高中数学竞赛系列讲座01Word文档格式.docx

高中数学竞赛系列讲座01Word文档格式.docx

《高中数学竞赛系列讲座01Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学竞赛系列讲座01Word文档格式.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

　　分析：

A中的元素是什么？

是自然数，即由两个整数a、b的平方和构成的自然数，亦即从0、1、4、9、16、25……，n2，……中任取两个（相同或不相同）数加起来得到的一个和数，本题要证明的是：

两个这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式，即

（a2+b2）（c2+d2）=（X）2+（Y）2，X,Y∈Z

　　证明：

设X1＝a2+b2，X2=c2+d2，a、b、c、d∈Z

　　则X1×

X2＝（a2+b2）（c2+d2）

　　　　　＝a2c2+b2d2+b2c2+a2d2

　　　　　＝a2c2+2ac·

bd+b2d2+b2c2-2bc·

ad+a2d2

　　　　　＝（ac+bd）2+（bc-ad）2

　　又a、b、c、d∈Z，故ac+bd、bc-ad∈Z，从而X1X2∈A

　　说明：

本题的证明中根据A中元素的结构特点使用了配方法和“零”变换（0＝2abcd-2abcd）。

命题的结论说明集合A对于其中元素的“·

”运算是封闭的。

类似的有：

　　自然数集合N对于“＋”、“×

”运算是封闭的

　　整数集合Z对于“＋”、“－”、“×

　　有理数集合Q对于“＋”、“－”、“×

”、“÷

”运算是封闭的（除数不能是零）

　　实数集合对于“＋”、“－”、“×

”四则运算是封闭的

　　复数集合对于“＋”、“－”、“×

”、乘方、开方运算都是封闭的。

　　例2．已知集合M＝{直线}，N＝{抛物线}，则M∩N中元素的个数为（）

　　　　　（A）0　　　　（B）0,1，2其中之一

　　　　　（C）无穷　　（D）无法确定

　　[分析]M中的元素为直线，是无限集；

N中的元素为抛物线，它也是无限集。

由于两集合中的元素完全不同，即既是直线又是抛物线（曲线）的图形根本不存在，故M∩N＝φ，选（A）

　　[说明]若想当然地误认为M中的元素是直线上的点，N中的元素是抛物线上的点，当误认为是判断直线与抛物线的位置关系即相交，相切、相离时，会选（B）；

　　例3．已知

　　A＝{Y|Y＝X2－4X＋3，X∈R}，

　　B＝{Y∣Y＝－X2－2X＋2，X∈R}

求A∩B

　　先看下面的解法：

　　解：

联立方程组

　　　　Y＝X2－4X＋3　　　①

　　　　Y＝－X2－2X＋2　　②

①－②消去Y，得

　　　　2X2－2X＋1＝0　　　　③

　　因为Δ＝（－2）2－4×

2×

1＝－4<

0，方程③无实根，故A∩B＝φ

　　[说明]上述解法对吗？

画出两抛物线的图象：

Y＝X2－4X+3=（X-1）（X-3）,开口向上，与X轴交于（1,0）、（3,0），对称轴为X＝2，纵截距为3；

Y＝－X2－2X＋2＝－（X＋1）2＋3，开口向下，与X轴交于（－1－√3,0）、（－1＋√3,0），对称轴为X＝－1，观察可知，它们确实没有交点，但这解答对吗，亲爱的读者？

图1－1－1

　　回头审视两集合A、B，它们并不是由抛物线上的点构成的点集。

两集合中的元素都是实数Y，即当X∈R时相应的二次函数的函数值所组成的集合，即二次函数的值域集合。

故由Y＝X2－4X＋3＝（X－2）2－1≥－1，Y＝－X2－2X＋2＝－（X＋1）2＋3≤3，可知A＝{Y∣Y≥－1}，B＝{Y∣Y≤3}，它们的元素都是“实数”，从而有

M∩N＝{Y∣－1≤Y≤3}

　　你看，认清集合中元素的构成是多么重要！

　　二、集合中待定元素的确定

　　例4．已知集合M＝{X，XY，lg（xy）}，S＝{0，∣X∣，Y}，且M＝S，则（X＋1/Y）＋（X2＋1/Y2）＋……＋（X2002＋1/Y2002）的值等于（　　　），（据1987年全国高中数学联赛试题改编）。

