特殊平行四边形拔高题含答案.docx
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特殊平行四边形拔高题含答案
第II卷(非选择题)
一、解答题(题型注释)
1.如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为a.直线y=bx+c交x轴于E,交y轴于F,且a、b、c分别满足-(a-4)2≥0,
(1)求直线y=bx+c的解析式并直接写出正方形OABC的对角线的交点D的坐标;
(2)直线y=bx+c沿x轴正方向以每秒移动1个单位长度的速度平移,设平移的时间为t秒,问是否存在t的值,使直线EF平分正方形OABC的面积?
若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;
点P为正方形OABC的对角线AC上的动点(端点A、C除外),PM⊥PO,交直线AB于M,求
的值
2.如图,矩形OABC摆放在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴上,点C在y轴上,OA=3,OC=2,P是BC边上一点且不与B重合,连结AP,过点P作∠CPD=∠APB,交x轴于点D,交y轴于点E,过点E作EF∥AP交x轴于点F.
(1)若△APD为等腰直角三角形,求点P的坐标;
(2)若以A,P,E,F为顶点的四边形是平行四边形,求直线PE的解析式.
3.把一个含45°角的直角三角板BEF和一个正方形ABCD摆放在一起,使三角板的直角顶点和正方形的顶点B重合,联结DF,点M,N分别为DF,EF的中点,联结MA,MN.
(1)如图1,点E,F分别在正方形的边CB,AB上,请判断MA,MN的数量关系和位置关系,直接
写出结论;
(2)如图2,点E,F分别在正方形的边CB,AB的延长线上,其他条件不变,那么你在
(1)中得到的两个结论还成立吗?
若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.
图1图2
4.如图,已知正方形ABCD,AC、BD相交于点O,E为AC上一点,AH⊥EB交EB于点H,AH交BD于点F.
(1)若点E在图1的位置,判断OE与OF的数量关系,并证明你的结论;
(2)若点E在AC的延长线上,请在图2中按题目要求补全图形,判断OE与OF的数量关系,并证明你的结论.
5.已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中,点A(11,0),点B(0,6),点P为BC边上的动点(点P不与点B、C重合),经过点O、P折叠该纸片,得点B′和折痕OP.设BP=t.
(Ⅰ)如图①,当∠BOP=30°时,求点P的坐标;
(Ⅱ)如图②,经过点P再次折叠纸片,使点C落在直线PB′上,得点C′和折痕PQ,若AQ=m,试用含有t的式子表示m;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当点C′恰好落在边OA上时,求点P的坐标(直接写出结果即可).
6.阅读下列材料:
已知:
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,P为AC边上的一动点,以PB,PA为边构造□APBQ,求对角线PQ的最小值及此时
的值是多少.
在解决这个问题时,小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识:
端点分别在两条平行线上的所有线段中,垂直于平行线的线段最短.进而,小明构造出了如图2的辅助线,并求得PQ的最小值为3.参考小明的做法,解决以下问题:
(1)继续完成阅读材料中的问题:
当PQ的长度最小时,
= ;
(2)如图3,延长PA到点E,使AE=nPA(n为大于0的常数).以PE,PB为边作□PBQE,那么对角线PQ的最小值为 ,此时
= ;
(3)如图4,如果P为AB边上的一动点,延长PA到点E,使AE=nPA(n为大于0的常数),以PE,PC为边作□PCQE,那么对角线PQ的最小值为 ,此时
= .
7.在图1、图2、图3、图4中,点P在线段BC上移动(不与B、C重合),M在BC的延长线上.
(1)如图1,△ABC和△APE均为正三角形,连接CE.
①求证:
△ABP≌△ACE.
②∠ECM的度数为 °.
(2)①如图2,若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形,连接CE.则∠ECM的度数为 °.
②如图3,若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形,连接CE.则∠ECM的度数为 °.
(3)如图4,n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形,连接CE,请你探索并猜想∠ECM的度数与正多边形边数n的数量关系(用含n的式子表示∠ECM的度数),并利用图4(放大后的局部图形)证明你的结论.
8.已知O是坐标原点,点A的坐标是(5,0),点B是y轴正半轴上一动点,以OB,OA为边作矩形OBCA,点E,H分别在边BC和边OA上,将△BOE沿着OE对折,使点B落在OC上的F点处,将△ACH沿着CH对折,使点A落在OC上的G点处。
(1)求证:
四边形OECH是平行四边形;
(2)当点B运动到使得点F,G重合时,求点B的坐标,并判断四边形OECH是什么四边形?
