学年数学人教版九年级上册213 实际问题与一元二次方程2 同步测试解析版.docx

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学年数学人教版九年级上册213实际问题与一元二次方程2同步测试解析版

2018-2019学年数学人教版九年级上册21.3实际问题与一元二次方程

（2）同步测试

一、选择题

1.（2分）某商品的进价为每件20元．当售价为每件30元时，每天可卖出100件，现需降价处理，且经市场调查：

每降价1元，每天可多卖出10件．现在要使每天利润为750元，每件商品应降价（  ）元．

A. 2                                          

B. 2.5                                          

C. 3                                          

D. 5

2.（2分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：

今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？

意思是：

一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？

设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（  ）

A. x2﹣3=（10﹣x）2      

B. x2﹣32=（10﹣x）2      

C. x2+3=（10﹣x）2      

D. x2+32=（10﹣x）2

3.（2分）如图，一边靠学校院墙，其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB=x米，面积为S平方米，则下面关系式正确的是（  ）

A. S=x（40﹣x）              B. S=x（40﹣2x）              C. S=x（10﹣x）              D. S=10（2x﹣20）

4.（2分）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-3x+2=0的两根，则该等腰三角形的周长是（  ）

A. 5或4                                         

B. 4                                         

C. 5                                         

D. 3

5.（2分）现有一块长方形绿地，它的短边长为20m，若将短边增大到与长边相等（长边不变），使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加300m2，设扩大后的正方形绿地边长为xm，下面所列方程正确的是（   ）

A. x（x-20）=300                 

B. x（x+20）=300                 

C. 60（x+20）=300                 

D. 60（x-20）=300

6.（2分）某商场把一双钉鞋按标价的八折出售，仍可获利20%．若钉鞋的进价为100元，则标价为（  ）

A. 145元                                 

B. 165元                                 

C. 180元                                 

D. 150元

7.（2分）某商场将进价为

元∕件的玩具以

元∕件的价格出售时，每天可售出

件，经调查当单价每涨1元时，每天少售出

件．若商场想每天获得

元利润，则每件玩具应涨多少元？

若设每件玩具涨x元，则下列说法错误的是（ ）

A. 涨价后每件玩具的售价是

元                  

B. 涨价后每天少售出玩具的数量是

件

C. 涨价后每天销售玩具的数量是

件      

D. 可列方程为

8.（2分）我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：

"直田积（矩形面积），八百六十四（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少12步），问阔及长各几步．"如果设矩形田地的长为x步，那么同学们列出的下列方程中正确的是   （ ）

A. 

B. 

C. 

D. 

9.（2分）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位数字为a，则可列方程为（ ）

A. a2+（a-4）2=10（a-4）+a-4                                    

B. a2+（a+4）2=10a+a-4-4

C. a2+（a+4）2=10（a+4）+a-4                                  

D. a2+（a-4）2=10a+（a-4）-4

10.（2分）某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？

设增加了x行或列，则列方程得（  ）

A. （8﹣x）（10﹣x）=8×10﹣40                            

B. （8﹣x）（10﹣x）=8×10+40

C. （8+x）（10+x）=8×10﹣40                               D. （8+x）（10+x）=8×10+40

二、填空题

11.（1分）若一个数的平方等于这个数的3倍，则这个数为________．

12.（1分）有三个连续的自然数，已知其中最大的一个数比另外两个数的积还大1，那么这个最大的数是________．

13.（1分）对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：

.根据这个规则，则方程

＝9的解为________．

14.（1分）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，这个两位数是________．

15.（1分）如图，某小区规划在一个长为16m、宽为9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为112m2，求小路的宽度．若设小路的宽度为xm，则x满足的方程为________．

16.（1分）一包洽洽瓜子售价8元，商家为了促销，顾客每买一包洽洽瓜子获一张奖券，每4张奖券可兑换一包洽洽瓜子，则每张奖券相当于________元.

17.（1分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，则P、Q分别从A、B同时出发，经过________秒钟，使△PBQ的面积等于8cm2.

