届高考数学一轮复习精品学案第1讲集合.docx

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届高考数学一轮复习精品学案第1讲集合

2013年普通高考数学科一轮复习精品学案

第1讲集合

一．课标要求：

1．集合的含义与表示

（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；

（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；

2．集合间的基本关系

（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；

（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；

3．集合的基本运算

（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；

（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；

（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

二．命题走向

有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。

考试形式多以一道选择题为主，分值5分。

预测2013年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。

具体题型估计为：

（1）题型是1个选择题或1个填空题；

（2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。

三．要点精讲

1．集合：

某些指定的对象集在一起成为集合。

（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作aA；若b不是集合A的元素，

记作bA；

（2）集合中的元素必须满足：

确定性、互异性与无序性；

确定性：

设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；

互异性：

一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体

（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；

无序性：

集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；

（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；

列举法：

把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；

描述法：

把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：

在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再

画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意：

列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一

般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（4）常用数集及其记法：

非负整数集（或自然数集），记作N；

正整数集，记作N*或N+；

整数集，记作Z；

有理数集，记作Q；

实数集，记作R。

2．集合的包含关系：

（1）集合A的任何一个元素都是集合

B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），

记作AB（或A

B）；

集合相等：

构成两个集合的元素完全一样。

若A

B且B

A，则称A等于B，记作A=B；

若AB且A≠B，则称A是B的真子集，记作

A

B；

（2）简单性质：

1）A

A；2）

A；3）若AB，B

C，则A

C；4）若集合A

是n个元素的集合，则集合

A有2n个子集（其中2n－1个真子集）；

3．全集与补集：

（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作

U；

（2）若S是一个集合，AS，则，CS={x|x

S且x

A}称S中子集A的补集；

（3）简单性质：

1）CS（CS）=A；2）CSS=，CS=S。

4．交集与并集：

（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，

叫做集合A与B的交

集。

交集AB{x|xA且x

B}。

（2）一般地，由所有属于集合

A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合

A与B

的并集。

并集AB{x|xA或xB}。

注意：

求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

5．集合的简单性质：

（1）AAA,A

ABBA;

（2）A

A,A

BBA;

（3）（AB）

（A

B）;

（4）A

B

A

BA;ABABB；

（5）CS（A∩B）=（CSA）∪（CSB），CS（A∪B）=（CSA）∩（CSB）。

四．典例解析

题型1：

集合的概念

例1．设集合A

{x|x

1k

1,kZ}，若x

9

，则下列关系正确的是（

）

2

4

2

A．xA

B．xA

C．{x}A

D．{x}A

解：

由于

1

k

1

2k1

中2k

1只能取到所有的奇数，而

9

18

中18为偶数。

则

9

A,{9}

2

4

4

2

4

A。

选项为D；

2

2

点评：

该题考察了元素与集合、集合与集合之间的关系。

首先应该分清楚元素与集合之间是属于与不属于的关系，而集合之间是包含与不包含的关系。

例

2

．设集合

－＜

≤0}，

∈

2

P={m|1

m

Q={mR|mx+4mx－4＜0对任意实数x恒成立}，则

下列关系中成立的是（

）

A．P

Q

B．Q

P

C．P=Q

D．P∩Q=Q

解：

Q={m∈R|mx2

+4mx－4＜0对任意实数x恒成立＝，对m分类：

①m=0时，－4＜0恒成立；

②m＜0

时，需

=（4m）2－4×m×（－4）＜0，解得m＜0。

综合①②知m≤0，

∴Q={m∈R|m≤0}。

答案为A。

点评：

该题考察了集合间的关系，同时考察了分类讨论的思想。

集合

Q中含有参数

m，

需要对参数进行分类讨论，不能忽略m=0的情况。

题型2：

集合的性质

例3．已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的个数是（

A．15B．16C．3

）

D．4

解：

根据子集的计算应有24－1=15（个）。

选项为A；

点评：

该题考察集合子集个数公式。

注意求真子集时千万不要忘记空集

集合的真子集。

同时，A不是A的真子集。

是任何非空

变式题：

同时满足条件：

①

M{1,2,3,4,5};

