几何光学学竞赛讲座.docx

几何光学学竞赛讲座.docx

《几何光学学竞赛讲座.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《几何光学学竞赛讲座.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

几何光学学竞赛讲座

高二年级物理竞赛选修课程（光学）

第一讲光的反射和折射

Sunday,June29,2003

一、光的直进性

光的直进性只是在通光孔或障碍物的线度比光的波长大的多的情况的一种近似。

光程是指光在相同时间内实际路程所折合成光在真空中的路程。

光若在折射率为n的介质中传播l的路程，则这段时间内光程就是nl。

二、光的反射与折射

1、反射定律

2、折射定律

3、绝对折射率与相对折射率

当光从媒质1射向折射率不同的另一种媒质2时，媒质2相对媒质1的相对折射率用n12表示，有：

例1：

极限法测液体折射率的装置如图所示，ABC是直角棱镜，其折射率ng为已知。

将待测液体涂一薄层于其上表面AB，覆盖一块毛玻璃，用扩展光源在掠入射方向照明毛玻璃，从棱镜的AO面出射的光线的折射角将有一下限i0/（用望远镜观察，则在视场中出现有明显分界线的半明半暗区）。

试求待测液体的折射率n。

用这种方法测液体折射率，测量范围受什么限制？

解：

自扩展光源发出的光经毛玻璃以各种角度射入待测液体，再由上表面AB射入棱镜，从AC面出射，设自液体射入棱镜的光线的入射角为i，折射角为r,则由折射定律，有：

例2：

竖直向下观察游泳池的深度，试求目测深度与实际深度的关系。

解：

设想游泳池底A点竖直向上发光，如图所示．A点发出的光束经水面折射后射入人的眼睛，由于折射，眼睛接受到的光犹如从另一点A/发出，这就是目测深度与实际深度不同的原因。

现考察从A点发出光束中的某一条光线AB，设入射角为i经折射后，折射角为r，由折射定律：

例11某水池的实际深度为

，垂直于水面往下看，

水池底的视深为多少？

（设水的折射率为

）

解析如图14—11所示，设S为水池底的点光源，

在由S点发出的光线中选取一条垂直于面MN的光线，

由O点垂直射出，由于观察者在S正方，所以另一条光

线与光线SO成极小的角度从点S射向水面点A，由点A

远离法线折射到空气中，因入射角极小，故折射角也很小，

进入人眼的两条折射光线的反向延长线交于点S′，该点

即为我们看到水池底光源S的像，像点S′到水面的距离

，即为视深.

由几何关系有

所以

，因为

、

均很小，则有

，所以

又因

所以视深

三、全反射

当光从光密煤质射向光疏煤质，即当n1＞n2时，由折射定律可知，折射角将大于入射角。

当入射角增大至某—值

时，折射角r=90°。

当入射角大于iC时，折射光消失。

光全部被反射，这种现象称为全反射，iC称为临界角。

全反射现象常被用来增强反射光的强度,减少光因透射而造成的能量损失。

如在各种全反射棱镜、光导纤维中即是。

例1：

如图所示，在水中有两条平行光线1和2，光线2射到水和平行平板玻璃的分界面上。

（1）两光线射到空气中是否还平行？

（2）如果光线1发生全反射，光线2能否进入空气？

解：

设水、空气、玻璃的折射率分别为nw、na、ng，设光线1、2的入射角为i，进入空气的折射角分别为r1和r2，光线2在玻璃中的折射角为r，则有：

例2：

设光导纤维由折射率为n1的玻璃芯和折射率为n2（n1＞n2）的同轴外套构成，如图所示，横截端面外的媒质折射率为n，试求能使光线在纤维内发生全反射的入射光束的最大孔径角θ1，并说明外套的作用．

解：

设光以最大孔径角θ1入射，进入光导纤维后的各角度如图所示则有

四、光的可逆性原理

由反射定律和折射定律可知，若光逆着反射光方向入射，则其反射光必逆着入射光的方

向传播；．若光逆着折射光方向由媒质2射向媒质1，则折射光也必逆着原入射光的方向传

播。

也就是说，若光线方向逆转，光将沿同一路径反向传播．这一结论称为光的可逆性原理。

五、应用举例

例1：

试求在北纬λ处冬至和夏至这两天的日长及中午太阳光与地面的夹角。

解：

图（a）画出冬至这一天中午时由情形．太阳光沿地球轨道平面方向照射，NS为地球的自转轴，EE/为地球的赤道，它与轨道平面的夹角α=23.5°，AB为过地球中心且与轨道平面垂直的直线．P为观察点，其纬度为λ，PQ的纬度为λ的纬线。

