schemas-microsoft-com:
vml"/>=k（k一定）
反比例关系：
xy=k（k一定）
用表格表示数量间的关系
用图象表示数量间的关系
空
间
与
图
形
用字母表示
计量单位
长度单位：
km、m、dm、cm、mm
面积单位：
km2、hm2、m2、dm2、cm2
体积单位：
m3、dm3、cm3
容积单位：
L、ml
质量单位：
t、kg、k
用符号表示图形
用字母表示点：
三角形ABC/△ABC
表示线：
直线C、射线l、线段ab
用符号表示角：
∠1、∠2、∠3
互相平行：
AB∥CD
互相垂直：
AB⊥CD
用字母表示公式
长方形周长：
C=（a＋b）×2
长方形面积：
S=ab
正方形周长：
C=4a
正方形面积：
S=a2
平行四边形面积：
S=ah
三角形面积：
S=ah÷2
梯形面积：
S=（a＋b）h÷2
圆周长：
C=2∏r=∏d
圆面积：
S=∏r2
长方体表面积：
S=（ab＋ah＋bh）×2
长方体体积：
V=abh=sh
正方体表面积：
S=6a2
正方体体积：
V=a3=sh
圆柱表面积：
S=2∏r2＋2∏rh
圆柱体积：
V=sh
圆锥体积：
V=sh
统计与
概率
统计图和统计表
用统计图表描述和分析各种信息
可能性
用分数表示可能性的大小：
4、符号化思想的教学
符号化思想作为数学基本的、广泛应用的思想之一，教师和学生无时无刻不在与它们打交道。
教师在教学中应把握好以下几点：
（1）在思想上引起重视。
《数学课程标准》把培养学生的符号意识作为必学的内容，并提出了具体要求，足以证明它的重要性。
因此，教师在日常教学中应给予足够的重视。
（2）把培养符号意识落实到课堂教学目标中。
教师在每堂课的教学设计中，要明确符号的具体应用，并纳入教学目标中。
创设合适的情境，引导学生在探索中归纳和理解数学符号化的模型，并进行解释和应用。
（3）引导学生认识符号的特点。
数学符号是人们在研究现实世界的数量关系和空间形式的过程中产生的。
它来源于生活，但并不是生活中真实的物质存在，而是一种抽象概括。
如数字1，它可以表示现实生活中任何数量是一个的物体的个数，是一种高度的抽象概括，具有一定的抽象性。
一个数学符号一旦产生并被广泛应用，它就具有明确的含义，就能够进行精确的数学运算和推理证明，因而它具有精确性。
数学能够帮助人们完成大量的运算和推理证明，但如果没有简捷的思想和符号的参与，它的工作量及难度也是很大的，让人望而生畏。
一旦简捷的符号参与了运算和推理证明，数学的简捷性就体现出来了。
如欧洲人12世纪以前基本上用罗马数字进行计数和运算，由于这种计数法不是十进制的，大数的四则运算非常复杂，严重阻碍了数学的发展和普及。
直到12世纪印度数字及十进制计数法传入欧洲，才使得算术有了较快发展和普及。
数学符号的发展也经历了从各自独立到逐步规范、统一和国际化的过程，最明显的就是早期的数字符号从各自独立的埃及数字、巴比伦数字，中国数字、印度数字和罗马数字到统一的阿拉伯数字。
数学符号经历了从发明到应用再到统一的逐步完善的过程，并促进了数学的发展；反之，数学的发展也促进了符号的发展。
因而，数学和符号是相互促进发展的，而且这种发展可能是一个漫长的过程。
（4）符号意识的培养是一个长期的过程。
符号意识的培养应贯穿于数学学习的整个过程中，学生首先要理解和掌握数学符号的内涵和思想，并通过一定的训练，才能利用符号进行比较熟练地运算，推理和解决问题。
二、数形结合思想
1、数形结合思想的概念
数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。
数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学，数和形之间既对立以统一的关系，在一定的条件下可以相互转化。
这里的数是指数、代数式、方程、函数、数量关系式等，这里的形是指几何图形和函数图象。
在数学的发展史上，直角坐标系的应用堪称数形结合的完美体现。
数形结合思想的核心就是代数与几何的对立统一和完美结合，就是要善于把握什么时候运用代数方法解决几何问题是最佳的、什么时候运用几何方法解决代数问题是最佳的。
如解决不等式和函数问题有时用图象解决非常简捷，几何证明问题在初中是难点，到高中运用解析几何的代数方法有时就比较简便。
2、数形结合思想的重要意义
数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化、使繁难的数学问题简捷化，使得原本需要通过抽象思维解决的问题，有时借助形象思维就能够解决，有利于抽象思维和形象思维的协调发展和优化解决问题的方法。
