生物统计学教案3.docx

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生物统计学教案3

生物统计学教案

第八章单因素方差分析

教学时间：

5学时

教学方法：

课堂板书讲授

教学目的：

重点掌握方差分析的方法步骤,掌握单因素和两因素的方差分析,了解多重比较的一些常用方法

讲授难点：

掌握单因素和两因素的方差分析

8.1方差分析的基本原理

8.1.1方差分析的一般概念

第五章讲过两个平均数差异性的比较可用t检验，在多组数据之间作比较便需要通过方差分析来完成。

在多组数据之间作比较可以在两两平均数之间比较，但会提高犯I型错误的概率。

最简单的方差分析是单因素方差分析。

下面举例说明。

例1调查5个不同小麦品系株高，结果见下表：

品系

IIIIIIIVV

164.664.567.871.869.2

265.365.366.372.168.2

364.864.667.170.069.8

466.063.766.869.168.3

565.863.968.571.067.5

和326.5322.0336.5354.0343.0

平均数65.364.467.370.868.6

例2从每窝均有4只幼仔的初生动物中，随机选择4窝，称量每只动物的出生重，结果如下：

窝别

IIIIIIIV

134.733.227.132.9

233.326.023.331.4

326.228.627.825.7

431.632.326.728.0

和125.8120.1104.9118.0

平均数31.45030.02526.22529.500

这两个例子都只有一个因素，例1是“品系”，例2是“窝别”。

在每个因素下，又有a个水平（或称为处理），例1有5个品系，例2

有4个窝别。

a个水平可以认为是a个总体，表中的数据是从a个总体中抽出的a个样本。

方差分析的目的就是由这a个样本推断a个总体。

因为上述实验都只有一个因素，对这样的数据所进行的方差分析称为“单因素方差分析”。

单因素方差分析的典型数据见下表。

X1X2X3…Xi…Xa

1x11x21x31xi1xa1

2x12x22x32xi2xa2

3x13x23x33xi3xa3

┇

jx1jx2jx3jxijxaj

┇

nx1nx2nx3nxinxan

平均数x1.x2.x3.xi.xa.