过P作圆的切线，此切线与太阳光的夹角θW即为所求的太阳光与地面的夹角。

由图不难看出，

例2：

在图所示的折射棱镜中，光线在垂直于棱镜的平面内由AD射入，依次经由BC和BD面反射，然后从AC面射出．角B和角A分别等于α和2α，两角C和角D彼此相等．试证明：

出射光对原来方向的偏角δ与出射角无关，求出δ。

并说明在如图所示的光的行程下．棱镜能否产生色散？

例3：

试证明：

若忽略地球表面的弯曲（当星体距地平线不太近时成立），则天文折射将与空气折射率随高度变化的规律无关，仅与地面附近空气的折射率n0和星的视角α0有关。

并求出在这种情况下的天文折射（α∞-α0）的近似表达式。

说明：

天文折射指星体表观视（角α0）位置与实际视（角α∞）位置之差

。

高二年级物理竞赛选修课程（光学）

第二讲透镜成像

Sunday,June29,2003

一、单球面折射

设想以C为球心的球面将空气（折射率视为l）与媒质（折射率为n）分为两部分，如图所示。

这时，自空气中某一点（图中的S）发出的径向细光束经球面折射后将在媒质中聚焦于另一点（如图中的S/），我们称S/点为为点的象。

由光路可逆原理，自S/点发出的光经球面折射后将聚焦于S，这时，S点就成为S/点的象。

当空气中有一物体时，其上每一点都可看成发光点，经球面折射后都会聚焦于某一对应的象点，这些象点就组成原来物作的象。

下面我们就来讨论这一成象过程．

1．主轴上一点的成象

通常,参与成象的球面总是整个完整球面的一部分，这部分球面的中心O与球心C的连线称为主轴，简称轴。

现考察轴上一点S（位于空气中）经球面折射后的情况，我们只考察自S发出而与主轴夹角很小的光线的折射情况，这样的光线叫做近轴光线。

考察某一条近轴光线SA，经球面折射后沿AS/行进，与主轴交于S/，由图，在ΔASC中利用正弦定理，有：

在ΔAS/C中利用正弦定理，有：

两式相乘得：

令SO=u，OS/=v，球面半径为R，则SC=SO＋OC=u＋R．SA≈SO=u，S/A≈S/O=v，S/C=S/O-OC=v-R，代入上式，得：

；或：

两边除以uvR，得

（2-1）

上式表明，自S发出的光，只要是近轴的，不论A点的位置如何，都将聚焦于和O点相距v的S/点，S/点就是S点的象．u称为物距，v称为象距．（2-1）式就是单球面的成象公式。

在上面所讨论的情况中，u、v、R都取正值。

有时，自S发出的光经球面折射后并不实际聚焦于一点，而是它们的延长线交于一点，如图（a）所示，这时的S/称为虚象，而把图中的S/称为实象，当S/为虚象时，它位于O点的左方，

这时v为负值。

有时，发光点S也会有类似虚象的情况，这时发光光束并不发自某一点，而是其延长线会聚于某一点S，如图（b）所示．这时的发光点S称为虚物．当S为虚物时，它位于O点的右方，这时u取负值．

同理，当球心C位于O点的左方时，球面半径R应取负值．

有了这些关于u、v、R正、负的规定后。

成象公式

（1）适用的范围更广了。

由（2-1）式，当

（2—2）

时，v→∞时，这时的物点称为物方焦点，常用F表示，F与O点的距离称为物方焦距,用f表示。

当u→∞时，

（2—3）

这时的象点称为象方焦点，用F/表示，F/与O点的距离称为象方焦距，用f/表示，由（2—2）、（2—3）式：

用焦距表示，物象公式可写成另一形式：

（2—4）

反射定律可看成折射定律在n=-1时的特例．因此，球面反射镜的物象公式可从单球面折射成象公式得到。

由于反射光的行进方向逆转，象距v和球面半径R的正、负规定应与折射时相反：

S/、C在O点左方时v、R为正，S/、C在O点右方时v、R为负。

于是，在公式（14—1）中令n=-1，v→-v，R→-R，即可得球面镜成象公式。

对于凹面镜

对凸面镜，只要将R取负即可，因而凸面镜的焦距为负。

2．轴外一点的成象

我们只考察在过S点与主轴垂直的平面上离轴很近的点的情况，如图中的S1点，这时，S1点可近似看成仍在以C为球心、SC为半径的球面上，因而S1成象情况与S点相同，S1的象S1/必在以C为球心、以S/C为半径的球面上。

