微积分复习试题及答案10套大学期末复习资料.docx
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微积分复习试题及答案10套大学期末复习资料
微积分复习试题及答案10套（大学期末复习资料）
习题一
（A）1、求下列函数的定义域:
ln（4）,x2
（1）
（2）（3）y,y,logarcsinxyx,,4a||2x,
113y,，log（2x,3）（4）（5）yx,,，1arctanax,2x2、求下列函数的反函数及其定义域
xx,32
（1）
（2）（3）yy,,yx,，，1ln
（2）x2，1x，3
x,,（4）yx,,,2sin,[,]322
3、将下列复合函分解成若干个基本初等函数
2x
（1）
（2）（3）yx,lnlnlnyx,，（32ln）ye,,arcsin1
23（4）y,logcosxa
4、求下列函数的解析式:
112，求.
（1）设fxx（），,，fx（）2xx
2
（2）设，求fgxgfx[（）],[（）]fxxgxx（）1,（）cos,,,
5、用数列极限定义证明下列极限:
1232n，1,,
（1）lim（3）3
（2）lim,（3）,lim0nn,,n,,n,,3353n,n
6、用函数极限定义证明下列极限:
x，31x，32lim（8）1x,,lim1,lim,
（1）
（2）（3）23x,x,,x,,3xx,96
7、求下列数列极限
22nn，，211020100nn，，3100n，limlimlim
（1）
（2）（3）32n,,n,,n,,54n,n,144nn,
,12n111,,，，？
，lim,,lim，，，（4）？
（5）,,222,,x,,x,,1223n（n1）,,，nnn,,,,
1111,,k,0（6）（7）（）lim，，，？
lim,,2x,,x,,n,31541,,nknnkn，,,
111，，，，？
12n222lim
（1）nnn，,（8）（9）limx,,x,,111，，，，？
12n5558、用极限的定义说明下列极限不存在:
1x,3limcosx
（1）
（2）（3）limsinlimx,,x,0x,3x|3|x,
9、求下列函数极限:
22xx,，56xx,，562
（1）
（2）（3）limlimlim（21）xx,，x,x,13x,3x,3x,2
222256x，xx,，44（）xx，,,（4）（5）（6）limlimlim2x,x,,,220xx，，21x,2,nx,1x,9x,1（7）（8）（9）limlimlimm3,1xx,9x,1x,1x,3x,1
2nnxxx,,,,？
13x，,12（10）,（11）lim（）（12）limlim33x,1,x1x,1xx,,111,xx,1
10、求下列函数极限:
22xx,，56xx,，56
（2）
（1）limlim2x,,x,,x,3x,3
nn,1axaxaxa，，，，？
011nn,lim（11）xx,,，（3）（4）lim,（,0）ab,00mm,1x,,x,,bxbxbxb，，，，？
011mm,
lim（11）xxx,,，（5）x,,
11、求下列极限式中的参变量的值:
2axbx,，6lim3,
（1）设，求的值;ab,x,,23x,
2xaxb，，lim5,,
（2）设，求的值;ab,x,11x,
22axbxc,，lim1,（3）设，求的值;abc,,x,,31x,
12x,0arcsin~xxtan~xx1cos~,xx12、证明:
当时，有:
（1），
（2），（3）;213、利用等价无穷小的性质，求下列极限:
sin2xsin2xsecxlimlimlim
（1）
（2）（3）2x,0x,0x,0，tan5x3x2x
3sinx21111sin,，x,limlim（）（4）（5）lim（6）x,0x,0x,0xxx,tansinxxtansin1cos,x
14、利用重要极限的性质，求下列极限:
sin2xsinsinxa,xxsin
（1）
（2）（3）limlimlimx,0xa,x,0,sin3xxa,1cos2x
xsinxx,tan3sin2xx,4,,（4）（5）（6）limlimlim1，,,x,0x,0,,xsinxx，3xx,,