数学家华罗庚曾说过：
“数缺形时少直觉，形少数时难入微”这句话深刻地揭示了数形之间的辩证关系以及数形结合的重要性。
众所周知，小学生的逻辑思维能力还比较弱，在学习数学时必须面对数学的抽象性这一现实问题；教材的编排和课堂教学都在千方百计地使抽象的数学问题转化成学生易于理解的方式呈现，借助数形结合思想中的图形直观手段，可以提供非常好的教学方法和解决方案。
如从数的认识、计算到比较复杂的实际问题，经常要借助图形来理解和分析，也就是说，在小学数学中，数离不开形。
另外，几何知识的学习，很多时候只凭直接观察看不出什么规律和特点，这时就需要用数来表示，如一个角是不是直角、两条边是否相等、周长和面积是多少等。
换句话说，就是形也离不开数。
因此，数形结合思想在小学数学中意义尤为重大。
3、数形结合思想的具体应用
数形结合思想在数学中的应用大致可分为两种情形：
一是借助于数的精确性、程序性和可操作性来阐明形的某些属性，可称之为“以数解形”；二是借助形的几何直观性来阐明某些概念及数之间的关系，可称之为“以形助数”。
数形结合思想在小学数学的四大领域知识的学习中都有非常普遍和广泛的应用，主要体现在以下几个方面：
一是利用“形”作为各种直观工具帮助学生理解和掌握知识、解决问题，如从低年级借助直线认识数的顺序，到高年级的画线段图帮助这生理解实际问题的数量关系。
二是数轴及平面直角坐标系在小学的渗透，如数轴、位置、正反比例关系图象等，使学生体会代数与几何之间的联系。
这方面的应用虽然比较浅显，但这正是数形结合思想的重点所在，是中学数学的重要基础。
三是统计图本身和几何概念模型都是数形结合思想的体现，统计图表把抽象的、枯燥的数据直观地表示出来，便于分析和决策。
四是用代数（算术）方法解决几何问题。
如角度、周长、面积和体积等的计算，通过计算三角形内角的度数，可以知识它是什么样的三角形等等。
4、数形结合思想的教学
数形结合思想的教学，应注意以下几个问题。
第一，如何正确理解数形结合思想。
数形结合中的形是数学意义上的形，是几何图形和图象。
有些老师往往容易把利用各种图形作为直观手段帮助学生理解知识，与数形结合思想中的“以形助数”混淆起来。
彼“形”非此“形”，小学数学中的实物和图片作为理解抽象知识的直观手段，很多时候是生活意义上的“形”，并不都是数形结合思想的应用，如：
6＋1=7，可以通过摆各种实物和几何图片帮助学生理解加法的算理，这里的几何图片并不是数形结合中的“形”，因为这里并不关心几何图片的形状和大小，用什么形状和大小的图片都行，并没有赋予图片本身形状和大小的量化的特征，甚至不用图片用小棒等材料也能起到相同的作用，因而它更是生活中的“形”。
如果结合数轴（低年级往往用类似于数轴的尺子或直线）来认识数的顺序和加法，那么这把数和形（数轴）建立了对应的关系，便于比较数的大小和进行加减法计算，这是真正的数形结合。
由于在解决实际问题时，通过画线段图帮助学生分析数量关系是老师和学生都非常熟悉的内容，因此在案例中不再出现这方面素材。
案例1：
1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋……
分析：
此很难用小学算术的知识直接计算，因为它有无穷多个数相加，如果是有限个数相加，用等式的性质进行恒等变换可以计算。
从题中数的特点来看，每一项的分子都是1，每一项的分母都是它前一项分母的2倍，或者说第几项分母就是2的几次方，第n项就是2的n次方。
联想到分数的计算可用几何直观图表示，那么现在可构造一个长度或者面积是1的线段或者正方形，不妨构造一个面积是1的正方形，如下图所示。
先取它的一半作为二分之一，再取余下的一半的一半作为四分之一，如此取下去……当取的次数非常大时，余下部分的面积已经非常小了，用极限的思想来看，当取的次数趋向于无穷大里，余下部分的面积趋向于0，因而，最后取的面积就是1。
也就是说，上面算式的得数是1。
第二，适当拓展数形结合思想的应用。
数形结合思想中的以数解形在中学应用的较多，在小学数学中常见的就是计算图形的周长、面积和体积等内容。
除此之外，还可以创新求变，在小学几何的范围内深入挖掘素材，在学生已有知识的基础上适当拓展，丰富小学数学的数形结合思想。
案例2：
把两个形状和大小相同的长方体月饼盒包装成一包，怎样包装最省包装纸？
分析：
此题是小学数学比较典型的通过探索活动发现规律的题目，一般情况下教师会给学生足够的学具进行操作，拼出几种包装方法，再通过计算比较表面积的大小找到最佳答案。