②若

a

M,则6－a

M

，这样的集合

M有多少个，举出这些集合来。

答案：

这样的集合M有8个。

例4．已知全集S{1,3,x3

x2

2x}，A={1,2x

1}如果CSA

{0}，则这样的实数

x是否存在？

若存在，求出

x，若不存在，说明理由。

解：

∵CSA{0}；

∴0S且0

A，即x3

x2

2x＝0，解得x

0,x

2

1,x2

1

3

当x0

时，2x1

1

，为A中元素；

当x1时，2x13S

当x2时，2x13S

∴这样的实数

x存在，是

x

1或

x

2。

另法：

∵CSA

{0}

∴0

S且0

A，3

A

∴x3

x2

2x＝0且2x13

∴x

1或x

2。

点评：

该题考察了集合间的关系以及集合的性质。

分类讨论的过程中

“当x0

时，

2x

1

1”不能满足集合中元素的互异性。

此题的关键是理解符号

CSA

{0}是两层含义：

0

S且0

A。

变式题：

已知集合

A

{m,md,m

2d},B

{m,mq,mq2}，其中m

0,且A

B,

求q的值。

解：

由A

B可知，

m

d

mq

，或

（2）m

d

mq

2

（1）

2

m

2d

m

2d

mq

mq

解

（1）得q

1，

解

（2）得q

1,或q

1

，

2

又因为当q1时，m

mq

mq2与题意不符，

所以，q

1

。

2

题型3：

集合的运算

例5．已知集合M＝｛x|x＜3}，N＝｛x|log2x＞1｝，则M∩N＝（

）

A．

B．｛x|0＜x＜3

}

C．｛x|1＜x＜3}

D．｛x|2＜x＜3}

解：

由对数函数的性质，且2>1，显然由log2

x

1易得B

（2,

）。

从而

A

B

（2,3）。

故选项为D。

点评：

该题考察了不等式和集合交运算。

例6．设集合A

x

x

2

2,x

R

，B

y|y

x2,

1

x

2

，则CRA

B

等于（

）

A．R

B．xxR,x0

C．0

D．

解：

A[0,2]

，

B

[

4,0]

，所以

CRA

B

CR{0}

，故选

。

B

点评：

该题考察了集合的交、补运算。

题型4：

图解法解集合问题

例7．已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且AB，则实数a的取值范围是_

_。

解：

∵A={x|－2≤x≤2}，B={x|x≥a}，又A

B，利用数轴

上覆盖关系：

如图所示，因此有

a≤－2。

点评：

本题利用数轴解决了集合的概念和集合的关系问题。

例8．已知全集I＝N*，集合A＝｛x｜x＝2n，n∈N*｝，B＝｛x｜x＝4n，n∈N｝，则

（）

A．I＝A∪BB．I＝（CIA）∪B

C．I＝A∪（CIB）D．I＝（CIA）∪（CIB）

解：

方法一：

CIA中元素是非2的倍数的自然数，CIB中元素是非4的倍数的自然数，

显然，只有Ｃ选项正确.

方法二：

因A＝｛2，4，6，8｝，B＝｛4，8，12，16，｝，所以CIB＝｛1，2，3，5，6，7，9｝，所以I＝A∪CIB，故答案为Ｃ.