解题的关键在于求出X和Y的值，而X和Y分别是集合M与S中的元素。

这一类根据集合的关系反过来确定集合元素的问题，要求我们要对集合元素的基本性质即确定性、异性、无序性及集合之间的基本关系（子、全、补、交、异、空、等）有本质的理解，对于两个相等的有限集合（数集），还会用到它们的简单性质：

　　（a）相等两集合的元素个数相等；

　　（b）相等两集合的元素之和相等；

　　（c）相等两集合的元素之积相等；

　　对于本题，还会用到对数、绝对值的基本性质。

解：

由M＝S知，两集合元素完全相同。

这样，M中必有一个元素为0，又由对数的性质知，0和负数没有对数，所以XY≠0，故X，Y均不为零，所以只能有lg（XY）＝0，从而XY＝1

　　∴M＝{X，1，0}，S＝{0，∣X∣，1/X}

　　再由两集合相等知

　　当X＝1时，M＝{1,1，0}，S＝{0,1，1}，这与同一个集合中元素的互异性矛盾，故X＝1不满足题目要求；

　　当X＝－1时，M＝{－1,1，0}，S＝{0,1，－1}，M＝S，从而X＝－1满足题目要求，此时Y＝－1，于是

　　　　X2K＋1＋1/Y2K＋1＝－2（K＝0,1，2，……），

　　　　X2K＋1/Y2K＝2（K＝1,2，……）

故所求代数式的值为0

　　例5．设A＝{X∣X2+aX+b=0}　B＝{X∣X2+CX+15=0}

若A∪B＝{3,5}，A∩B＝{3}，求a,b,c。

由方程的根的定义及一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），结合∩、∪的概念入手，可以寻得解题的突破口。

由A∩B＝{3}知3∈B,由韦达定理知

此时，B＝{3,5}＝A∪B

　　又由A∩B＝{3}知5

A；

而（A∩B）

A

（A∪B），故A＝{3}，即二次方程X2＋aX+b＝0有二等根X1＝X2＝3，根据韦达定理，有X1＋X2＝6＝－a，X1X2＝9＝b

　　所以，a＝－6，b＝9，c＝－8

　　三．有限集元素的个数（容斥原理）

　　请看以下问题：

　　开运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人？

只参加游泳一项比赛的有多少人？

　　解决这个问题需要我们研究集合元素的个数问题（请读者参阅高中教材《数学》第一册（上）P23－P23阅读材料“集合元素的个数”。

）

　　为此我们把有限集合A的元素个数记作card（A）

　　可以证明：

（1）card（A∪B）＝card（A）＋card（B）－card（A∩B）；

（2）card（A∪B∪C）=card（A）+card（B）+card（C）

　　　　　　　　　　-card（A∩B）-card（A∩C）-card（B∩C）

　　　　　　　　　　　　　+card（A∩B∩C）

如下图所示：

由图1－3－1，有

　　card（A∪B）=①+②+③=（①+②）+（②+③）-②＝card（A）+card（B）-card（A∩B）

　　card（Cu（A∪B））=card（U）-card（A∪B）=card（U）-card（A）-card（B）+card（A∩B）

又由图1－3－2，有

　　card（A∪B∪C）=①+②+③+④+⑤+⑥+⑦＝（①+④+⑤+⑦）+（②+⑤+⑥+⑦）+（③+④+⑥+⑦）-（⑤+⑦）-（⑥+⑦）-（④+⑦）+⑦＝card（A）+card（B）+card（C）-card（A∩B）-card（A∩C）-card（B∩C）+card（A∩B∩C）

　　现在我们可以来回答刚才的问题了：

　　设A＝{参加游泳比赛的同学}，B＝{参加田径比赛的同学}，C＝{参加球类比赛的同学}

　　则card（A）=15，card（B）=8，card（C）=14，card（A∪B∪C）=28

　　且card（A∩B）=3，card（A∩C）=3，card（A∩B∩C）=0

　　由公式②得28＝15＋8＋14－3－3－card（B∩C）+0

　　即card（B∩C）=3

　　所以同时参加田径和球类比赛的共有3人，而只参加游泳比赛的人有15－3－3＝9（人）

例6．计算不超过120的合数的个数

　　分析1：

用“筛法”找出不超过120的质数（素数），计算它们的个数，从120中去掉质数，再去掉“1”，剩下的即是合数。

　　解法1：

120以内：

　　①既不是素数又不是合数的数有一个，即“1”；

　　②素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97、101、103、107、109、113、共30个。