说明理由;
(3)当点B运动到使得点F,G将对角线OC三等分时,求点B的坐标。
9.倡导研究性学习方式,着力教材研究,习题研究,是学生跳出题海,提高学习能力和创新能力的有效途径.下面是一案例,请同学们认真阅读、研究,完成“类比猜想”及后面的问题.
习题解答:
习题如图
(1),点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,连接EF,则EF=BE+DF,说明理由.
解答:
∵正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠ADC=∠B=90°,
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE′,点F、D、E′在一条直线上.
∴∠E′AF=90°﹣45°=45°=∠EAF,
又∵AE′=AE,AF=AF
∴△AE′F≌△AEF(SAS)
∴EF=E′F=DE′+DF=BE+DF.
习题研究
观察分析:
观察图
(1),由解答可知,该题有用的条件是①ABCD是四边形,点E、F分别在边BC、CD上;②AB=AD;③∠B=∠D=90°;④∠EAF=
∠BAD.
类比猜想:
(1)在四边形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,当AB=AD,∠B=∠D时,还有EF=BE+DF吗?
研究一个问题,常从特例入手,请同学们研究:
如图
(2),在菱形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,当∠BAD=120°,∠EAF=60°时,还有EF=BE+DF吗?
(2)在四边形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,当AB=AD,∠B+∠D=180,∠EAF=
∠BAD时,EF=BE+DF吗?
归纳概括:
反思前面的解答,思考每个条件的作用,可以得到一个结论“EF=BE+DF”的一般命题:
在四边形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,当AB=AD,∠B+∠D=180,∠EAF=∠BAD时,则EF=BE+DF .
10.提出问题:
如图1,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点P在对角线AC上,一条直角边经过点B,另一条直角边交边DC与点E,求证:
PB=PE
分析问题:
学生甲:
如图1,过点P作PM⊥BC,PN⊥CD,垂足分别为M,N通过证明两三角形全等,进而证明两条线段相等.
学生乙:
连接DP,如图2,很容易证明PD=PB,然后再通过“等角对等边”证明PE=PD,就可以证明PB=PE了.
解决问题:
请你选择上述一种方法给予证明.
问题延伸:
如图3,移动三角板,使三角板的直角顶点P在对角线AC上,一条直角边经过点B,另一条直角边交DC的延长线于点E,PB=PE还成立吗?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
11.操作发现
将一副直角三角板如图①摆放,能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合.
问题解决
将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°,点C落在BF上,AC与BD交于点O,连接CD,如图②.
(1)求证:
△CDO是等腰三角形;
(2)若DF=8,求AD的长.
12.我们知道平行四边形有很多性质.
现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折,会发现这其中还有更多的结论.
【发现与证明】
ABCD中,AB≠BC,将△ABC沿AC翻折至△AB′C,连结B′D.
结论1:
B′D∥AC;
结论2:
△AB′C与
ABCD重叠部分的图形是等腰三角形.
……
请利用图1证明结论1或结论2(只需证明一个结论).
【应用与探究】在
ABCD中,已知∠B=30°,将△ABC沿AC翻折至△AB′C,连结B′D.
(1)如图1,若
,则∠ACB=°,BC=;
(2)如图2,
,BC=1,AB′与边CD相交于点E,求△AEC的面积;
(3)已知
,当BC长为多少时,是△AB′D直角三角形?
13.如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.
(1)求证:
CE=CF;
(2)在图1中,若G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?
为什么?
(3)根据你所学的知识,运用
(1)、
(2)解答中积累的经验,完成下列各题:
①如图2,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC=12,E是AB的中点,且∠DCE=45°,求DE的长;
②如图3,在△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC,BD=2,CD=3,则△ABC的面积为 _________ (直接写出结果,不需要写出计算过程).
14.如图,两个边长均为2的正方形ABCD和正方形CDEF,点B、C、F在同一直线上,一直角三角板的直角顶点放置在D点处,DP交AB于点M,DQ交BF于点N.
(1)求证:
△DBM≌△DFN;(4分)
(2)延长正方形的边CB和EF,分别与直角三角板的两边DP、DQ(或它们的延长线)交于点G和点H,试探究下列问题:
①线段BG与FH相等吗?
