椭圆周长和面积计算公式.docx

1、椭圆周长和面积计算公式椭圆周长和面积计算公式椭圆周长、面积公式椭圆定理（又名：椭圆猜想）椭圆定理（关键词：椭圆周长公式、椭圆周长定理、椭圆面积公 式、椭圆面积定理等。）一、 椭圆第一定义椭圆第一定义：平面内与两个定点 F1、F2的距离的和 等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定 点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。椭 圆第一定义的数学表达式： MF1+MF2=2aF1F2（由于网上发文的遗憾，公式和符号略有缺陷，相信您 能够看懂。M为动点，F1、F2为定点，a为常数。在椭圆中，用a 表示长半轴的长，b表示短半轴的长，且ab0; 2c表 示焦距。二、 椭圆定理（一）椭圆定

2、理1（椭圆焦距定理椭圆定理I:任意同心圆，小圆任意切线与大圆形成的 弦等于以大圆半径为长半轴长、小圆半径为短半轴长的 椭圆焦距。该椭圆中心在同心圆圆心，焦点在圆心以焦 距一半为半径的圆上。附图：椭圆的奥秘图解之一（焦距定理）（略）（二） 椭圆定理H （椭圆第一常数定理） 定义1: 0=2/（ n2）, K1为椭圆第一常数。 定义2: f=b/a, f为椭圆向心率（ab0）。 定义3: T=K1+f , T为椭圆周率。椭圆定理椭圆是同心圆依照勾股定理和谐组合，椭 圆第一常数K1的数值加上椭圆向心率f的数值等于椭 圆周率T的数值。（三） 椭圆定理皿（椭圆第三常数定理）椭圆具有三特性，也称椭圆三态。

3、1、 当椭圆bc时，椭圆为向外膨胀型，其焦点在以 b 为半径的圆内；2、 当椭圆b=c时，椭圆为相对稳定型，其焦点在以 b 为半径的圆上；3、 当椭圆bvc时，椭圆为向内收缩型，其焦点在以 b 为半径的圆外。定义：任意椭圆长半轴的长a为该椭圆单位，用A表示， 称为椭圆单位。根据椭圆第一定义，a2=b2+c2,且ab0, 则有：b2+c2=1 （椭圆单位）当b=c时，2b2=1 （椭圆单位），b=根号1/2（椭圆单位）。 定义：K3=根号1/2, K3为椭圆第三常数。椭圆定理川：椭圆第三常数 K3与椭圆单位决定椭圆特 性。当椭圆bc时，椭圆向心率（f）大于椭圆第三常数（K3），椭圆离心率（e）小

4、于椭圆第三常数（K3），椭 圆为向外膨胀型；当椭圆b=c时，椭圆向心率（f）和椭 圆离心率（e）都等于椭圆第三常数（K3），椭圆为相对 稳定型；当椭圆bb0。椭圆周长公式：L=2n b+4（a-b）椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径 的圆周长（2 nb加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短 半轴长（b）的差。椭圆面积公式：S=n ab椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（ n）乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积 二、椭圆常数由来及周长、面积公式推导过程(1)发现椭圆常数常数在于探索和发现。椭圆三要素：焦距的一半( c)，长半轴的长(a)和短半轴的长(b)。椭圆三要素确定 任意

5、两项就确定椭圆。椭圆三要素其中两项的某种数学 关系决定椭圆周长和面积。椭圆的周长取值范围：4avL2冗a (1)椭圆周长猜想：L=(2 na4a)T (2)T是猜想的椭圆周率。将(1)等式与(2)等式合并， 得：4a(2 n-4a)T2 na (3)根据不等式基本性质，将不等式(3)同除(2 n-4a),有:4a/(2 n4a) T2 n a /(2-4a) a (4)简化表达式(4):2/( n)Tv n /(-2n定义：K仁2/( n2); K2=n /( -2)计算K1、K2的值会发现K1、K2是两个非常奇特的数： K1 = 1.75193839388411 K2 =2.75 佃3839

6、388411 椭圆第二常数：K2=K1+1椭圆常数的发现过程描述简单，得来却要复杂得多。(2)椭圆周长公式推导长期以来我们只用椭圆离心率 e=c/a来描述椭圆，却忽 视了椭圆a与b的关系。定义：椭圆向心率为f，仁b/a。 根据椭圆第一定义，椭圆向心率f，有0vf1的范围。K1+fvK2的数学关系正是椭圆周长计算时存在的数学 关系。定义：T=K1+f，将此等式代入等式(2)则有：L=(2 n aa)T=2( -2)a(K1+f)=2( -2)a(2/( -2#+b/a)=2 n b+4a 椭圆周长计算公式： L=2n b+4(&b)(3)椭圆面积公式推导椭圆面积的取值范围：OvSVn a2 (5