xxx,3xk,21,,,,,,（7）（8）（9）limlim1,，lim1,,,,,,,,,,xxx,,xxxk，,,,,,,
1/x（10）lim12,x，，,,x
15、讨论下列函数的连续性:
,,xx1,
2fxxx（）11,,,,
（1）,
211xx,,,
x,x,0,sinx,x,0
（2）若，在处连续，则为何值.fxax（）0,,a,
1,1sin1，,xxx,
x,e（0,x,1）（3）为何值时函数f（x）,在[0，2]上连续a,a，x（1,x,2）,
53xx,，,52016、证明方程在区间上至少有一个根.（0,1）
32x,0x,317、证明曲线在与之间至少与轴有一交点.xyxxx,,，,252
（B）
arccoslg（3,x）y,1、函数的定义域为（）228,3x,x
（A）,，，,,7,3（B）（-7,3）（C）,7,2.9（D）（-7,2.9）
12、若与互为反函数，则关系式（）成立。
y,f（x）x,f（y）
1,1,1ABCD以上都不对x,f（f（x））y,f（f（x））xffy,（（））
n,n3、设n是整数，则是（）。
f（x）,x,x
A偶函数B既是奇函数又是偶函数C奇函数D非奇非偶函数
,111,,4、极限等于（），，，？
lim,,222n,，,，，，1n2nnn,,
（A）0（B）1（C）e（D）,
xxx5、极限（）？
coscoscoslim2n,，,n222
（A）等于0（B）等于（C）等于1（D）不存在,
2x,0xx,sin6、当时,是的x
（A）低阶无穷小.（B）高阶无穷小.（C）等价无穷小.（D）同阶但非等价的无穷小.
7,,、极限limsin（x，）,=（）x,，,x
（A）不存在;（B）0;（C）1;（D）,8、若存在，则下列极限一定存在的是（）lim（）fxxx,0
（A）.（为实数）;（B）.lim（）fx;lim[（）]fx,xx,xx,00
;（D）.（C）.limln（）fxlimarcsin（）fxxx,xx,00
atgxbx,，（1,cos）22lim,2,9、设其中则必有（）a，c,0,2,x0x,cxdeln（1,2），（1,）
4da,,4c（A）b=4d（B）b=（C）a=4c（D）
limf[,（x）]f[lim,（x）]10、设有和,则（）x,xx,x00
（A）两个极限不相等.（B）两个极限不同时存在.
（C）两个极限相等.（D）两极限是否存在不一定.
nm11、设，则=（）,（x）/,（x）,（x）,;（x）,,（x）,;（x）
（A）1，（B），（C），（D）不定。
;（X）,
12、若lim（）fx存在,则（）xx,0
xN,*（A）之去心邻域Nx*（,）,,使当时,fxM（）,，,Mx0及00
xN,*fxM（）,（B）之去心邻域Nx*（,）,,使当时,，,Mx0及00
fxM（）,（C）Nx（,）,之邻域,使当时,，,Mx0及xN,00
，,M0,fxM（）,（D）
13、若,使（）lim（）,fxA,,，,00则,xx,0
（A）当时,（B）fx（）,0fx（）,0xx,,,00
（C）当时,（D）在处没定义fx（）,00,,,xx,fx（）x00
xxa，,,14、若,则常数为（）lima,9,,x,,,,xa,
1（A）3（B）（C）（D）,ln3ln33
2215、极限为limsin,nn，，，n,,
（A）0（B）1
（C）不存在（D）
1
1,xlimx16、极限（）x,1
1（A）为（B）为ee
（C）为1（D）为
2nn,1limnxx,17、设，则极限x,0，，n,,
lnx（A）不存在（B）为
1lnx（C）为（D）为x18、设定义在（,）,11,且都在处连续,若（）fxgx（）,（）x,0
gxxx（）/,0,fx（）,,20x,,
则
lim（）gx,0lim（）gx,0（A）且（B）且g（）00,g（）01,,,x,0x,0
lim（）gx,1lim（）gx,0（C）且（D）且g（）00,g（）02,,,x,0x,0
2x2x19、设当是比高阶的无穷小量,则（）xeaxbx,,，，01时（）
1ab,,11,ab,,,1（A）（B）2
1ab,,,11,ab,,,,1（C）（D）2
20、设在内有定义,连续,且,有间断点,则（,）,,，,,（）xfx（）,0fx（）fxx（）（）和,
2（A）必有间断点（B）必有间断点,[（）]fx[（）],x
