届高考数学一轮复习精品学案第1讲集合.docx

1、届高考数学一轮复习精品学案第1讲集合2013 年普通高考数学科一轮复习精品学案第1讲 集 合一课标要求：1集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于 ”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；2集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；3集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用 Venn 图表达集合的关系及运

2、算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。二命题走向有关集合的高考试题， 考查重点是集合与集合之间的关系， 近年试题加强了对集合的计算化简的考查， 并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时， 要注意利用几何的直观性，注意运用 Venn 图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值 5 分。预测 2013 年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为：（1）题型是 1 个选择题或 1 个填空题；（2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。三要点精讲1集合：某些指定的

3、对象集在一起成为集合。（ 1）集合中的对象称元素， 若 a 是集合 A 的元素， 记作 a A ；若 b 不是集合 A 的元素，记作 b A ；（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确 定 性 ： 设 A 是 一 个 给 定 的 集 合 ， x 是 某 一 个 具 体 对 象 ， 则 或 者 是 A 的元素，或者不是 A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法

4、；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内。具体方法： 在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值 （或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。注意： 列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法， 要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。（4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作 N；正整数集，记作 N*或 N+；整数集，记作 Z；有理数集，记作 Q；实数集，记作 R。2集合的包含关系：（ 1）集合 A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称 A

5、是 B 的子集（或 B 包含 A），记作A B（或AB ）；集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若 AB 且 BA，则称 A 等于 B，记作 A=B；若 A B 且 AB，则称 A 是 B 的真子集，记作AB；（ 2）简单性质： 1） AA； 2）A；3）若 A B，BC，则 AC；4）若集合 A是 n 个元素的集合，则集合A 有 2n 个子集（其中 2n 1 个真子集）；3全集与补集：（ 1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ；（ 2）若 S 是一个集合， A S，则， CS = x | xS且 xA 称 S 中子集 A 的补集；（ 3）简单性质： 1） CS

6、( CS )=A； 2） CS S= ， CS =S。4交集与并集：（ 1）一般地， 由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做集合 A与 B的交集。交集 A B x | x A且xB 。（ 2）一般地，由所有属于集合A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，称为集合A 与 B的并集。 并集 A B x | x A或x B 。注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是 “且 ”与 “或 ”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。5集合的

7、简单性质：（1）A A A,A,ABBA;（2） AA, ABBA;（3） (A B)( AB);（4） ABABA;ABABB；（ 5） CS（ AB） =（ CS A）（ CS B）， CS （ AB） =（ CS A） （ CS B）。四典例解析题型 1：集合的概念例 1设集合 A x | x1 k1 , k Z ，若 x9，则下列关系正确的是（）242A x AB x AC x AD xA解：由于1k12k 1中 2k1只能取到所有的奇数，而918中 18 为偶数。则9A, 924424A 。选项为 D；22点评：该题考察了元素与集合、 集合与集合之间的关系。 首先应该分清楚元素与集合

8、之间是属于与不属于的关系，而集合之间是包含与不包含的关系。例2设集合 0，2P= m| 1mQ= m R|mx +4mx 40 对任意实数 x 恒成立 ，则下列关系中成立的是（）A PQB QPCP=QD PQ=Q解： Q= mR |mx2+4mx 4 0 对任意实数 x 恒成立，对 m 分类：m=0 时， 4 0 恒成立；m 0时，需=（4m） 2 4m（ 4） 0，解得 m0。综合知 m0，Q= mR |m0。答案为 A。点评：该题考察了集合间的关系，同时考察了分类讨论的思想。集合Q 中含有参数m，需要对参数进行分类讨论，不能忽略 m=0 的情况。题型 2：集合的性质例 3已知集合 A=1

9、 ， 2， 3，4 ，那么 A 的真子集的个数是（A 15 B 16 C3）D 4解：根据子集的计算应有 24 1=15（个）。选项为 A；点评：该题考察集合子集个数公式。注意求真子集时千万不要忘记空集集合的真子集。同时， A 不是 A 的真子集。是任何非空变式题：同时满足条件：M 1,2,3,4,5;若aM ,则6aM，这样的集合M有多少个，举出这些集合来。答案：这样的集合 M 有 8 个。例 4已知全集 S 1,3, x3x22x ，A=1, 2x1如果 CSA 0 ，则这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ，若不存在，说明理由。解： CS A 0 ；0 S且0A ，即 x3x22x 0

10、，解得 x0, x21, x 213当 x 0时， 2x 11，为 A 中元素；当 x1时， 2x 1 3 S当 x 2 时， 2x 1 3 S这样的实数x 存在，是x1 或x2 。另法： CSA 0 0S且 0A ， 3A x3x22x 0 且 2x 1 3 x1 或 x2 。点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当 x 0时，2x11”不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号CS A 0 是两层含义：0S且 0A 。变式题：已知集合A m, m d , m2d, B m, mq, mq2 ， 其中 m0,且AB ,求 q 的值。解：由 AB 可知，mdmq，

