率（f）和椭圆离心率（e）都等于椭圆第三常数（K3），椭圆为相对稳定型；当椭圆b

椭圆为向内收缩型三、椭圆周长、面积计算公式和定理

（一）椭圆周长计算公式

椭圆周长公式：

L=2nb+4（a-b）

椭圆周长定理：

椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2nb加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。

（二）椭圆面积计算公式

椭圆面积公式：

S=nab

椭圆面积定理：

椭圆的面积等于圆周率（n）乘该椭圆

长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。

以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T,

但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。

常数为体，公式为用。

圆是同心圆依照勾股定理和谐组合。

椭圆中有常数K1和K2，椭圆的常数与椭圆周长、面积计算公式，一个为体，一个为用。

一、椭圆周长、面积计算公式

根据椭圆第一定义，用a表示椭圆长半轴的长，b表示椭圆短半轴的长，且a>b>0。

椭圆周长公式：

L=2nb+4（a-b）

椭圆周长定理：

椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2nb加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。

椭圆面积公式：

S=nab

椭圆面积定理：

椭圆的面积等于圆周率（n）乘该椭圆

长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积二、椭圆常数由来及周长、面积公式推导过程

（1）发现椭圆常数

常数在于探索和发现。

椭圆三要素：

焦距的一半（c），

长半轴的长（a）和短半轴的长（b）。

椭圆三要素确定任意两项就确定椭圆。

椭圆三要素其中两项的某种数学关系决定椭圆周长和面积。

椭圆的周长取值范围：

4avL<2冗a

（1）

椭圆周长猜想：

L=（2na4a）T

（2）

T是猜想的椭圆周率。

将

（1）等式与

（2）等式合并，得：

4a<（2n-4a）T<2na（3）

根据不等式基本性质，将不等式（3）同除（2n-4a）,有:

4a/（2n4a）

简化表达式（4）:

2/（n）

定义：

K仁2/（n2）;K2=n/（-2）

计算K1、K2的值会发现K1、K2是两个非常奇特的数：

K1=1.75193839388411……K2=

2.75佃3839388411……

椭圆第二常数：

K2=K1+1

椭圆常数的发现过程描述简单，得来却要复杂得多。

（2）椭圆周长公式推导

长期以来我们只用椭圆离心率e=c/a来描述椭圆，却忽视了椭圆a与b的关系。

定义：

椭圆向心率为f，仁b/a。

根据椭圆第一定义，椭圆向心率f，有0vf<1的范围。

K1+fvK2的数学关系正是椭圆周长计算时存在的数学关系。

定义：

T=K1+f，将此等式代入等式

（2）则有：

L=（2naa）T=2（-2）a（K1+f）

=2（-2）a（2/（-2#+b/a）=2nb+4a椭圆周长计算公式：

L=2nb+4（&b）

（3）椭圆面积公式推导

椭圆面积的取值范围：

OvSVna2（5）

（由于网上发文的遗憾，公式和符号略有缺陷，相信您能够看懂。

^口：

上式中na2为n乘a的二次方。

）椭圆面积猜想：

S=na2T（6）

T是猜想的椭圆面积率。

将（5）等式与（6）等式合并，得：

0vna2T

根据不等式基本性质，将不等式（7）同除na2则有：

0VTV1。

可得：

S=na2T=na2（K+f）（8）

在等式（8）中K=0,仁b/a,代入等式中：

S=na2b/a=nab

椭圆面积计算公式：

S=nab

关于《椭圆定理》中的T=k1+f问题

易亚苏

《椭圆定理》一文中有：

定义1：

K1=2/（n-2）,K1为椭圆第一常数。

定义2：

f=b/a,f为椭圆向心率（a>b>0）。

定义3:

T=K1+f,为椭圆周率”有聪明的网友提出定义：

T=k1+f没有依据”现就此问题作出如下分析说明。

在《椭圆常数K1、K2的由来与周长、面积公式推导》中，有“T是猜想的椭圆周率”，并定义：

T=K1+f（《椭圆定理》中也有此定义，见上）。

《椭圆常数K1、K2的由来与周长、面积公式推导》中还有表达式:

2/（n）

定义：

K1=2/（n2）;K2=n/（-2）。

这样定义理当无可非议。

那么，K1VTVK2，因为k2=k1+1,也可以说T是k1到k1+1之间的数，数学表达式为：

k1

对于具体椭圆而言k1

（a>b>0）（参见《椭圆定理》）。

因为0vf<1，所以klvTvk1+1与T=K1+f有同样的代数内含。

所谓同样的代数内含”是思维数学。

由椭圆定义，a>b>0,因为f=b/a,即卩0vfvl。

当b接近0时，椭圆接近双直线，其长度近似于4a;当b接近a时，椭圆接近圆，其周长近似于2na当b在0与a之间变化时，形状为椭圆，其周长为L=2nb+4（a-b）。

以下作简要分析，如果把椭圆的a作为椭圆单位，那么f=B（椭圆单位）,B=b/a（椭圆单位），其中0VBV1,也即Ovfvl。

T=k1+f,klvTvk1+1或klvTvk2,即是2/（n）vTvn/（-2*。

注：

椭圆单位的概念很重要，切记并体会其内含！

在《椭圆定理》短文中首次提出了椭圆单位”勺概念，定义：

任意椭圆长半轴的长a为该椭圆单位，用A表示，称为椭圆单位”。

其实T=k1+f的定义既是从椭圆中的代数内含关系推理而来，也是基于椭圆单位”的思考而来。

研究椭圆时笔者发现了K1、K2两个非常奇特的数：

K1=1.75193839388411……K2=2.75193839388411……这两个奇特的数里包含了n,n是圆周率，仁b/a是0到1之间的小数，那么对于椭圆来说T=k1+f是一个也包含了n的特定数，所以定义T为椭圆周率”椭圆周率与圆周率不同，圆周率是固定的值n,椭圆周率是变化的

值T=k1+f,它随椭圆b与a的比值变化而变化。

从某种意义上说圆是椭圆的范围，由于椭圆定义了a>b>0,所

以只能称圆是椭圆的范围”而不能称圆是特殊的椭圆。

但是在研究椭圆时以椭圆a为半径的圆起到了很好的参考，所以笔者在《椭圆定理》中对圆和椭圆这两种几何图形，只能发出圆完美的和谐，椭圆和谐的完美”这样的感叹。

笔者认为任何科学研究的方法都基于：

1、发现特殊现象；2、提出假设或猜想；3、利用假设或猜想做出结论；4、对结论进行检验。

《椭圆定理》就是基于这四点写出的短文。

笔者认为论文不在长短，而在其价值。

当今的椭圆理论是不完整的（比如只有近似的椭圆周长计算公式，缺少标准的椭圆周长计算公式）,那么椭圆理论”的依据还需要靠发现来完善。

任何科学的原始依据从哪里来？

从发现来。

对特殊现象的发现加以总结，通过检验就可以成为理论；理论升华就是科学，科学也是理论依据的源泉。

（四）

椭圆周长无疑在4a

椭圆里的B（B=b/a椭圆单位）从0到1的平滑变化，必然导致其

椭圆周长的平滑变化。

椭圆是平滑的闭合曲线，其周长与f=b/a的变化有着必然的对应变化数学关系。

所以笔者在《椭圆定理》中要定义f为椭圆向心率，f=b/a,

（a>b>0）。

如果引用椭圆单位，则4vL<2冗（椭圆单位）。

在《椭圆定理》短文中有后附《椭圆的奥秘》椭圆周长、面积验算公式表”,可惜网上尚未能表示出验算公式表”，相信您用Excel可以很容易作出验算公式表”，并可以对椭圆周长计算公式L=2nb+4（ab）进行序列的直观检验。

椭圆周长计算公式L=2nb+4（<-b）中虽然没有出现椭圆周率T,但这个公式是通过椭圆周率T推导演变而来。

常数为体，公式为用。

（五）

当今尚无标准的椭圆周长计算公式是基础科学中的遗憾之一，现在科学中所使用的椭圆周长都是近似值，这也是科学的遗憾之一，所以研究椭圆周长计算公式是十分有意义的。

笔者认为一个公式的对与错，既有意义也没有意义，因为科学是发展的，科学是循序渐进的过程。

科学探索的过程是寂寞而愉快的，但我们要认识到今天的正确不代表明天的正确，如果没有这样的观念，科学也就难于进步。

10的负50次方对古人而言除了代表0没有其他的意义，然而10的负50次方对现代人而言可以代表0,也可以不代表0。

随着科学技术的提高，10

的负N次方的意义也在发生变化。

宇宙之浩大，用椭圆周长的近似公式去研究宇宙，今天不出问题，明天必定要出大问题。

人类对宇宙的认识从神话到科学、从主观到客观是不以个人的意志为转移的，科学发展到今天，我们更要具有科学发展观。

任一部分椭圆面积

22耳

橢圜方#呈:

二十二三

AJ.-j

椭圆周长

赭确周长人=4aE（e^-）=4a/sin[/）24z

J

其中：

舉为描圆的离心皋，J

22|_⑵辽4」

近似周氏La兀[1方&+町-^]

（1）椭圆周长计算公式

椭圆周长公式：

L=2nb+4（*b）

椭圆周长定理：

椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2nb加上四

倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。

（2）椭圆面积计算公式椭圆面积公式：

S=nab

椭圆面积定理：

椭圆的面积等于圆周率（n）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。

以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T,但这两个公式都是通过

椭圆周率T推导演变而来。

常数为体，公式为用。

近似L=V（4abnA2+15（h）A2）（1+MN）（M=4/V1-5、N=（（a-b）/a）A9）近似L=nQ（1+3h/（10+V3h））（1+MN）（Q=a+b、H=（（a-b）/（a+b））A2、M=22/7n、M=（（a-b）/a）A33.697、）

标准L=Q兀（1+"2/4+斤八4/4八3+斤八6/4八4+5八2勺八8/4八7+7八2勺八10/4八8…）（h=（a-b）/（a+b）,Q=a+b,）

几何图形及计算公式查询

||*平面图形

名称

符号

周长C和面积S

正方

1形

a—边长

C=4a

S=a2

长方形

a和b—边长

C=2（a+b）

S=ab

三角形

a,b,c—三边长h—a^边上的高s—周长的一半

A,B,C—内角

其中s=

（a+b+c）/

2

S=ah/2

=ab/2・sinC

1/2

=[s（s-a）（s-b）（s-c）]

2

=asinBsinC/（2sinA）

四边形

d,D—只寸角线长a—对角线夹角

S=dD/2•sina

平行四边形

a,b—边长h—a边的

S=ah

=absina

高

a一两边夹角

菱形

a一边长a一夹角D-长对角线长d—短对角线长

S=Dd/2

2.=asina

梯形

a和b—

上、下底长h—咼m—中位线长

S=（a+b）h/2=mh

圆

r—半径d—直径

C=nd=2nr

S=nr2

=nd/4

扇形

r—扇形半径a—圆心角度数

C=2r+2nrX（a/360）

S=nr2X（a/360）

弓形

l一弧长b—弦长h—矢高

2

S=r/2•（na/180-sina）

2

=rarccos[（r-h）/r]-

21/2（r-h）（2rh-h2）

r—半径a—圆心角的度数

2

=nar/360-

221/2

b/2・[r2-（b/2）2]

=r（l-b）/2+bh/2

~2bh/3

圆环

R—外圆半径r—内圆半径

D-外圆直径

d—内圆直径

S=n（R2-r2）

—n（D2-d2）/4

椭圆

D—长轴d—短轴

S=nDd/4

立方图形

名称

符号

面积S和体积V

正方体

a—边长

S—6a2

V—a3

长方体

a—长b—宽c—咼

S—2（ab+ac+bc）

V—abc

棱柱

S—底面积h—咼

V—Sh

棱锥

棱台

拟柱

体

圆柱

空心

S—底面积h—咼

S和S2—上、下底面积h—咼

S—上底面积

S2—下底面积

So—中截面积h—咼r—底半径h—咼

C—底面周长

S底一底面积

S侧一侧面积

S表一表面积

R—外圆

V=Sh/3

V=h[Si+S2+（SiS）1/2]/3

V=h（Si+S+4S）/6

C=2nr

S底=nr2

S侧=Ch

S表=Ch+2S底

V=S底h

=nr2h

V=n

2

-r

圆柱

半径r—内圆半径h—咼

直圆锥

r—底半径h—咼

V=nr2h/3

圆台

r—上底半径

R-下底半径h—咼

V=nh（R2+Rr+r2）/3

球

r—半径d—直径

V—4/3nr3—nd2/6

球缺

h—球缺高

r—球半径

a—球缺底半径

V—nh（3a2+h2）/6—nh2（3r-h）/3a2—h（2r-h）

球台

ri和「2—球台上、下底半径h—咼

V—nh[3（r12+r22）+h2]/6

圆环

R-环体

V—2n2Rr2

体

半径D-环体直径r—环体截面半径d—环体截面直径

—n2Dcf/4

桶状体

D-桶腹直径d—桶底直径h—桶高

V—nh（2D2+d2）/12

（母线是圆弧形，圆心是桶的中心）

V—nh（2D2+Dd+3d2/4）/15

（母线是抛物线形）