（）x（C）必有间断点（D）必有间断点fx[（）],fx（）
习题一（A）
3,,,22x01,,x1、
（1）
（2）（3）（4）xx,,,,124或,,,xx22或2（5）xx,,10且
x3
（1）x，x,1x,1xR,2、
（1），
（2），（3）yx,,,log,01y,ye,,221,x1,x
x,,,11x（4），y,3arcsin2
x3、
（1）
（2）yuuvvx,,,ln,ln,lnyuuvve,,,,arcsin,1,
223（3）（4）y,u,u,logv,v,cosxyuux,,，,32lna
2224、
（1）
（2）x,2fgxxgfxx[（）]sin,[（）]cos
（1）,,,
5、略
6、略
31151117、
（1），
（2），（3）0，（4）1，（5），（6），（7），（8），（9）;22254k28、略
n2x、
（1）-1，
（2）1，（3）1，（4），（5）0，（6），（7），9,m
nn
（1），32,（8）6，（9）3，（10），（11）-1，（12），24
0nm,
nn,1axaxaxaa，，，，？
0110nn,lim,,nm10、
（1）0，
（2）1，（3）,mm,1x,,bxbxbxbb，，，，？
0110mm,,
,,nm,
（4）0，（5）-1，
b11、
（1）任意实数，
（2）（3），abc,,,0,3,任意实数a,6,ab,,,7,6,
12、略
22113、
（1），
（2），（3），（4）2，（5）1，（6）-1，352
2114,2ee14、
（1），
（2）cosa，（3），（4）0，（5）,（6）,（7）,323
k,2eee（8），（9），（10）
a,1ae,,115、
（1）连续，
（2）,（3）
16、略
17、略
习题一（B）
1,5CADBC6~10BBBDD11~15DBCDB16~20BCDAD
习题二
（A）
1、利用导数的定义求下列导数:
2,
（1）设，求;f
（2）,fxx（）4,
2,,
（2）设，求fxf（）,
（2）fxaxbxc（）,，，
（3）设，求fxx（）cos1,，fx（）
2、求下列函数的导数:
1ak253
（1）
（2）（3）（4）y,yxx,yx,yxx,x
3、求下列函数在已知点处的切线方程和法线方程:
2
（1）在点处，
（2）在点处，yx,cos（2,4）,（0,1）yx,
1（3）y,在点处，
（1）在点处，yx,ln（1,0）（1,1）x
x,04、讨论下列函数在处的连续性和可导性:
2,xx,0fx（）,
（1）,,,xx0,
xx,0,
（2）fx（）,,ln
（1）0，,xx,
1,xxarctan0,,（3）fx（）,x,
00x,,
2,xxx，，,10fx（）,（4）,xex,0,
5、求下列函数的导数:
22xyxx,，,32cos2sin
（1）
（2）yxx,，，3log34
cosxxy,（3）（4）yxe,x
axb，xyadbc,,,（0）（5）（6）yex,，lnln2cxd，
lnxyxx,，ln（7）（8）yxxx,,,sinlnx
lnx1yxx,，cos（9）（10）yx,，,,
（1）
（1）xx
xsinx（11）（12）y,y,1cos,x1cos，x6、求下列函数的导数:
1x
（1）
（2）y,y,1，e22a,x
22（3）（4）y,sin（2x,1）y,1，lnx
x2（5）（6）y,tany,sin1，x2
1322（7）（8）yxsiny,cot1，x,x
xx2x2（9）（10）sincotye,cosy,32332nisx（11）（12）;y,ln（x）y,e
2（13）（14）yx,lnlnlny,ln（1，x，2x，x）
arcsinxx/lnxy,（15）;（16）y,221,x
2（17）（18）y,xarctanxy,xarccosx,1,x
arcsinxx2（19）（20）y,e，arctaney,ln（arctan1，x）
7、求下列函数的导数:
22
（1）
（2）yxy,，lnxxyy，，,4
x（3）（4）xyysin,2xye，,
xx（5）（6）yx,yx,（ln）
x,1xy,（7）（8）yxx,，sinx，18、求下列函数的微分:
32xx,