方法三：

因BA，所以（CI）A（CI）B，（CI）A∩（CIB）

＝CIA，故I＝A∪（CIA）＝A∪（CIB）。

方法四：

根据题意，我们画出Venn图来解，易知BA，如图：

可以清楚看到I=A∪（CIB）

是成立的。

点评：

本题考查对集合概念和关系的理解和掌握，注意数形结合的思想方法，用无限集考查，提高了对逻辑思维能力的要求。

题型5：

集合的应用

例9．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果赞成A的人数是全体的五

分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。

问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？

解：

赞成A的人数为

50×3

=30，赞成B的人数为

5

30+3=33，如上图，记50

名学生组成的集合为U，赞成

事件A的学生全体为集合

A；赞成事件B的学生全体为

集合B。

U

AB

X

30-X33-X

X

+1

3

设对事件A、B都赞成的学生人数为

x,则对A、B都

不赞成的学生人数为

x+1,赞成A而不赞成B的人数为

30－x，赞成B而不赞成A的人数为

3

x

。

所以对

A、B都赞成的同学有21

33－x。

依题意（30－x）+（33－x）+x+（+1）=50,解得x=21

3

人，都不赞成的有

8人。

点评：

在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，

韦恩图法等，需要考生切

实掌握。

本题主要强化学生的这种能力。

解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，

想到

用韦恩图直观地表示出来。

本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，

不好找线索。

画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系。

例10．求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是

3的倍数，也不是

5的倍数

的自然数共有多少个？

解：

如图先画出Venn图，不难看出不符合条件

的数共有（200÷2）＋（200÷3）＋（200÷5）5的倍数

－（200÷10）－（200÷6）－（200÷15）

＋（200÷30）＝146

2的倍数

3的倍数

所以，符合条件的数共有

200－146＝54（个）

点评：

分析200个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，

而不满

足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。

题型7：

集合综合题

例11．设集合A={x||x－a|<2}，B={x|

2x

1

x

<1}，若AB，求实数a的取值范围。

2

解：

由|x－a|<2，得a－2

由2x

1

<1，得x

3

<0，即－2

x

2

x

2

因为A

B，所以

a

2

2

a

2

，于是0≤a≤1。

3

点评：

这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。

主要考查集合的

概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。

在解题过程中要注意利

用不等式的解集在数轴上的表示方法

.体现了数形结合的思想方法。

例12．已知{an}是等差数列，

d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作

Sn,设集合

Sn

）|n

*

1

2

2

A={（an,

∈N},B={（x,y）|

x－y=1,x,y∈R}。

n

4

试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明：

（1）若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；

（2）A∩B至多有一个元素；

（3）当a1≠0时，一定有A∩B≠。

解：

（1）正确；在等差数列{an}中，Sn=n（a1

an）,则Sn

1

（a1+an）,这表明点（an,Sn）

2

n

2

n

的坐标适合方程y

1

（x+a1）,于是点（an,

Sn

）均在直线y=

1

x+

1

a1上。

2

n

2

2

y

1

x

1

a1

（2）正确；设（x,y）∈A∩B,则（x,y）中的坐标x,y应是方程组

2

2

的解，由方程

1x2

y2

1

2

*

4

组消去y得：

2a1x+a1=

－4（），

当a1=0时，方程（*）无解，此时A∩B=

；

4

2

y

a1

4

a12

2a1

当a1≠0时，方程

*

）只有一个解x=

（

此时，方程组也只有一解

a

故

2a1

2

4

y

1

4a1

上述方程组至多有一解。

∴A∩B至多有一个元素。

（3）不正确；取a1=1，d=1，对一切的x∈N*，有an=a1+（n－1）d=n>0,Sn>0，这时集

n

合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于

a1=1≠0如果A∩B≠

，那

么据

（2）的结论，A∩B中至多有一个元素（x

4a12

2＜0,y

a1

x0

3＜0，

0,y0）,而x0=

0=

2

4

2a1

5

这样的（x0,y0）A,产生矛盾，故a1=1,d=1时A∩B=

，所以a1≠0时，一定有A∩B≠

是不正

确的。

点评：

该题融合了集合、数列、直线方程的知识，属于知识交汇题。

变式题：

解答下述问题：

（Ⅰ）设集合

{|

2

2

2

4

0},

{|

0},，若

求实数m

A

x

x

x

m

B

xx

A

B

的取值范围.

分析：

关键是准确理解

A

B

的具体意义，首先要从数学意义上解释

A

B

的意义，然后才能提出解决问题的具体方法。

解：

命题

方程

x

2

2x

2m

4

至少有一个负实数根

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