而且S1/点也必与S/点很靠近，因而S1/点可近似看成在过S’且与主轴垂直的平面上，此平面称象平面，而称过S点与主轴垂直的平面为物平面。

当物平面上存在SS1=y为高的物时，经球面折射后将在象平面上形成高为S1S1/=y/的象，S1/即在S1与C的连线的延长线上。

象高y/与物高y之比称为放大率，当物或象在主轴上方时，y或y’视为正，在主轴下方时，视为负．K表示放大率，由图不难得到

代入上式即得球面镜放大率公式

当放大率为正对．物与象在主轴同侧（正立象）为负时，物与象在主轴异侧（倒立象）．

例1：

如图所示的情况下，已知R=10厘米，n=1.5，物位于O点左方30厘米处，物高1.0厘米，求象的位置、大小和虚实。

例2：

一薄壁球状玻璃鱼缸充满水（n=

），观察者沿着该球的直径观察，见一小鱼沿同一直径由远端向近端移动，求小鱼视位置及大小的变化．设球的直径为10厘米。

例3：

一很薄的、部分反射的玻璃平板与一凸面镜相距b远，一点光源置于板前方距离a处，使它在部分反射的玻璃板中的象与它在镜中的像恰好重合。

如果b=7.5cm，而凸面镜的焦距为f=-30cm，试求出a并作出光路图。

二、薄透镜、

两底面为共轴球面的圆盘形光学器件称为透镜，通常用玻璃制成．厚度比直径小得多（也比球面半径小得多）的透镜称为薄透镜，边缘比中心薄的称为凸透镜，边缘比中心厚的称为凹透镜。

透镜实质上是两个单折射球面，因而它也可以成象，它的成象过程就是在续两次的单球面成象过程．我们下面就来讨论薄透镜的成象．

1．主轴上一点的成象

透镜两球面中心的连线称为主轴。

如图中的SS//，设左球面的半经为R1。

右球

面半径为R2，透镜材料的折射率为n。

考察主轴上一点S的成象过程．自S发出的近轴光经左球面折射后设成象于S”，由于透镜很薄。

两球面顶点可视为一点，设为O设SO=u。

OS”=v/由（2－1）式，

原应成象于S//光束在尚未聚焦于S//前又被第二个球面折射。

又第二次成象，这时S”成为物，是虚物，折射后设成象于S’．现在的物距是一v/，象距v。

代入与（2－1）式相应的公式，得

以上两式相加得

这就是薄透镜成象公式，这里u、v、R1、R2均有正，负，规则同上．对图中所画的情况，u、v、R1均为正，R2为负．根据（14—9）式，当

时，v→∞，这时的物点称物方焦点，用F表示，F与o点的距离称为物方焦距用f表示

当u→∞时，

这时的象点称象方焦点，用F’表示，F’与o的距离称象方焦距．用f’表示。

当透镜两边处于同一媒质中（现均为空气）时，f=f’。

f和f/＞0的透镜称为会聚透镜，它能将平行光会聚于一点，由（14—10）式可知，当

f/＞0，是为会聚透镜，可以证明（薄）凸透镜必为会聚透镜。

f和f/＜O的透镜称为发散透镜，它将使平行光成为发散光束。

它们的延长线交于一点，由（14—10）式知。

当＜0时f＜0，是为发散透镜。

可以证明（薄）凹透镜必为发散透镜。

用焦距表示，可将透镜的成象公式写成更常用形式（当f=f/）：

上式常称为高斯公式．图14－8就是按高斯公式描制的u——v曲线，图（a）对会聚透镜而言，图（b）对发散透镜而言．当f≠f/时，高斯公式应写成

2．轴外一点的成象

过S点作与主轴垂直的平面（物平面），在此平面上靠近S的任意点的成象与S点相仿，仍满足成象公式，其象必在过S/（S的象）点且垂直于主轴的平面（象平面）上，象的放大率可看成两次单球面成象放大率的乘积，