（1）（2（yxx,,，（33）yeex,，（）cos3
2xx,2,x（3）（4）yee,，（）yxe,
3sin3xxyx,，，152（5）（6）yexe,，x
12yx,,2（7）（8）yx,,ln1x,1
22tanx（9）（10）yx,,tan（12）y,5
1sin,x1,xy,y,arctan（11）（12）1sin，x1，x9、利用微分的性质求近似值:
5ln1.021.03
（1）
（2）
tan0.02（3）（4）sin1
3arctan0.95（5）（6）998
10、求下列函数的二阶导数:
2x
（1）
（2）yx,,ln
（1）yxe,
2（3）（4）yx,lnlnyxx,cos
11、求下列函数的阶导数:
n
x
（1）
（2）yx,，ln
（1）ya,
x（3）（4）yx,yxe,
B
1、设可导且下列极限存在，则下列各式不成立的是（）fx（）
fxf（）（0）,,A（lim（0）,fx,0x
fxxfx
（2）（），,,00,B（lim（）,fx0,,x0,x
fxfxx（）（）,,,,C（lim（）,fx,,x0,x
fxhfxh（）（），,,00,D（lim（）,fx0h,02h
h,02、设函数在点x处可导，,y,f（x，h）,f（x），则当时，必有（）y,f（x）000
hA（是的同价无穷小量.dy
hB（是的同阶无穷小量。
y-dy
hC（是比高阶的无穷小量.dy
hC（是比高阶的无穷小量.,y-dy
x,03、，其定义域是，其导数的定义域是（）f（x）,x
x,0x,0x,0x,0A（B.C.D.
u（x）4、设，则等于（）y''y,e
u（x）u（x）u（x）u（x）2eeeeA（u''（x）[u'（x），u''（x）]B.C.D.[（u'（x）），u''（x）]
5、关于，哪种说法是正确的,（）,y,dy
x,0A（当y是x的一次函数时.B.当时，,y,dy,y,dyC.这是不可能严格相等的.D.这纯粹是一个约定.
236、函数不可导点的个数为（）fxxxxx（）（）,,,,2
A.0B.1C.2D.3
7、设，其中在有定义，且在可导，则x,af（x）,g（a，bx）,g（a,bx）g（x）（,,,，,）,=（）f（0）
,,2aA（B.;C.D.2g（a）2ag（a）2bg（a）
8、设，且可导，则=（）y,f（cosx）,cos（f（x））fy
,A.;f（cosx）,sinx,sin（f（x））f（x）
;B.f（cosx）,cos（f（x）），f（cosx）,[,sin（f（x））]
,C.;,f（cosx）,sinx,cos（f（x））,f（cosx）,sin（f（x））,f（x）
,D..f（cosx）,cos（f（x））,f（cosx）,sin（f（x））,f（x）
loglogx'9、设f（x）,，则f（x）,（）logx
x,loglogx1,loglogxx，loglogx1，loglogxA.B.C.D.2222x（logx）x（logx）x（logx）x（logx）
答案:
B
2,x,x,1;f（x）ab,10、若在处可导，则的值为（）x,1,axbx,,,1.,
ab,,,21,ab,,,12,ab,,,21,A.B.C.D.a,1,b,2
211、若抛物线与yx,ln相切，则（）。
yax,a,
1
2eA.1B.1/2C.D.2e
fxf（1,）,
（1）3lim,,112、设周期函数f（x）（,,,，,）在内可导，周期为，又，则曲线x,0x2
在点处的切线斜率为（）（4,f（4））
A（2B.1C.D.,1,2
13、设在内可导，则（）f（x）（,,,，,）
limf（x）,，,limf（x）,，,A.当时，必有。
x,，,x,，,
limf（x）,，,limf（x）,，,B.当时，必有。
x,，,x,，,
limf（x）,,,limf（x）,,,C.当时，必有。
x,,,x,,,
limf（x）,,,limf（x）,,,D.当时，必有。
x,,,x,,,
xf（x）,（x,1）arcsin14、设，则（）x，1
,,,,
（1）A（f,B（C（D（不存在f
（1）,0f
（1）,1f
（1）4
44，则（）15、设y,sinx，cosx
n,（n）n,1y,4cos（4x，）,n,1A（2
（n）n,1B.y,4cos（4x）,n,1