现在我们从代数思想出发，不用任何操作和具体数量的计算，一般性地，假设长方体的长、宽、高分别为a、b、h，并且a>b>h（只要给出三个数的大小顺序便可，谁大谁小并不影响用代数方法推理的过程和结论）
首先要明确的是，问题所求怎样包装最省包装纸，实际上就是求怎样拼才能使拼成的大长方体的表面积最小。
每个长方体有6个面，两个长方体拼成一个大长方体后仍然有6个面，但这6个面的面积是原来长方体的10个面的面积，其中有两个面是原来长方体的面，另4个面分别是原来相同的两个面拼成的；也就是说，大长方体的表面积已经不是原来两个长方体的12个面的面积直接相加的和了，而是它们的和再减去拼在一起的两个面的面积和。
原来两个长方体的12个面的面积和是恒定不变的，因而大长方体的表面积的大小，取决于减去的（拼在一起的）两个面的面积的大小，减去的两个面的面积和越大，大长方体的表面积就越小。
根据已知条件可知，ab>ah>bh，所以把最大的两个侧面贴在一起包装最省包装纸。
列成公式为：
S=4（ab＋bh＋ah）－2ab。
案例2：
如下图，大圆半径等于小圆直径，大圆周长与小圆周长的比是多少？
分析：
要解决这个问题，举例子只是其中一种方法。
运用数形结合思想同样可以解决。
设小圆半径为r，则大圆半径为2r，它们之间的周长之比是（2×3.14×2r）:
（2×3.14×2r）=2:
1。
三、化归思想
1、化归思想的概念。
人们面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，往往需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，这种思想方法称为化归（转化）思想。
从小学到中学，数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。
因此，化归既是一般化的数学思想方法，具有普遍的意义；同时，化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义和作用。
2、化归所遵循的原则。
化归思想的实质就是在已有的简单的、具体的、基本的知识的基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规划为常规，从而解决各种问题。
因此，应用化归思想时要遵循以下几个基本原则：
（1）数学化原则，即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题的方法。
数学来源于生活，应用于生活。
学习数学的目的之一就是要利用数学知识解决生活中的各种问题，《课程标准》特别强调的目标之一就是培养实践能力。
因此，数学化原则是一般化的普遍的原则之一。
（2）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。
人们学习数学的过程，就是一个不断面对新知识的过程；解决疑难问题的过程，也是一个面对陌生问题的过程。
从某种程度上说，这种转化过程对学生来说既是一个探索的过程，又是一个创新的过程；与《课程标准》提倡培养学生的探索能力和创新精神是一致的。
因此，学会把陌生的问题转化为熟悉的问题，是一个比较重要的原则。
（3）简单化原则，即把复杂的问题转化为简单的问题。
对解决问题者而言，复杂的问题未必都不会解决，但解决的过程可能比较复杂。
因此，把复杂的问题转化为简单的问题，寻求一些技巧和捷径，也不失为一种上策。
（4）直观化原则，即把抽象的问题转化为具体的问题。
苏雪的特点之一便是它具有抽象性。
有些抽象的问题，直接分析解决难度较大，需要把它转化为具体的问题，或者借助直观手段，比较容易分析解决。
因而，直观化是中小学生经常应用的方法，也是重要的原则之一。
3、化归思想的具体应用。
学生面对的各种数学问题，可以简单的分为两类：
一类是直接应用已有知识便可顺利解答的问题；另一种陌生的知识或者不能直接应用已有知识解答的问题，需要综合地应用已有知识或创造性地解决问题。
如知道一个长方形的长和宽，求它的面积，只要知道长方形公式的人，都可以计算出来，这是第一类问题；如果不知道平行四边形的面积公式，通过割补平移变换把平行四边形转化为长方形，推导出它的面积公式，再计算面积，这是第二类问题。
对于广大中小学生来说，他们在学习数学的过程中所遇到的很多问题都可以归为第二类问题，并且要不断地把第二种问题转化为第一类问题。
解决问题的过程，从某种意义上来说就是不断地转化求解的过程，因此，化归思想应用非常广泛。
化归思想在小学数学中应用如下表。
知识领域
知识点
应用举例
数与代数
数的意义
整数的意义，用实物操作和直观图帮助理解
小数的意义：
用直观图帮助理解