说明理由;(4分)
②当线段FN的长是方程
的一根时,试求出
的值.(4分)
15.如图所示,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,△AEF为正三角形,点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动,且E、F不与B、C、D重合.
(1)证明不论E、F在BC、CD上如何滑动,总有BE=CF;
(2)当点E、F在BC、CD上滑动时,分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化?
如果不变,求出这个定值;如果变化,求出最大(或最小)值.
16.如图,在正方形ABCD中,点E、F分别是BC、CD的中点,DE交AF于点M,点N为DE的中点.
(1)若AB=4,求△DNF的周长及sin∠DAF的值;
(2)求证:
2AD•NF=DE•DM.
17.在正方形ABCD中,点F是BC延长线上一点,过点B作BE⊥DF于点E,交CD于点G,连接CE.
(1)若正方形ABCD边长为3,DF=4,求CG的长;
(2)求证:
EF+EG=
CE.
18.
(1)图①是将线段AB向右平移1个单位长度,图②是将线段AB折一下再向右平移1个单位长度,请在图③中画出一条有两个折点的折线向右平移1个单位长度的图形﹒
(2)若长方形的长为a,宽为b,请分别写出三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积﹒
(3)如图④,在宽为10m,长为40m的长方形菜地上有一条弯曲的小路,小路宽为1m,求这块菜地的面积﹒
19.如图,在线段AE的同侧作正方形ABCD和正方形BEFG(BE<AB),连接EG并延长交DC于点M,作MN⊥AB,垂足为N,MN交BD于点P,设正方形ABCD的边长为1.
(1)证明:
四边形MPBG是平行四边形;
(2)设BE=x,四边形MNBG的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)如果按题设作出的四边形BGMP是菱形,求BE的长.
20.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,BC=16cm,AD是斜边BC上的高,垂足为D,BE=1cm.点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动,点N从点E出发,与点M同时同方向以相同的速度运动,以MN为边在BC的上方作正方形MNGH.点M到达点D时停止运动,点N到达点C时停止运动.设运动时间为t(s).
(1)当t为何值时,点G刚好落在线段AD上?
(2)设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S,当重叠部分的图形是正方形时,求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围.
(3)设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P,连接DP,当t为何值时,△CPD是等腰三角形?
参考答案
1.
(1)y=2x+8,D(2,2);
(2)存在,5;(3)
.
2.
(1)P(1,2);
(2)PE的解析式为:
y=2x﹣2
3.
(1)MA=MN,MA⊥MN;
(2)成立,理由详见解析
4.
(1)OE=OF,证明详见解析;
(2)OE=OF仍然成立,证明详见解析;
5.
(1)(2
,6).
(2)m=
(0<t<11).(3)(
,6)或(
,6).
6.
(1)
.
(2)3,
;(3)
,
.
7.
(1)60;
(2)45,36.(3)
.
8.
(1)证明见解析;
(2)点B的坐标是(0,
);四边形OECH是菱形.理由见解析;(3)(0,
)或(0,2
).
9.
(1)当∠BAD=120°,∠EAF=60°时,EF=BE+DF不成立,EF<BE+DF.理由见解析;
(2)当AB=AD,∠B+∠D=180,∠EAF=
∠BAD时,EF=BE+DF成立.理由见解析.
10.解决问题:
证明见解析;问题延伸:
成立,证明见解析.
11.
(1)证明见解析;
(2)12-4
.
12.【发现与证明】证明见解析;【应用与探究】
(1)45,
;
(2)
;(3)6,2,4或3.
13.
(1)证明见解析;
(2)GE=BE+GD成立,理由见解析;
(3)①DE=10;
②△ABC的面积为15.
14.
(1)证明见解析;
(2)①BG=FH.理由见解析;
②
.
15.
(1)证明见解析;
(2)四边形AECF的面积不变.
;△CEF的面积随△AEF面积的变化而变化,
.
16.
(1)△DNF的周长3+
;sin∠DAF=
;
(2)证明见解析
17.
(1)
;
(2)证明见解析.
18.
(1)图形见解析;
(2)S1=ab﹣b,S2=ab﹣b,S3=ab﹣b;
(3)菜地的面积是390m2.
19.
(1)证明见解析;
(2)y=
(0<x<1);(3)BE=2﹣
.
20.
(1)3;
(2)
;(3)t=9s或t=(15﹣6
)s.