18.（1分）如图，某小区有一块长为36m，宽为24m的矩形空地，计划在其中间修建两块形状相同的矩形绿地，它们的面积之和为600m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为________m．

三、解答题

19.（5分）一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字与十位数字互换后平方，所得的数值比原来的两位数大138，求原来的两位数.

20.（5分）如图①，窗帘的褶皱是指按照窗户的实际宽度将窗帘布料以一定比例加宽的做法，褶皱之后的窗帘更能彰显其飘逸、灵动的效果．其中，窗宽度的1.5倍为平褶皱，窗宽度的2倍为波浪褶皱．如图②，小莉房间的窗户呈长方形，窗户的宽度（AD）比高度（AB）的少0.5m，某种窗帘的价格为120元/m2．如果以波浪褶皱的方式制作该种窗帘比以平褶皱的方式费用多180元，求小莉房间窗户的宽度与高度．

21.（5分）如图，等边三角形ABC的边长为6cm，点P自点B出发，以1cm/s的速度向终点C运动；点Q自点C出发，以1cm/s的速度向终点A运动．若P，Q两点分别同时从B，C两点出发，问经过多少时间△PCQ的面积是2

cm2？

22.（10分）手机下载一个APP，缴纳一定数额的押金，就能以每小时0.5到1元的价格解锁一辆自行车任意骑行…最近的网红非“共享单车”莫属．共享单车为解决市民出行的“最后一公里”难题帮了大忙，人们在享受科技进步、共享经济带来的便利的同时，随意停放、加装私锁、大卸八块等毁坏单车的行为也层出不穷．某共享单车公司一月投入部分自行车进入市场，一月底发现损坏率不低于10%，二月初又投入1200辆进入市场，使可使用的自行车达到7500辆．

（1）一月份该公司投入市场的自行车至少有多少辆？

（2）二月份的损坏率达到20%，进入三月份，该公司新投入市场的自行车比二月份增长4a%，由于媒体的关注，毁坏共享单车的行为引起了一场国民素质的大讨论，三月份的损坏率下降

a%，三月底可使用的自行车达到7752辆，求a的值．

23.（15分）如图，在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．

（1）当t为何值时，P、Q两点的距离为5

cm？

（2）当t为何值时，△PCQ的面积为15cm2？

（3）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？

最小面积是多少？

24.（15分）宜昌BRT快速公交系统及东山大道改造工程于2014年2月正式施工建设，成为宜昌近几年最大的市政工程和“一号民生工程”，全长约为23.8公里，是宜昌市现阶段客流量最为集中的干线客运走廊之一．

（1）如果一条行车道供小汽车使用，每小时最多能通过700辆车，且每辆小汽车平均乘座3人，但如果该车道专供BRT使用，每小时只能通过100辆公交车，但运送的总乘客数约是小汽车的7倍，求每辆公交平均乘座约多少人？

（结果精确到十位）

（2）该工程包括前期设计、施工建设与投入试用三个阶段．已知试用期是前期设计时间的2倍，施工建设的时间比前期设计与投入试用时间的总和还多8个月，若每月可完成施工建设1.4公理，问该工程何时投入试用阶段？

（3）小明的爸爸在东山大道旁租一商铺经营，2013年总营业额是24万元，总支出包括两部分：

一是交房租6万元，二是其他开支占总收入的25%．2014年因为受到大道改造工程的影响，总利润下降了许多，而2015年随着大道改造工程的完工，总利润预计又有回升．若2014年较上年度总利润下降的百分数刚好和2015年较上年度总利润增长的百分数相同，则小明的爸爸预计在2015年获得的总利润比2013年的总利润少3万元，求2014年小明爸爸获得的利润因大道改造而下降的百分数．

答案解析部分

一、选择题

1.【答案】D

【考点】一元二次方程的应用

【解析】【解答】解：

设应降价x元，根据题意得：

（100+10x）（30﹣20﹣x）=750，

解得：

x1=x2=5，

则每件商品应降价5元；

故答案为：

D．

【分析】根据题意找出相等的关系量；每天的利润是750元或（100+10x）（30﹣20﹣x），得到方程，解答即可.