n,（n）n,1y,4sin（4x，）,n,1C（2
n,（n）y,4cos（4x，）,n,1D（2
2dyy2,16、设函数由方程确定，则（）y,y（x）x，ylnx，4,0dx
y,yy,yA（B.C.D..22y2y2xlnx2xlnx2（x,y，xlnx）2xlnx（x，1）
12y,,tan,,17、设曲线和在它们交点处两切线的夹角为，则（）。
y,xx
A.-1B.1C.2D.3
a18、设是实数，函数
11,,cos,x,1,,af（x）,x,1（x,1）,
0,x,1,,
x,1f（x）则在处可导时，必有（）
a,,1,,,10a01,,aa,1A.B.C.D.19、设，则f'（0）,（）.f（x）,x（x,1）（x,2）？
（x,99）（x,100）
A（100B.100～C.-100D.-100～
（n,1）f（x）（n）（n,1）20、设的n阶导数存在，且，则lim,f（a）f（x）f（a）,（）xa,x,a
A.0B.C.1D.以上都不对a
习题二（A）
16,sinx1、
（1），
（2），（3）;2,4axbab，，
273,,191ak，,13222、
（1），
（2），（3），（4）;xxx,（）akx，322
3、
（1）;440,4180xyxy，，,,，,
（2）;yx,,1,0
（3）;yxyx,,,,1,1
（4）;xyxy，,,,,20,0
4、略
5、
（1）yxx,,62sin
12x,yx,，，
（2）33ln3xln3
xxxsincos，,（3）y,,2x
x,（4）yxe,，
（1）
xex,ln（5）yex,，x
adbc,,（6）y,2（）cxd，
1ln,x,yx,，，ln1（7）2x
（8）yxxxxxx,，，sinlncoslnsin
11,（9）y,,，
（1）x2x
1lncos,xx,（10）yxx,，,sin2x2x
1cossin,,xxx,（11）y,2（1cos）,x
1,y,（12）1cos，x
x,6、
（1）y,223（）ax,
xe,
（2）y,x，21e
lnx,（3）y,2xx1ln，
（4）;yx,,2sin（42）
1xx2,（5）;y,cotsec422
2xxcos1，,（6）y,21，x
3222csc
（1）xx，,（7）y,,233
（1），x
11,（8）;yx,,2sincosxx
121xxx22,（9）yx,,，sincotsincsc332232xx,（10yee,,,sin2
226ln（）x,（11）y,x32sinx,（12）yxx,,3sincose
1,（13）y,xxx,,lnlnln
1,（14）y,22xx，
xln2（ln1）x,lnx,y,,2（15）2lnx
21arcsin,，xxx,y,（16）23
（1）,x,（17）yx,arccosarctanxx,（18）y,，21，x2x
x,y,（19）;222
（2）1arctan1，，,，xxxarcsinxxee,y,，（20）2x2，1e,x1
2xy,,7、
（1）y,xy，2
y,
（2）y,y,1
siny,（3）y,1cos,xy
22xyx,ye,（4）22xy，
x,（5）yxx,，（ln1）
1x,（6）yxx,，（lnln）（ln）xln
1x,（7）yxxx,，，cos（ln2）
x2
11x,,（8）y,2xx,，11
23、
（1），8dyxxxdx,,,，6
（1）（33）xx,
（2）dyeexxdx,,,（）（cos33sin3）
22xx,（3）dyeedx,,2（）
22,x（4）dyxedx,,（12）
sin3xx（5）dyxexedx,，，（3cos3
（1））
3dydx,,
（2）（6）2x
xdydx,,（7）21,x
11（8）dydx,，（）2
（1）x,x
222（9）dyxxxdx,,，,，8tan（12）sec（12）
tan2x（10）dyxdx,,,ln55sec
2cosx（11）dydx,,2（1sin），x
1（12）dydx,,21，x
9、
（1）1.006，
（2）0.02，（3）0.017，（4）0.02，（5）9.993，（6）0.761
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