分数的意义：
用直观图帮助理解
负数的意义：
用数轴等直观图帮助理解
四则运算的意义
乘法的意义：
若干个相同的数相加的一种简便算法
除法的意义：
乘法的逆运算
四则运算的法则
整数加减法：
用实物操作和直观图帮助理解算法
小数加减法：
小数点对齐，然后按照整数的方法进行计算
小数乘法：
先按照整数乘法的方法进行计算，再点小数点
小数除法：
把除数转化为整数，基本按照整数的方法进行计算，需要注意被除数小数点与商的小数点对齐。
分数加减法：
异分母加减法转化为同分母加减法
分数除法：
转化为分数乘法
四则运算各部间的关系
a+b=cc-a=b
ab=ca=c÷b
简便计算
利用运算定律进行简便计算
方程
解方程：
解方程的过程，实际就是不断把方程转化为未知数前边的系数是1的过程（x=a）
解决问题的策略
化繁为简：
植树问题、鸡兔同笼问题等
化抽象为直观：
用线段图、图表、图像等直观表示数量之间的关系，帮助理解。
化实际问题为数学问题
化一般问题为特殊问题
化未知问题为已知问题
空间与图形
三角形内角和
通过操作把三个内角转化为平角
多边形的内角和
转化成三角形求内角和
面积公式
正方形的面积：
转化为长方形求面积
平行四边形求面积：
转化成长方形求面积
三角形的面积：
转化为平行四边形求面积
梯形的面积：
转化为平行四边形求面积
圆的面积：
转化为长方形求面积
组合图形面积：
转化为求基本图形的面积
体积公式
正方体的体积：
转化为长方体求体积
圆柱的体积：
转化为长方体求体积
圆锥的体积：
转化为圆柱求体积
统计与概率
统计图和统计表
运用不同的统计图表述各种数据
可能性
运用不同的方式表示可能性的大小
4、解决问题中的化归策略。
（1）化抽象问题为直观问题。
数学的特点之一是它具有很强的抽象性，这是每个乡学好数学的人必须面对的问题。
从小学到初中，再到高中，数学问题的抽象性不断加强，学生的抽象思维能力在不断接受挑战。
如果能把比较抽象的问题转化为操作或直观的问题，那么不但使得问题日益解决，经过不断地抽象→直观→抽象的训练，学生的抽象思维能力也会逐步提高。
下面举例说明。
案例1：
…=
分析：
此问题通过观察，可以发现一个规律：
没一项都是它前面一项的。
但是对于小学和初中的学生来说，还没有学习等比数列求和公式。
如果把一条线段看作1，先取它的一半表示，再取余下的一半表示，这样不断地取下去，最终相当于取了整条线段。
因此，上式的结果等于1，这样利用直观手段解决了高中生才能解决的问题。
（2）化繁为简的策略。
有些数学问题比较复杂，直接解答过程比较繁琐，如果在结果和数量关系相似的情况下，从更加简单的问题入手，找到解决问题的方法或建立模型，并进行适当检验，如果能够证明这种方法或模型是正确的，那么该问题一半来说便得到解决。
下面举例加以说明。
案例2：
把186拆分成两个自然数的和，证明拆分才能使拆分的两个自然数乘积最大？
187呢？
分析：
此题中的数比较大，如果用枚举法一个一个地猜测验证，比较繁琐。
如果从比较小的数开始枚举，利用不完全归纳法，看看能否找到解决方法。
如从10开始，10可以分成1和9,2和8,3和7,4和6,5和5。
他们的积分别是９，１６，２１，２４，２５。
可以初步认为拆分成相等的两个数的乘积最大，如果不确定，还可以再举一个例子，如１２可以分成：
１和１１,２和１０,３和９,４和８，５和７，６和６，他们的积分别是１１，２０，２７，３２，３５，３６。
由此可以推断：
把１８６拆分成９３和９３，９３和９３的乘积最大，乘积是８６４９。
适当的加以检验，如９２和９４的乘积为８６４８，９０和９６的乘积是８６４０，都比８６４９小。
因为１８７是奇数，无法拆分成相等的两个数，只能拆分成相差１的两个数，这时它们的乘积最大。
不再举例验证。
案例３：
你能快速口算８５×85=，95×95=，105×105=吗？
分析：
仔细观察可以看出，此类题有些共同点，每个算式中的两个因数相等，并且个位数都是5,。
如果不知道个位是5的相等的两个数的乘积的规律，直接快速口算是有难度的。
那么此类题有什么技巧那？
不妨从简单的是开始探索，如15×15=225，25×25=625.，35×35=1225。
通过这几个算式的因数与相应的积得特点，可以初步发现规律是：
个位数是5的相等的两个数相乘，积分为两部分：
左边为因数中5以外的数字乘比它大1的数，右边为25（5乘5的积）。
所以85×85=7225,95×95=9025,105×105=11025
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