2.【答案】D

【考点】一元二次方程的实际应用-几何问题

【解析】【解答】解：

设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，

根据勾股定理得：

x2+32=（10-x）2．

故答案为：

D

【分析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，根据勾股定理建立方程，即可。

3.【答案】B

【考点】根据实际问题列二次函数关系式

【解析】【解答】解：

∵AB=x米，

∴BC=40﹣2x米，

∴S=x（40﹣2x）．

故答案为：

B．

【分析】先求出BC的长，根据矩形的面积公式，即可求得s与x的函数关系式。

4.【答案】C

【考点】因式分解法解一元二次方程，三角形三边关系，等腰三角形的性质

【解析】【解答】（x-1）（x-2）=0，x-1=0或x-2=0，

所以x1=1，x2=2，

因为1+1=2，

所以三角形三边的长为2、2、1，

所以三角形的周长为5．

故答案为：

C．

【分析】因式分解法解一元二次方程，确定等腰三角形的边长，注意三角形的两边之和大于第三边。

5.【答案】A

【考点】一元二次方程的实际应用-几何问题

【解析】【解答】解：

设扩大后的正方形绿地边长为xm，根据题意得

x2-20x=300，

即x（x-20）=300．

故答案为：

A

【分析】设扩大后的正方形绿地边长为xm，则扩大部分的宽为：

（x-20）米,根据矩形的面积等于长乘以宽，列出方程即可。

6.【答案】D

【考点】一元一次方程的实际应用-销售问题

【解析】【解答】解：

设每件的标价为x元，

由题意得：

80%x﹣100=100（1+20%），

解得：

x=150．

即每件的标价为150元．

故选D．

【分析】设每件的标价为x元，根据八折出售可获利20%，可得出方程：

80%x﹣100=100（1+20%），解出即可．

7.【答案】D

【考点】一元二次方程的实际应用-销售问题

【解析】【解答】设涨价x元，根据题意可得：

A、∵（30＋x）表示涨价后玩具的单价，∴A不符合题意；

B、∵10x表示涨价后少售出玩具的数量，∴B不符合题意；

C、∵（300－10x）表示涨价后销售玩具的数量，∴C不符合题意；

D、根据每天获利3750元可列方程（30＋x－20）（300－10x）＝3750，故D符合题意，

故答案为：

D

【分析】设每件玩具涨x元，涨价后玩具的单价（30＋x）元;涨价后少每天售出玩具的数量为：

10x件；涨价后每天销售玩具的数量是（300−10x）件；根据每件的利润乘以销售数量=总利润，列出方程为：

（30+x-20）（300−10x）=3750，根据分析一一判断即可。

8.【答案】B

【考点】一元二次方程的实际应用-几何问题

【解析】【解答】设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x-12）步．，得：

x（x-12）=864．故本题选B

【分析】设矩形田地的长为x步，宽就应该是（x-12）步．根据矩形面积=长×宽，列出方程即可。

9.【答案】C

【考点】一元二次方程的应用

【解析】【解答】依题意得：

十位数字为：

a+4，这个数为：

a+10（a+4），

这两个数的平方和为：

a2+（a+4）2，

∵两数相差4，

∴a2+（a+4）2=10（a+4）+a−4.

故答案为：

C.