11、或（ 2） mdmq2（1）2m2dm2dmqmq解（ 1）得 q1，解（ 2）得 q1, 或 q1，2又因为当 q 1 时， mmqmq2 与题意不符，所以， q1。2题型 3：集合的运算例 5已知集合 M x|x 3 ， N x|log2x 1，则 MN（）ABx|0 x 3C x|1 x 3D x|2 x 3 解 ： 由 对 数 函 数 的 性 质 ， 且 21 ， 显 然 由 log 2x1易得 B(2,)。从而AB(2,3) 。故选项为 D。点评：该题考察了不等式和集合交运算。例 6设集合 Axx22, xR， By | yx2 ,1x2，则CR AB等于（）A RB x x R,

12、x 0C 0D 解：A 0,2，B4,0，所以CR ABCR0，故选。B点评：该题考察了集合的交、补运算。题型 4：图解法解集合问题例 7已知集合 A= x|x| 2，xR ，B= x|xa ，且 A B，则实数 a 的取值范围是 _。解： A= x| 2x2， B= x|xa ，又 AB，利用数轴上覆盖关系：如图所示，因此有a2。点评：本题利用数轴解决了集合的概念和集合的关系问题。例 8已知全集 I N* ，集合 A xx 2n， n N* ， B x x 4n， n N，则（）A I AB B I（ CI A） BC I A（ CI B） D I（ CI A）（ CI B）解：方法一： C

13、I A 中元素是非 2 的倍数的自然数， C I B 中元素是非 4 的倍数的自然数，显然，只有选项正确 .方法二：因 A 2，4，6，8 ，B 4，8，12，16， ，所以 CI B 1，2，3， 5， 6， 7，9 ，所以 I A C I B，故答案为 .方法三： 因 B A，所以（ CI ）A （ CI ）B，（ CI ）A（ CI B） CI A，故 I A（ CI A） A（ CI B）。方法四：根据题意，我们画出 Venn 图来解，易知 B A，如图：可以清楚看到 I =A（ CI B）是成立的。点评：本题考查对集合概念和关系的理解和掌握， 注意数形结合的思想方法， 用无限集考查，

14、提高了对逻辑思维能力的要求。题型 5：集合的应用例 9向 50 名学生调查对 A、 B 两事件的态度，有如下结果赞成 A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人，其余的不赞成；另外，对 A、B 都不赞成的学生数比对 A、 B 都赞成的学生数的三分之一多 1 人。问对 A、 B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？解：赞成 A 的人数为503=30，赞成 B 的人数为530+3=33 ，如上图，记 50名学生组成的集合为 U，赞成事件 A 的学生全体为集合A；赞成事件 B 的学生全体为集合 B。UA BX30-X 33-XX+13设对事件 A、B 都赞成的

15、学生人数为x,则对 A、B 都不赞成的学生人数为x +1,赞成 A 而不赞成 B 的人数为30 x，赞成 B 而不赞成 A 的人数为3x。所以对A、 B 都赞成的同学有 2133 x。依题意 (30 x)+(33 x)+x+( +1)=50, 解得 x=213人，都不赞成的有8 人。点评： 在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等， 需要考生切实掌握。 本题主要强化学生的这种能力。解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来。本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索。画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系。例 10求 1 到

16、 200 这 200 个数中既不是 2 的倍数，又不是3 的倍数，也不是5 的倍数的自然数共有多少个？解：如图先画出 Venn 图，不难看出不符合条件的数共有（ 2002）（ 2003） (200 5) 5的倍数(200 10) (200 6) (200 15) (200 30) 1462的倍数3的倍数所以，符合条件的数共有200 146 54（个）点评：分析 200 个数分为两类， 即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。题型 7：集合综合题例 11设集合 A= x|x a|2 ， B= x|2x1x1 ，若 A B，求实数 a 的取值范

17、围。2解：由 |x a|2，得 a 2xa+2，所以 A= x|a2 xa+2 。由 2x11 ，得 x30，即 2x3，所以 B= x| 2 x0, Sn 0，这时集n合 A 中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=1 0 如果 AB，那么据 (2) 的结论， AB 中至多有一个元素 (x4 a122 0,ya1x030，0,y0),而 x0=0=242a15这样的 (x0,y0) A,产生矛盾，故 a1=1,d=1 时 AB=，所以 a1 0时，一定有 AB是不正确的。点评：该题融合了集合、数列、直线方程的知识，属于知识交汇题。变式题：解答下述问题：（）设集合 |22240, |0, ，若,求实数 mAxxxmBx xAB的取值范围 .分析：关键是准确理解AB的具体意义，首先要从数学意义上解释AB的意义，然后才能提出解决问题的具体方法。解：命题方程x22x2m4至少有一个负实数根,0