7、)(由于网上发文的遗憾，公式和符号略有缺陷，相信您 能够看懂。口：上式中 n a2为n乘a的二次方。) 椭圆面积猜想：S=n a2T (6)T是猜想的椭圆面积率。将(5)等式与(6)等式合并， 得：0v n a2Tb0)。 定义3:T=K1+f ,为椭圆周率”有聪明的网友提出 定 义：T=k1+f没有依据”现就此问题作出如下分析说明。在椭圆常数K1、K2的由来与周长、面积公式推导 中，有“T是猜想的椭圆周率”，并定义：T=K1+f (椭 圆定理中也有此定义，见上)。椭圆常数K1、K2的 由来与周长、面积公式推导中还有表达 式:2/( n)Tn /( -2)。定义：K1=2/( n2); K2=

8、n /( -2)。这样定义理当无可非议。 那么，K1VTVK2，因为 k2=k1 + 1,也可以说 T是k1 到k1+1之间的数，数学表达式为：k1Tk1+1。对于 具体椭圆而言 k1Tvk1+f , f为椭圆向心率， 仁b/a, 0vfb0)(参见椭圆定理)。因为0vfb0,因为f=b/a,即卩0vfvl。当b接近0 时，椭圆接近双直线，其长度近似于4a;当b接近a时， 椭圆接近圆，其周长近似于 2na当b在0与a之间变 化时，形状为椭圆，其周长为L=2n b+4(a-b)。以下作简 要分析，如果把椭圆的a作为椭圆单位，那么f=B(椭圆 单位),B= b/a (椭圆单位)，其中0VBV1,也

9、即Ovfvl。 T=k1+f , klvTvk1+1 或 klvTvk2 , 即 是 2/( n)vTv n /(-2*。注：椭圆单位的概念很重要，切记并体会其内含！在椭 圆定理短文中首次提出了 椭圆单位”勺概念，定义： 任意椭圆长半轴的长a为该椭圆单位，用A表示，称为 椭圆单位”。其实T=k1+f的定义既是从椭圆中的代数内含关系推理 而来，也是基于 椭圆单位”的思考而来。研究椭圆时笔者发现了 K1、K2两个非常奇特的数：K1 = 1.75193839388411 K2 = 2.75193839388411 这两个奇特的数里包含了 n, n是圆周率，仁b/a是0到 1之间的小数，那么对于椭圆来

10、说T=k1+f是一个也包含 了 n的特定数，所以定义T为椭圆周率”椭圆周率与 圆周率不同，圆周率是固定的值 n,椭圆周率是变化的值T=k1+f ,它随椭圆b与a的比值变化而变化。从某种 意义上说圆是椭圆的范围，由于椭圆定义了 ab0,所以只能称 圆是椭圆的范围”而不能称圆是特殊的椭圆。 但是在研究椭圆时以椭圆a为半径的圆起到了很好的参 考，所以笔者在椭圆定理中对圆和椭圆这两种几何 图形，只能发出 圆完美的和谐，椭圆和谐的完美”这样 的感叹。笔者认为任何科学研究的方法都基于：1、发现特殊现象； 2、提出假设或猜想；3、利用假设或猜想做出结论；4、 对结论进行检验。椭圆定理就是基于这四点写出的短

11、文。笔者认为论文不在长短，而在其价值。当今的椭圆 理论是不完整的（比如只有近似的椭圆周长计算公式， 缺少标准的椭圆周长计算公式）,那么 椭圆理论”的依据 还需要靠发现来完善。任何科学的原始依据从哪里来？ 从发现来。对特殊现象的发现加以总结，通过检验就可 以成为理论；理论升华就是科学，科学也是理论依据的 源泉。（四）椭圆周长无疑在4aLb0）。如果引用椭圆单位，则4vL2冗（椭圆单位）。 在椭圆定理短文中有 后附椭圆的奥秘椭圆周长、 面积验算公式表”,可惜网上尚未能表示出 验算公式 表”，相信您用Excel可以很容易作出 验算公式表”，并 可以对椭圆周长计算公式 L=2n b+4（ab）进行序列

12、的直 观检验。椭圆周长计算公式L=2n b+4（-b）中虽然没有出 现椭圆周率T,但这个公式是通过椭圆周率 T推导演变 而来。常数为体，公式为用。（五）当今尚无标准的椭圆周长计算公式是基础科学中的遗憾 之一，现在科学中所使用的椭圆周长都是近似值，这也 是科学的遗憾之一，所以研究椭圆周长计算公式是十分 有意义的。笔者认为一个公式的对与错，既有意义也没 有意义，因为科学是发展的，科学是循序渐进的过程。 科学探索的过程是寂寞而愉快的，但我们要认识到今天 的正确不代表明天的正确，如果没有这样的观念，科学 也就难于进步。10的负50次方对古人而言除了代表 0 没有其他的意义，然而10的负50次方对现代人