【分析】设个位数字为a十位数字为：

a+4，这个数为：

a+10（a+4），这两个数的平方和为：

a2+（a+4）2，根据个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4列出方程即可。

10.【答案】D

【考点】一元二次方程的实际应用-几何问题

【解析】【解答】增加了x行或列，现在是

行，

列，所以（8+x）（10+x）=8×10+40【分析】设增加了x行或列，现在是8+x行，10+x列，现在的总人数是（8+x）（10+x），还可以表示为：

8×10+40，根据用两种不同的方法表示同一个数，从而列出方程。

二、填空题

11.【答案】3或0

【考点】一元二次方程的应用

【解析】【解答】设这个数是x,

=3x

=3x

【分析】设这个数是x，根据一个数的平方等于这个数的3倍，列出方程，求解即可。

12.【答案】3

【考点】一元二次方程的应用

【解析】【解答】解：

最大的一个数为n+2，则另外两个数为n+1，n，由题意得：

n（n+1）+1=n+2，

解得：

n=±1，

∵自然数为非负数，

∴n=1，n+1=2，n+2=3，

最大的数是3.故答案为：

3

【分析】最大的一个数为n+2，则另外两个数为n+1，n，根据最大的一个数比另外两个数的积还大1，列出方程，求解并检验即可。

13.【答案】－3或

【考点】直接开平方法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，定义新运算

【解析】【解答】解：

由题意得：

当x⩽2时,2∗x=x2=9，

解得：

x1=3（不合题意舍去）,x2=−3，

则x=−3，

当x>2时：

2∗x=x2+x=9，

解得：

x1=

x2=

 （不合题意舍去），

则x=，

故答案为：

x=−3或

【分析】根据定义新运算，分当x⩽2时，与当x>2时，两种情况，列出方程，分别求解，并检验即可得出答案。

14.【答案】81

【考点】一元二次方程的应用

【解析】【解答】解：

设个位上的数为x，则十位上的数为x+7，依题意，得（x+7+x）2=10（x+7）+x，

整理得：

4x2+17x-21=0，

解得：

x1=1，x2=-

（舍去），

所以，x=1，x+7=8．

故这个两位数是81

【分析】设个位上的数为x，则十位上的数为x+7，这个两位数表示为：

10（x+7）+x，根据十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，即可列出方程，求解并检验即可得出答案。

15.【答案】（16－2x）（9－x）＝112

【考点】一元二次方程的实际应用-几何问题

【解析】【解答】设小路的宽度为xm，

根据题意即可得出方程为：

（16-2x）（9-x）=112，

故答案为：

（16-2x）（9-x）=112

【分析】设小路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16-2x）米，（9-x）米，根据矩形的面积公式即可列出方程。

16.【答案】1.6

【考点】一元一次方程的实际应用-销售问题

【解析】【解答】解：

设每张奖券相当于x元，根据题意得：

4×8=5（8﹣x），解得：

x=1.6．

故答案为：

1.6

【分析】设每张奖券相当于x元，根据题意买四包洽洽瓜子可以得四张奖券，化4×8元钱，但实际可以得5包瓜子，故相当于每包瓜子的实际价格为（8﹣x）元，故5包瓜子的总价为：

5（8﹣x）元，根据实得5包瓜子的总价等于4×8，即可列出方程，求解即可。

17.【答案】2或4

【考点】一元二次方程的实际应用-几何问题

【解析】【解答】设x秒时．由三角形的面积公式列出关于x的方程，

（6-x）•2x=8，

通过解方程求得x1=2，x2=4；

故答案为2或4

【分析】设x秒时，△PBQ的面积等于8cm2.根据题意得出PB=（6-x）,BQ=2x，根据三角形的面积公式列出方程，求解即可。

18.【答案】2

【考点】一元二次方程的实际应用-几何问题

【解析】【解答】解：

设人行道的宽度为x米，根据题意得，

（36-3x）（24-2x）=600，

化简整理得，（12-x）2=100．

解得x1=2，x2=22（不合题意，舍去）．

答：

人行通道的宽度是2m．

故答案为：

2

【分析】设人行道的宽度为x米，则两块形状相同的矩形绿地的总长为（36-3x）米，总宽为：

（24-2x）米,根据矩形的面积公式，列出方程，求解并检验即可。

三、解答题

19.【答案】解：

设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为（x+2），

根据题意，得（10x+x+2）2=10（x+2）+x+138.

解得x1=-

 （舍去），x2=1.

