高考上海理科数学试题及答案高清版.docx

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高考上海理科数学试题及答案高清版

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试

数学理工农医类（上海卷）

本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）每题填对得4分，否则一律得零分．

1．计算：

__________（i为虚数单位）．

2．若集合A＝{x|2x＋1＞0}，B＝{x||x－1|＜2}，则A∩B＝__________.

3．函数的值域是__________．

4．若n＝（－2,1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为__________（结果用反三角函数值表示）．

5．在（x－）6的二项展开式中，常数项等于__________．

6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，Vn，…，则__________.

7．已知函数f（x）＝e|x－a|（a为常数），若f（x）在区间[1，＋∞）上是增函数，则a的取值范围是__________．

8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为__________．

9．已知y＝f（x）＋x2是奇函数，且f

（1）＝1.若g（x）＝f（x）＋2，则g（－1）＝__________.

10．如图，在极坐标系中，过点M（2,0）的直线l与极轴的夹角.若将l的极坐标方程写成ρ＝f（θ）的形式，则f（θ）＝__________.

11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是__________（结果用最简分数表示）．

12．在平行四边形ABCD中，，边AB，AD的长分别为2,1.若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足，则的取值范围是__________．

13．已知函数y＝f（x）的图像是折线段ABC，其中A（0,0），B（，5），C（1,0）．函数y＝xf（x）（0≤x≤1）的图像与x轴围成的图形的面积为__________．

14．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC＝2.若AD＝2c，且AB＋BD＝AC＋CD＝2a，其中a，c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是__________．

二、选择题（本大题共有4题，本大题满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分．

15．若是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则（　　）

A．b＝2，c＝3B．b＝－2，c＝3

C．b＝－2，c＝－1D．b＝2，c＝－1

16．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（　　）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．不能确定

17．设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5＝105.随机变量ξ1取值x1，x2，x3，x4，x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值，，，，的概率也均为0.2.若记Dξ1，Dξ2分别为ξ1，ξ2的方差，则（　　）

A．Dξ1＞Dξ2B．Dξ1＝Dξ2

C．Dξ1＜Dξ2D．Dξ1与Dξ2的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关

18．设，Sn＝a1＋a2＋…＋an.在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（　　）

A．25B．50C．75D．100

A．16B．72C．86D．100

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．

19．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．已知AB＝2，，PA＝2.求：

（1）三角形PCD的面积；

（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．

20．已知函数f（x）＝lg（x＋1）．

（1）若0＜f（1－2x）－f（x）＜1，求x的取值范围；

（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g（x）＝f（x），求函数y＝g（x）（x∈[1,2]）的反函数．

21．海事救援船对一艘失事船进行定位：

以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处，如图．现假设：

①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t.

（1）当t＝0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；

（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

22．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：

2x2－y2＝1.

（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；

（2）设斜率为1的直线l交C1于P，Q两点．若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：

OP⊥OQ；

（3）设椭圆C2：

4x2＋y2＝1.若M，N分别是C1，C2上的动点，且OM⊥ON，求证：

O到直线MN的距离是定值．

23．对于数集X＝{－1，x1，x2，…，xn}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2，定义向量集Y＝{a|a＝（s，t），s∈X，t∈X}．若对任意a1∈Y，存在a2∈Y，使得a1·a2＝0，则称X具有性质P.例如{－1,1,2}具有性质P.

（1）若x＞2，且{－1,1,2，x}具有性质P，求x的值；

（2）若X具有性质P，求证：

1∈X，且当xn＞1时，x1＝1；

（3）若X具有性质P，且x1＝1，x2＝q（q为常数），求有穷数列x1，x2，…，xn的通项公式．

1．答案：

1－2i

解析：

＝.

2．答案：

{x|＜x＜3}

解析：

A＝{x|2x＋1＞0}＝{x|x＞}，B＝{x||x－1|＜2}＝{x|－1＜x＜3}，

∴A∩B＝{x|＜x＜3}．

3．答案：

[，]

解析：

f（x）＝2×（－1）－sinxcosx＝－2－，

∵sin2x∈[－1,1]，∴f（x）∈[，]

4．答案：

arctan2

解析：

∵n＝（－2,1）是直线l的一个法向量，∴v＝（1,2）是直线l的一个方向向量，∴l的斜率为2，即倾斜角的大小为arctan2.

5．答案：

－160

解析：

（x－）6的二项展开式中的常数项为·（x）3·（－）3＝－160.

6．答案：

解析：

棱长是以1为首项、为公比的等比数列，则体积V1，V2，…，Vn是以1为首项、为公比的等比数列，所以V1＋V2＋…＋Vn＝，

∴.

7．答案：

（－∞，1]

解析：

当x＞a时f（x）单调递增，当x＜a时，f（x）单调递减，又f（x）在[1，＋∞）上是增函数，所以a≤1.

8．答案：

解析：

如图，由题意知，

∴l=2.

又展开图为半圆，∴πl=2πr，

∴r=1，故圆锥的高为，体积.

9．答案：

－1

解析：

令H（x）＝f（x）＋x2，则H

（1）＋H（－1）＝f（－1）＋1＋f

（1）＋1＝0，∴f（－1）＝－3，

∴g（－1）＝f（－1）＋2＝－1.

