完整版三角形角平分线中线高线证明题.docx
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完整版三角形角平分线中线高线证明题
2.证题的思路:
找夹角(
)
性质
1、全等三角形的
SAS
已知两边找直角(HL)
对应角相等、对应边相
找第三边(
SSS
等。
)
2、全等三角形的
若边为角的对边,则找随意角(
AAS
)
找已知角的另一边(
)
已知一边一角
SAS
对应边上的高对应相
边为角的邻边找已知边的对角(
)
AAS
等。
找夹已知边的另一角(
)
ASA
3、全等三角形的
找两角的夹边(
)
对应角均分线相等。
已知两角
ASA
4、全等三角形的
找随意一边(
)
AAS
对应中线相等。
5、全等三角形面积相等。
6、全等三角形周长相等。
(以上能够简称:
全等三角形的对应元素相等)
7、三边对应相等的两个三角形全等。
(SSS)
8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(SAS)
9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形
全等。
(ASA)
10、两个角和此中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
(AAS)
11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(HL)
全等三角形问题中常有的协助线的作法
常有协助线的作法有以下几种:
1)碰到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思想模式是全等变换中的“对折”.
2)碰到三角形的中线,倍长中线,使延伸线段与原中线长相等,结构全等三角形,利用的思想模式是全等变换中的“旋转”.
3)碰到角均分线,能够自角均分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思想模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点经常是角均分线的性质定理或逆定理.
4)过图形上某一点作特定的均分线,结构全等三角形,利用的思想模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
5)截长法与补短法,详细做法是在某条线段上截取一条线段与特定
线段相等,或是将某条线段延伸,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的相关性质加以说明.这类作法,合适于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.
特别方法:
在求相关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角
形各极点的线段连结起来,利用三角形面积的知识解答.
三角形协助线做法
图中有角均分线,可向两边作垂线。
也可将图对折看,对称此后关
系现。
角均分线平行线,等腰三角形来添。
角均分线加垂线,三线合一试
试看。
线段垂直均分线,常向两头把线连。
要证线段倍与半,延伸缩短可
试验。
三角形中两中点,连结则成中位线。
三角形中有中线,延伸中线等中线。
一、倍长中线(线段)造全等
例1、(“希望杯”试题)已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线
AD的取值范围是_________.
A
BDC
例2、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,
A
试比较BE+CF与EF的大小.
E
F
BDC
3、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:
AD均分∠BAE.
A
BDEC
二、截长补短
1、如图,ABC中,AB=2AC,AD均分BAC,且AD=BD,求证:
CD⊥AC
A
C
B
D
0
3、如图,已知在VABC内,BAC60,C400,P,Q分别在BC,
A
CA上,而且AP,BQ分别是BAC,ABC的角均分线。
求证:
BQ+AQ=AB+BP
B
Q
P
C
4、如图,在四边形
求证:
AC
ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD均分
0
ABC,
A
D
BC
5、如图在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上随意一点,求证;AB-AC
>PB-PCA
1
2
P
B
C
D
三、借助角均分线造全等
1、如图,已知在△ABC中,∠B=60°,△ABC的角均分线AD,CE
A
订交于点O,求证:
OE=OD
E
O
BC
D
A
2、如图,△ABC中,AD均分∠BAC,DG⊥BC且均分BC,DE⊥
E
AB于E,DF⊥AC于F.
B
G
C
F
(1)说明BE=CF的原因;
(2)假如AB=a,AC=,求AE、BE
b
D
的长.
三、解答题:
(共55分)
10.如图,△ABC中,∠C=90°,AB=2AC,M是AB的中点,点N在BC上,MN⊥AB.
求证:
AN均分∠BAC.(7分)
A
12
M
BNC
11.已知:
如图AC、BD相交于点O,AC=BD,∠C=∠D=90°,求证:
OC=OD.(8分)
DC
O
AB
12.已知:
如图,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AF⊥CD,F为垂足,求证:
CF=DF.(8分)
A
BE
CFD
13.在△ABC中,BD、CE是高,BD与CE交于点O,且BE=CD,求
证:
AE=AD.(8分)
14.已知如图,AB=AC,∠BAC=90°,AE是过A点的一条直线,且B、C在DE的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E,求证:
BD=DE+CE.(8分)
A
C
D
BC
EAB
15.已知如图,在△ABC中,∠BAC=2∠B,AB=2AC,求证:
△ABC是直角三角形?
(8分)
16.已知如图,在△ABC中,以AB、AC为直角边,分别向外作等腰直角三角形ABE、ACF,连结EF,过点A作AD⊥BC,垂足为D,反向延伸DA交EF于点M.
(1)用圆规比较EM与FM的大小.
(2)你能说明由
(1)中所得结论的道理吗?
(8分)
F
M
E
A
BDC
全等三角形
1.将直角三角形(∠ACB为直角)沿线段CD折叠使B落在B’处,若∠ACB’=60°,则∠ACD度数为______.
A
A
D
B'
HE
C
B
第1题图
第2题图
B
第3题图
D
C
2.如图,△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成
的,若∠BAC=150°,则∠EFC的度数为_________.