13、而言可 以代表0,也可以不代表0。随着科学技术的提高，10的负N次方的意义也在发生变化。宇宙之浩大，用椭圆 周长的近似公式去研究宇宙，今天不出问题，明天必定 要出大问题。人类对宇宙的认识从神话到科学、从主观 到客观是不以个人的意志为转移的，科学发展到今天， 我们更要具有科学发展观。任一部分椭圆面积2 2 耳 橢圜方#呈:二十二三A J .-j椭圆周长赭确周长人=4aE(e-)=4a / sin/)2 4zJ其中：舉为描圆的离心皋，J2 2|_ 辽4近似周氏L a兀1方& +町-(1)椭圆周长计算公式椭圆周长公式：L=2n b+4(*b)椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(

14、 2nb加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。(2)椭圆面积计算公式 椭圆面积公式： S=n ab椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(n)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴 长(b)的乘积。以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率 T,但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。近似 L= V(4ab n A2+15(h)A2)(1+MN) ( M= 4/ V1-5、N=(a-b)/a)A9 )近似 L= n Q(1+3h/(10+ V3h)(1+MN) ( Q=a+b、H=(a-b)/(a+b)A2、M=22/7 n、 M=(a-b)/a)A33.697 、

15、)标准 L = Q兀(1+2/4+斤八4/4八3+斤八6/4八4+5八2勺八8/4八7+7八2勺八10/4八8)(h = (a-b)/(a+b), Q = a+b,)几何图形及计算公式查询| * 平面图形名称符号周长C和面积S正方1形a边长C= 4aS= a2长方 形a和b边 长C= 2(a+b)S= ab三角 形a,b,c 三边长 h a 边上 的高 s 周长 的一半A,B,C 内角其中s =(a+b+c)/2S= ah/2=ab/2 sinC1/2=s(s-a)(s-b)(s-c)2=a sinBsinC/(2sinA)四边 形d,D 只寸 角线长 a 对角 线夹角S= dD/2 sin

16、a平行 四边 形a,b 边 长 h a边的S= ah=absin a高a 一两边 夹角菱形a一边长 a 一夹角 D-长对 角线长 d 短对 角线长S= Dd/22 . =a sin a梯形a和b 上、下底 长 h咼 m中位 线长S= (a+b)h/2 =mh圆r 半径 d 直径C= n d= 2 n rS= n r2=n d/4扇形r 扇形 半径 a圆心 角度数C= 2r + 2n r X (a/360)S= n r2 X (a/360)弓形l 一弧长 b 弦长 h 矢高2S= r /2 ( n a /180-sin a )2=r arccos(r-h)/r-2 1/2 (r-h)(2rh-h

17、 2)r 半径 a 圆心 角的度数2=na r /360 -2 2 1/2b/2 r 2-(b/2) 2=r(l-b)/2 + bh/2 2bh/3圆环R外圆 半径 r 内圆 半径D-外圆 直径d内圆 直径S= n (R2-r 2)n (D2-d2)/4椭圆D长轴 d 短轴S= n Dd/4立方图形名称符号面积S和体积V正方 体a边长S 6a2V a3长方 体a长 b宽 c 咼S 2(ab+ac+bc)V abc棱柱S底面 积 h咼V Sh棱锥棱台拟柱体圆柱空心S底面 积 h咼S 和 S2 上、下底 面积 h咼S 上底 面积S2 下底 面积So 中截 面积 h咼 r 底半 径 h咼C 底面 周

18、长S底一底面 积S侧一侧面 积S表一表面 积R外圆V= Sh/3V= hSi+S2+(SiS)1/2/3V= h(Si+S+4S)/6C= 2 n rS 底=n r2S 侧=ChS 表=Ch+2S底V= S 底 h=n r 2hV= n2-r圆柱半径 r 内圆 半径 h咼直圆 锥r 底半 径 h咼V= n r2h/3圆台r 上底 半径R-下底 半径 h咼V= n h(R2+ Rr + r2)/3球r 半径 d 直径V 4/3 n r3 n d2/6球缺h 球缺 高r 球半 径a球缺 底半径V n h(3a2+h2)/6 n h2(3r-h)/3 a2 h(2r-h)球台ri和2 球台上、 下底半径 h咼V n h3(r 12+ r22)+h2/6圆环R-环体V 2n 2Rr2体半径 D-环体 直径 r 环体 截面半径 d 环体 截面直径n 2Dcf/4桶状 体D-桶腹 直径 d 桶底 直径 h 桶高V n h(2D2 + d2)/12(母线是圆弧形，圆心是桶的 中心)V n h(2D2 + Dd+ 3d2/4)/15(母线是抛物线形)