10．答案：

解析：

如图所示，根据正弦定理，有，∴.

11．答案：

解析：

若每人都选择两个项目，共有不同的选法种，而有两人选择的项目完全相同的选法有种，故填.

12．答案：

[2,5]

解析：

如图，设，

则λ∈[0,1]，·＝（＋）·（＋）＝（＋λ）·（＋（λ－1））＝·＋（λ－1）·＋λ·＋λ（λ－1）·＝1×2×＋（λ－1）×（－4）＋λ×1＋λ（λ－1）×（－1）＝1＋4－4λ＋λ－λ2＋λ＝－（λ＋1）2＋6.

∵λ∈[0,1]，∴·∈[2,5]．

13．答案：

解析：

由题意

则

∴xf（x）与x轴围成图形的面积为

＝＝.

14．答案：

解析：

如图：

当AB=BD=AC=CD=a时，

该棱锥的体积最大．

作AM⊥BC，连接DM，

则BC⊥平面ADM，，.

又AD=2c，∴.

∴VD－ABC=VB－ADM+VC－ADM=.

15B　由x1＝1＋i，知x2＝1－i.

则x1＋x2＝2＝－b，即b＝－2；

x1x2＝（1＋i）（1－i）＝1－2i2＝3＝c.

16．C　由正弦定理可知a2＋b2＜c2，

从而，

∴C为钝角，故该三角形为钝角三角形．

17．A　Eξ1＝0.2（x1＋x2＋x3＋x4＋x5）

＝0.2（x1＋x2＋x3＋x4＋x5）

∴Eξ1＝Eξ2，记Eξ1＝Eξ2＝a.

则Dξ1＝0.2[（x1－a）2＋（x2－a）2＋（x3－a）2＋（x4－a）2＋（x5－a）2]

＝0.2[x12＋x22＋x32＋x42＋x52－2a（x1＋x2＋x3＋x4＋x5）＋5a2]

Dξ2＝0.2[（－a）2＋（－a）2＋（－a）2＋（－a）2＋（－a）2]

＝0.2{[（x1＋x2）2＋（x2＋x3）2＋（x3＋x4）2＋（x4＋x5）2＋（x5＋x1）2]－2a（x1＋x2＋x3＋x4＋x5）＋5a2]}

∴Dξ1－Dξ2＝0.2{x12＋x22＋x32＋x42＋x52－[（x1＋x2）2＋（x2＋x3）2＋（x3＋x4）2＋（x4＋x5）2＋（x5＋x1）2]}

＝[2x12＋2x22＋2x32＋2x42＋2x52－（2x1x2＋2x2x3＋2x3x4＋2x4x5＋2x5x1]

∵10≤x1＜x2＜x3＜x4＜x5

∴x12＋x22＞2x1x2

x22＋x32＞2x2x3

x32＋x42＞2x3x4

x42＋x52＞2x4x5

x52＋x12＞2x5x1

∴2x12＋2x22＋2x32＋2x42＋2x52＞2x1x2＋2x2x3＋2x3x4＋2x4x5＋2x5x1

∴Dξ1－Dξ2＞0，即Dξ1＞Dξ2.

18．D　∵，

∴当n≤24时，an均大于0，a25＝0，

∴可知S1，S2，…，S25均大于0.

又，

∴S26＝a1＋a2＋…＋a25＞0，

而，

∴a27＋a2＞0.

同理可得a28＋a3＞0，…，a49＋a24＞0，

而a51到a74均为正项，a75＝0，a76到a99均为负项，且|a76|＜a51，|a77|＜a52，…，|a99|＜a74，a100＝0，

故{Sn}中前100项均为正数．

19．解：

（1）因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD．

又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD．

从而CD⊥PD．

因为，CD＝2，

所以三角形PCD的面积为.

（2）解法一：

如图所示，建立空间直角坐标系，

则B（2,0,0），C（2,,0），E（1,,1）．

＝（1,,1），＝（0,,0）．

设与的夹角为θ，

则，

.

由此知，异面直线BC与AE所成的角的大小是.

解法二：

取PB中点F，连接EF，AF，

则EF∥BC，从而∠AEF（或其补角）是异面直线BC与AE所成的角．

在△AEF中，由，，AE＝2，

知△AEF是等腰直角三角形．

所以∠AEF＝.

因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是.

20．解：

（1）由得－1＜x＜1.

由0＜lg（2－2x）－lg（x＋1）＝＜1，

得1＜＜10.

因为x＋1＞0，所以x＋1＜2－2x＜10x＋10，.

由得.

（2）当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，

因此y＝g（x）＝g（x－2）＝g（2－x）＝f（2－x）＝lg（3－x）．

由单调性可得y∈[0，lg2]．

因为x＝3－10y，所以所求反函数是y＝3－10x，x∈[0，lg2]．

21．解：

（1）t＝0.5时，P的横坐标xP＝7t＝，代入抛物线方程，得P的纵坐标yP＝3.

由，得救援船速度的大小为海里/时．

由tan∠OAP＝，得∠OAP＝，

故救援船速度的方向为北偏东弧度．

（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t,12t2）．

由，

整理得v2＝