答：

原来的两位数为31

【考点】一元二次方程的应用

【解析】【分析】设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为（x+2），原数表示为：

10（x+2）+x，新数表示为：

10x+x+2；根据新数的平方比原来的两位数大138列出方程，求解并检验即可。

20.【答案】解：

设小莉房间窗户的宽度为xm，则高度为（x+0.5）m．

根据题意，得（2-1.5）x（x+0.5）×120=180，

解得 x1=-2，x2=1.5．

所以x=1.5，x+0.5=2．

答：

小莉房间窗户的宽度为1.5m，则高度为2m

【考点】一元二次方程的实际应用-几何问题

【解析】【分析】设小莉房间窗户的宽度为xm，则高度为（x+0.5）m．由窗宽度的1.5倍为平褶皱，窗宽度的2倍为波浪褶皱．得出两种方式用布长度的差为：

（2-1.5）x米，则多用布部分的总价为：

（2-1.5）x（x+0.5）×120元，根据波浪褶皱的方式制作该种窗帘比以平褶皱的方式费用多180元，列出方程，求解并检验即可。

21.【答案】解：

设经过xs△PCQ的面积是2

cm2，由题意得

（6﹣x）×

x=2

解得：

x1=2，x2=4，

答：

经过2s或4s△PCQ的面积是2

cm2

【考点】一元二次方程的实际应用-几何问题

【解析】【分析】设经过xs△PCQ的面积是2

cm2，根据题意：

PC=6﹣x,CQ=x,根据三角形的面积等于两邻边与其夹角正弦函数值的乘积的一半，列出方程，求解即可。

22.【答案】

（1）解：

设一月份该公司投入市场的自行车x辆，

x﹣（7500﹣1200）≥10%x，

解得，x≥7000，

答：

一月份该公司投入市场的自行车至少有7000辆

（2）解：

由题意可得，

[7500×（1﹣20%）+1200（1+4a%）]（1﹣

a%）=7752，

化简，得

a2﹣250a+4600=0，

解得：

a1=230，a2=20，

∵

，

解得，a＜80，

∴a=20，

答：

a的值是20

【考点】一元一次不等式的应用，一元二次方程的实际应用-百分率问题

【解析】【分析】

（1）设一月份该公司投入市场的自行车x辆，则一月份损坏的自行车的数量为：

x﹣（7500﹣1200），根据一月底发现损坏率不低于10%，列出不等式，求解即可得出答案；

（2）二月份底，还可以使用的自行车的数量为：

7500×（1﹣20%），三月份新投入的自行车的数量为：

1200（1+4a%），三月份共可使用的自行车的数量为[7500×（1﹣20%）+1200（1+4a%）]，三月底可供使用的自行车的数量为：

[7500×（1﹣20%）+1200（1+4a%）]（1﹣

a%），根据三月底可使用的自行车达到7752辆，列出方程，求解并检验即可。

23.【答案】

（1）解：

∵在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，∴AB=25cm，

设经过ts后，P、Q两点的距离为5

cm，

ts后，PC=7-2tcm，CQ=5tcm，

根据勾股定理可知PC2+CQ2=PQ2，

代入数据（7-2t）2+（5t）2=（5

）2；

解得t=1或t=-

（不合题意舍去）

（2）解：

设经过ts后，S△PCQ的面积为15cm2ts后，PC=7-2tcm，CQ=5tcm，

S△PCQ=

=

×（7-2t）×5t=15

解得t1=2，t2=1.5，

经过2或1.5s后，S△PCQ的面积为15cm2

（3）解：

设经过ts后，△PCQ的面积最大，则此时四边形BPQA的面积最小，ts后，PC=7-2tcm，CQ=5tcm，

S△PCQ=

×PC×CQ=

×（7-2t）×5t=

×（-2t2+7t）

当t=-

时，即t=

=1.75s时，△PCQ的面积最大，

即S△PCQ=

×PC×CQ=

×（7-2×1.75）×5×1.752=

（cm2），

∴四边形BPQA的面积最小值为：

S△ABC-S△PCQ最