3.已知△ABC中,∠ABC=45°,AC=4,H是高AD和BE的交点,则线
段BH的长度为_______.
4.如图,△ABC是等边三角形,点D、E、F分别是线段AB、BC、
CA上的点,
(1)若AD
BECF,问△DEF是等边三角形吗?
试证明你的结论;
A
F
D
B
E
C
(2)若△DEF是等边三角形,问ADBECF建立吗?
试证明你的结论.
5.以下图,已知∠1=∠2,EF⊥AD于P,交BC延伸线于M,求证:
2∠M=(∠ACB-∠B)
C
A
12
E
D
E
P
F
B
D
C
MA
F
B
6.△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC中点,E、F分别在AC、AB上,且DE⊥DF,试判断DE、DF的数目关系,并说明原因.
7.已知:
如图,△ABC中,ABC45°,CDAB于D,BE均分ABC,
且BEAC于E,与CD订交于点F,H是BC边的中点,连结DH与BE订交于点G.
(1)求证:
(2)求证:
BFAC;
CE1BF;
2
A
A
D
F
E
D
G
110oO
B
H
C
B
C
8.如图,点O是等边△ABC内一点,AOB110o,BOC.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60o得△ADC,连结OD.
(1)求证:
△COD是等边三角形;
(2)当150o时,试判断△AOD的形状,并说明原因;
(3)研究:
当为多少度时,△AOD是等腰三角形?
9.如图,△ABC中,E、F分别是AB、AC上的点.①AD均分∠BAC;
②DE⊥AB,DF⊥AC;③AD⊥EF.以此三此中的两个为条件,另一个为结论,可组成三个命题,即①②?
③,①③?
②,②③?
①.
试判断上述三个命题能否正确,并证明你以为正确的命题.
A
E
G
F
BDC
10.已知:
如图,△ABC是等边三角形,过AB边上的点D作DG∥BC,
交AC于点G,在GD的延伸线上取点E,使DEDB,连结AE,CD.
(1)求证:
△AGE≌△DAC;
(2)过点E作EF∥DC,交BC于点F,请你连结AF,并判断△AEF
是如何的三角形,试证明你的结论.
A
EDG
BFC
11.以下图,已知点C为线段AB上一点,△ACM、△BCN是等边三角形.试说明:
(1)AN=BM;
(2)CD=CE
(3)连结DE,猜想:
①△CDE的形状②DE与AB的地点关系。
(3)若把原题中“△ACM和△BCN是两个等边三角形”换成两个正方形(以下图),AN与BM的关系如何?
请说明原因.
12、工人师傅常用角尺均分一个随意角,做法以下:
以下图,∠AOB是一个随意角,在边OA、OB上分别取OM=ON,挪动角尺,使角尺两边同样的刻度分别与M、N重合.过角尺极点P的射线OP即是∠AOB的均分线,依据做法,联合图形写出已知、求证、证明.
13、操作:
如图①,△ABC是正三角形,△BDC是顶角∠BDC
=120°的等腰三角形,以D为极点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连结MN.
研究:
线段BM、MN、NC之间的关系,并加以证明.
14、已知:
如图分别以△ABC的每一条边,在三角形外作等边三角形,△ABD、△BCE、△ACF,求证:
CD=AE=BF.
15、已知:
如图,在等边三角形AB,AD=BE=CF,D,E,F不是各边的中
点,AE,BF,CD分别交于P,M,N在每一组全等三角形中,有三个三角形全等,在图中全等三角形的有几组?
请指出它们,而且选择一组给出证明
C
O
N
AMB
16.(2003·广东)如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC的中点.
(1)写出点O到△ABC的三个极点A、B、C的距离的关系(不证明);
(2)假如点M、N分别在线段AB、AC上挪动,在挪动中保持AN=BM,请判断△OMN?
的形状,并证明你的结论.
2、如图,已知∠1=∠2,∠C=∠D
DE
F
证明:
∠A=∠F
2
3
4
1
A
B
C
3、已知:
如图,AB∥CD,∠1=∠B,∠2=∠D.求证:
BE⊥DE.
AB
4、如图,AB∥CD,求证:
∠A+∠C+∠AEC=360°
E
CD
5、如图,若AB∥CD,猜想∠A、∠E、∠D之间的关系,并证明之。
A
E
C
B
D
7、如图,平行四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,E为AD的中点,在不添其余字母和线段的状况下,回答以下问题:
(1)图中哪一个三角形的面积与三角形ABE的面积相等?
(2)图中哪些三角形的面积与三角形ABC的面积相等?
(3)假如平行四边形ABCD的面积为8平方厘米,分别求出图中全部
三角形的面积。
A
D
E
BC
8、如图,已知S△ABC=5,S△BCD=,9,S△CDA=10,S△DAB=6,求S△OAB的值
A
B
O
C
10、以下图,AE∥BD,∠1=3∠2,∠2=25°,求∠C的度数。
D
D
E
C
F
12
AB
15、已知:
如图,AC∥DE,DC∥EF,CD均分∠BCD.
求证:
EF均分∠BED.
16、如图,已知
DE∥BC,EF均分∠AED,EF⊥AB,CD⊥AB,试说明
CD均分∠ACB。
A
F
DE
B
C