　　所以不超过120的合数有120－1－30＝89（个）

　　（附：

筛法：

从小到大按顺序写出1－120的所有自然数：

　　先划掉1，保留2，然后划掉2的所有倍数4,6，…120等；

保留3，再划掉所有3的倍数6,9…117、120等；

保留5，再划掉5的所有倍数10,15，…120；

保留7，再划掉7的所有倍数，…这样，上面数表中剩下的数就是120以内的所有素数，这种方法是最古老的寻找素数的方法，叫做“埃斯托拉‘筛法’”）

当n不很大时，计算1－n中的合数的个数困难不大；

但当n很大时，利用筛法就很困难、很费时了，必须另觅他途。

　　[分析2]受解法1的启发，如果能找出1－n中质数的个数m，则n－1－m就是不超过n的合数的个数。

由初等数论中定理：

a是大于1的整数。

如果所有不大于√a的质数都不能整除a，那么a是质数。

因为120<

121＝112，√120<

11，所以不超过120的合数必是2或3或5或7的倍数，所以只要分别计算出不超过120的2、3、5、7的倍数，再利用“容斥原理”即可。

　　解法2：

设S1＝{a∣1≤3≤120,2∣a}；

S2＝{b∣1≤b≤120,3∣b}；

S3＝{c∣1≤3≤120,5∣c}；

S4={d∣1≤d≤120,7∣d}，则有：

　　card（S1）＝[120/2]=60，card（S2）＝[120/3]＝40，card（S3）＝[120/5]＝24，card（S4）＝[120/7]＝17；

　　（[n]表示n的整数部分，例如[2,4]＝2，…）

　　card（S1∩S2）＝[120/2×

3]＝20，card（S1∩S3）＝[120/2×

5]＝12，

　　card（S1∩S4）＝[120/2×

7]＝8，card（S2∩S3）＝[120/3×

5]＝8，

　　card（S2∩S4）＝[120/3×

7]＝5，card（S3∩S4）[120/5×

7]＝3，

　　card（S1∩S2∩S3）[120/2×

3×

5]＝4，card（S1∩S2∩S4）＝[120/2×

7]＝2，

　　card（S1∩S3∩S4）＝[120/2×

5×

7]＝1，card（S2∩S3∩S4）＝[120/3×

7]＝1，

　　card（S1∩S2∩S3∩S4）＝[120/2×

7]＝0

　　∴card（S1∪S2∪S3∪S4）＝card（S1）＋card（S2）＋card（S3）＋card（S4）－card（S1∩S2）－card（S1∩S3）－card（S1∩S4）－card（S2∩S3）－card（S2∩S4）－card（S3∩S4）＋card（S1∩S2∩S3）＋card（S1∩S2∩S4）＋card（S1∩S3∩S4）＋card（S2∩S3∩S4）－card（S1∩S2∩S3∩S4）＝（60＋40＋24＋17）-（20+12+8+8+5+3）+（4+2+1+1）-0＝141-56＋8＝93