表中的xij表示第i次处理下的第j次观测值，下标中的“.”表示求和，具体说明如下：

8.1.2不同处理效应与不同模型

线性统计模型：

模型中的xij是在i水平下的第j次观测值。

μ是对所有观测值的一个参数，称为总平均数。

αi是仅对第i次处理的一个参数，称为第i次处理效应。

εij是随机误差成分，要求误差是服从N（0，σ2）的独立随机变量。

固定因素：

①因素的水平确定后，因素的效应即被确定。

②因素的a个水平是人为特意选择的。

③方差分析所得结论只适用于所

选定的a个水平。

固定效应模型：

处理固定因素所使用的模型。

随机因素：

①因素的水平确定之后，其效应并不固定。

②因素的a个水平是从水平总体中随机抽取的。

③从随机因素的a个水平所得到的结论，可推广到该因素的所有水平上。

随机效应模型：

处理随机因素所使用的模型。

8.2固定效应模型

8.2.1线性统计模型

其中αi是处理平均数与总平均数的离差，因这些离差的正负值相当，因此

如果不存在处理效应，各αi都应当等于0，否则至少有一个αi≠0。

因此，零假设为：

H0：

α1＝α2＝…＝αa＝0

备择假设为：

HA：

αi≠0（至少有一个i）

8.2.2平方和与自由度的分解

对于每个固定的xi.，

因此，

以SST表示总平方和，SSA表示处理平方和，SSe表示误差平方和，

三者关系为：

SST＝SSA＝SSe

自由度可做同样的分割：

dfT＝dfA+dfe

dfT＝an－1dfA＝a－1dfe＝an－a

为了得出检验统计量，以处理平方和与误差平方和除以相应的自由度，得出相应的均方。

MSe＝SSe/dfeMSA＝SSA/dfA。

8.2.3均方期望与统计量F

MSe是σ2的无偏估计量，证明如下：

用同样的方法可以得出MSA的均方期望。

因为E（εij）=0,故所有包含εij乘积项的数学期望都等于0

于是：

由以上结果可以看出，误差均方MSe是σ2的无偏估计量。

对处理项来说，只有当αi＝0时，MSA才是σ2的无偏估计量。

用MSA和MSe比较，便可以反映出αi的大小。

为此，使用统计量F作为检验统计量，做上尾单侧检验。

F=MSA/MSe，具dfA,dfe自由度，当FFα时拒绝零假设，处理平均数间差异显著。

在

中，令

则处理均方可表示为

这时的零假设可以记为H0：

ηα2=0。

备择假设记为HA：

ηα2>0。

将上述结果列在方差分析表中

变差来源平方和自由度均方F均方期望

处理间SSAa－1MSAMSA/MSeσ2+nηα2

误差SSena－aMSeσ2

总和SSTna－1

8.2.4平方和的简易计算

令

C称为校正项。

误差平方和

SSe＝SST－SSA

将例1中的每个数据都减去65，编码后列成下表。

品系

IIIIIIIVV

1－0.4－0.52.86.84.2

20.30.31.37.13.2

3－0.2－0.42.15.04.8

41.0－1.31.84.13.3

50.8－1.13.56.02.5总和

xi.1.5－3.011.529.018.057.0

xi.22.259.00132.25841.00324.001308.50

Σxij21.933.4029.43174.4668.06277.28

将以上结果列成方差分析表：

变差来源平方和自由度均方F

品系间131.74432.9442.23**

误差15.58200.78

总和147.3224

**α＝0.01

F4，20，0.05＝2.87，F4，20，0.01＝4.43。

F>F0.01。

P<0.01因此，上述5个不同小麦品系株高差异极显著。

习惯上以“*”表示在α＝0.05水平上差异显著，以“**”表示在α＝0.01水平上差异显著。

8.3随机效应模型

8.3.1线性统计模型

其中μ为总平均数，αi为服从N（0，σα2）的独立随机变量，εij为服从N（0，σ2）的独立随机变量。

在随机模型中，不是检验单个处理效应的有无，而是检验αi是否存在变异性。

因此

接受H0表示处理间没有差异，拒绝H0意味着处理间存在差异。

8.3.2均方期望及统计量F

在随机模型中，因为αi是独立随机变量，因此MSA的数学期望与固定模型不同。

MSA的数学期望：

同理可证

用检验统计量F做上尾单侧检验：

F＝MSA/MSe。

当F>Fa-1,an-a,α时拒绝H0。

MSA的期望组成除包含误差方差外，还包含处理项方差，表明不同处理间存在差异。

方差分析的程序与固定模型相同，但由于获得样本的方式不同，使之所得结果也不同。

随机模型适用于水平总体，而固定模型仅适用于所选定的a个水平。

以下是例2的计算结果，将每一数据均减去30。

4.73.2－2.92.9

3.3－4.0－6.71.4

－3.8－1.4－2.2－4.3

1.62.3－3.3－2.0总和

xi.5.80.1－15.1－2.0－11.2

xi.233.640.01228.014.00265.66

Σxij249.9833.4969.0332.86185.36

将上述结果列成方差分析表

变差来源平方和自由度均方F

窝间58.575319.5251.97

误差118.945129.912

总和177.62015

F3，12，0.05＝3.49，F0.05，接受H0。

结论是不同窝别动物出生重没有显著差异。

8.4多重比较

8.4.1最小显著差数法（LSD）

平均数差数的显著性检验公式为：

当n1＝n2时，

当差异显著时

后边式子，大于号的右侧称为最小显著差数，记为LSD。

8.4.2Duncan检验

检验程序：

①将需要比较的a个平均数依次排列好，使之：

并将每一对平均数的差列成下表：

②算出不同对平均数的差的临界值Rk。

其中

上式中的k是要比较的两个平均数之间所包含的平均数的个数。

当两个平均数相邻时k＝2，中间隔一个时k=3等。

平均数共有a个，所以需从附表9中查出a－1个rα，得到a－1个临界值Rk。

③每两个平均数的差与相应的临界值比较，显著的打上一个星花“*”，极显著的打上两个星花“**”。

下面对5个小麦品系株高平均数做duncan多重比较.

首先将平均数按从高到低顺序排列好。

品系号IVVIIIIII

平均数70.868.667.365.364.4

顺序号12345

根据MSe＝0.78，n＝5，df＝a（n－1）＝20，k＝2,3,4,5。

将临界值列成表。

k2345k2345

r0.052.953.103.183.25r0.014.024.224.334.40

Rk1.1651.2251.2561.284Rk1.5881.6671.7101.738

再以α＝0.05和α＝0.01水平上的临界值与下表中的平均数的差做比较，差异显著的打上

“*”，差异极显著的打上“**”。

8.5.1方差分析应具备的条件

1、可加性：

各处理效应与误差效应是可加的。

2、正态性：

ε：

NID（0，σ2）

3、方差齐性：

各处理的误差方差应具备齐性。