K=K1K2=-

由上式可见，象必在物点与O点的连线（或其延长线）上

3．牛顿公式

透镜成象公式还可写成其他形式．用物点S与物方焦点F的距离x表示物的位置，v以物在焦点F左（右）方为正（负）；用象点S’与象方焦点F’的距离x’表示象的位置，x/以象在焦点F’的右（左）方为正（负），如图l4—9所示，则有

u=x+f，v=x/+f/

代入高斯公式（2—12a）并整理即得：

xx/=ff’（2—13）

当f=f/时，上式变为：

xx/=f2（2—14）

（2—13）式称为牛顿公式．利用牛顿公式．还可将放大率写成

在f=f’时，有

4．作图法

由以上讨论可知，物平面上靠近主轴的任一点（物点）发出的近轴光束经透镜折射后必聚交于（或它们的延长线聚交于）象平面上的一点（象点），象点的位置（由象距v和离主轴距离y/表征）由物点位置（用物距u和离主轴距离y表征）和成象公式及放大率公式唯一确定，只要知道透镜的焦距。

其实，当物点位置确定后，我们也可用光路图来确定象点的位置，而不必借助于成象公式和放大率公式．为此，只要确定自物点发出的任意两条光线经透镜折射后的光路就行了．因为既然从物点发出的光束（只要是近轴光束）经透镜折射后将聚交于象点，属于光束的任两条光线经透镜折射后也必相交于象点，而确定一点（如象点）位置只要两条线即已够了．至此，问题归结为寻找两条（或两条以上）过物点的典型光线，它们经透镜折射后的行径不必借助于成象公式和放大率公式就能确定。

由焦点的性质可知：

从物方焦点发出的任意光线经透镜折射后必成为平行于主轴的光；平行于主轴射向透镜的任意光线经透镜折射后必经过象方焦点．我们要寻找的两条典型光线就可利用焦点性质找到．

设想从物平面上的物点S1发出一条平行于主轴的光线，如图14－10中的光线经透镜折射后必经过F/，成图中的光线1’．再设想从S1发出一条光线经过F如图中的光线2，经透镜折射后与主轴平行，成图中的光线2’．1’和2’两条光线的交点S1’就是物点S1的象。

实际上，1光线与2光线在透镜内须经两次折射才成为1’和2’光线，由于透镜很薄，作图时简化为一次折射。

自S1点发出射向o点的光经透镜折射后也必经过S1’。

如图中煦光线3和3’，由

可见3和3’在同一直线上，即通过o点的光线经透镜后不发生折射．具有这种性质的点称为透镜的光心．当f=f’时，O点即为光心．利用光心的性质我们又有了一条可用的典型光线：

3和3’．

既然用作图法可求出象，也可由图根据几何关系导出成象公式。

由图中几何关系不难

得出

由此即得牛顿公式

由x、x/与u、v、f、f/的关系，不难导出高斯公式。

有一点需要指出：

上述三条典型光线只是实际光束的代表，并非一定存在于实际光束之中．例如，没想在透镜前设一小孔径的光屏P．如图14—11中的P，则自S1发出且平行于主轴的光线1被P屏挡住，自S1发出且且过焦点F之光线2也被p挡住，只有过光心之光线3才通过P之小孔。

但物点S1并不因此而不错被逐镇成象，因为自S1发出之光束仍存在，此光束在通过P上之小孔后仍可被透镜折射而聚焦于象点S1/，如图中影线部分的光来所示，且象点S1/仍可用上述三条典型光线中的任意两条的交点求得，犹如光屏不存在一样。

例1：

对薄透镜而言，凸透镜必为会聚透镜，凹透镜必为发散透镜。

试证明之。

例2：

物与屏相距L，二者之间放一凸透镜．前后移动透镜，发现透镜有两个位置可以使物成象在屏幕上，测得这两个位置之间的距离为d。

（1）求透镜焦距．

（2）利用此法测焦距，对L的值有何限制？

例3：

半径均为a的圆盘形发光面S和不透光圆盘P共轴放置．相距2d，在P后相距d处置有光屏Q，在S与P的正中间放有一凹透镜L1，焦距为d（见图）。

（1）求在S照射下在Q上形成的P的本影和半影的半径r1、r2。

（透镜的半径视为很大）

（2）若将凹透镜换成凸透镜L2，位置和焦距不变，求此时的本影与半影R1、R2。