　　∵2，3，5，7是质数

　　∴93－4＝89

　　即不超过120的合数共有89个。

　　四、有限集合子集的个数

　　问题：

（1）集合{a}一共有几个子集？

（2）集合{a，b}一共有几个子集？

　　（3）集合{a,b,c}一共有几个子集？

　　（4）集合{a,b,c,d}一共有几个子集？

　　（5）猜想集合{a1,a2…，an}一共有几个子集？

　　（6）利用上述猜想确定符合下列条件的集合M的个数：

{1,2}

M

{1,2，3,4，5,6，7,8，9,10}。

　　以上诸问题都牵涉到有限集合子集的个数问题。

　　有限集合{a}的子集有：

φ，{a}；

共两个

　　有限集合{a,b}的子集有：

φ，{a}，{b}，{a,b}；

共4＝22个；

　　有限集合{a,b,c}的子集有：

φ；

{a}，{b}，{c}；

{a,b}，{a,c}，{b,c}；

{a,b,c}；

8＝23个；

　　有限集合{a,b,c,d}的子集有：

{a}，{b}，{c}，{d}；

{a,b}，{a,c}，{a,d}，{b,c}，{b,d}，{c,d}；

{a,b,c}，{a,b,d}，{a,c,d}，{b,c,d}；

{a,b,c,d}；

共16＝24个。

这里，{a,b,c,d}的子集可以分成两部分，一部分不包括d，是{a,b,c}的子集；

另一部分包括d，是{a,b,c}中每一个子集与{d}的并集。

　　循此思路，注意到2，4＝22，8＝23，16＝24的规律，可以猜想有限集合{a1,a2…，an}的子集共有2n个，其中非空子集有2n－1个；

真子集也有2n－1个，非空真子集有2n－1－1＝2n－2个。

　　利用上述猜想，问题（6）中集合M的个数应当有28＝256个。

例7．一个集合含有10个互不相同的两位数。

试证，这个集合必有2个无公共元素的子集合，此两子集的各数之和相等。

两位数共有10,11，……,99，计99－9＝90个，最大的10个两位数依次是90,91，……,99，其和为945，因此，由10个两位数组成的任意一个集合中，其任一个子集中各元素之和都不会超过945，而它的非空子集却有210－1＝1023个，这是解决问题的突破口。

已知集合含有10个不同的两位数，因它含有10个元素，故必有210＝1024个子集，其中非空子集有1023个，每一个子集内各数之和都不超过90＋91＋…98＋99＝945<

1023，根据抽屉原理，一定存在2个不同的子集，其元素之和相等。

如此2个子集无公共元素，即交集为空集，则已符合题目要求；

如果这2个子集有公共元素，则划去它们的公共元素即共有的数字，可得两个无公共元素的非空子集，其所含参数之和相等。

此题构造了一个抽屉原理模型，分两步完成，计算子集中数字之和最多有945个“抽屉”，计算非空子集得1023个“苹果”，由此得出必有两个子集数字之和相等。

第二步考察它们有无公共元素，如无公共元素，则已符合要求；

如有公共元素，则去掉相同的数字，得出无公共元素并且非空的两个子集，满足条件。

可见，有限元素子集个数公式起了关键作用。

　　例8．设A＝{1,2，3，…，n}，对X

A，设X中各元素之和为Nx，求Nx的总和

A中共有n个元素，其子集共有2n个。

A中每一个元素在其非空子集中都出现了2n-1次，（为什么？

因为A的所有子集对其中任一个元素i都可分为两类，一类是不含i的，它们也都是{1,2，…，i-1,i+1,…n}的子集，共2n-1个；

另一类是含i的，只要把i加入到刚才的2n-1个子集中的每一个中去）。

因而求A的所有子集中所有元素之和Nx的总和时，A中每一个元素都加了2n-1次，即出现了2n-1次，故得

＝1×

2n-1＋2×

2n-1＋…＋n……2n-1

　　　　　　＝（1＋2＋…＋n）·

2n-1

　　　　　　＝n（n+1）/2×

　　　　　　＝n（n+1）×

2n-2

这里运用了整体处理的思想及公式1＋2＋…＋n＝（1/2）n（n+1），其理论依据是加法的交换律、结合律、乘法的意义等。

得出集合中每一个元素都在总和中出现了2n-1次，是打开解题思路之门的钥匙孔。

　　习题一

　　1、化简集合

　　2、设集合A＝{1，a,b},B={a,a2,ab},且A＝B，求实数a,b

　　3、高一

（1）班的学生中，参加语文课外小组的有20人，参加数学课外小组的有22人，既参加语文小组又参加数学小组的有15人，既未参加语文小组又未参加数学小组的有15人。

问高一

（1）班共有学生几人？

　　4、设非空集合A

{1,2，3,4，5,6，7}，且当a∈A时必有8－a∈A，这样的A共有（　　）个。

　　5、已知A＝{296的约数}，B＝{999}的约数，则card（A∩B）＝（　　）

　　6、对于集合

　　　A＝{X∣X＝3n,n=1,2,3,4}

　　　B＝{X∣X＝3k,k=1,2,3}

若有集合M满足A∩B

A∪B，则这样的M有多少个？

　　参考答案

　　1．A＝{（11/13，－3/13）}，（列举法）或

（描述法）

　　2．A=-1,b=0

　　3．47个

　　4．15个

　　5．2，A∩B＝{1,37}

　　6．共8个

　　易知A＝{3,6，9,12}B＝{3,9，27}，故

　　A∩B＝{3,9}，A∪B＝{3,6，9,12,27}，故M可以这样构造

问题归结为求N的个数，要即集合{6,12,27}的子集数，所以M有23＝8个。