概率论与数理统计习题五课后答案.docx
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概率论与数理统计习题五课后答案
概率论与数理统计习题五课后答案
习题五
1．假设有10只同种电器元件，其中两只废品，从这批元件中任取一只，如果是废品，则扔掉重新取一只，如仍是废品，则扔掉再取一只，试求在取到正品之前，已取出的废品只数的数学期望和方差。
解设X为已取出的废品只数，则X的分布为
X
即
012
PX
0810
1845
2
P
课
822，454598442
EX
454515
EX
DXEX（EX）
2
w.kh
求1周内期望利润是多少？
1
2．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若1周5个工作日里无故障，可获利10万元；发生一次故障仍可获利5
万元，发生两次故障所获利润零元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。
解设一周所获利润为T（万元），则T的可能值为10,5,0,2.又设X为机器一周内发生故障的次数，则X~B（5,0.2），于是，
5
P（T10）P（X0）（0.8）0.3277P（T5）P（X1）C50.2（0.8）0.4096类似地可求出T的分布为4
ww
T2
P0.05790.20480.40960.3277
所以一周内的期望利润为
ET20.057950.4096100.3277
5.209（万元）
·55·
da
w
2
所以
案网
145
4488.1581405
0510
.co
828218
101091098
m
3．假设自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（,1），内径小于10或大于12为不合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T（元）与零件的内径X有如下关系：
解ET1P（X10）20P（10X12）5P（X12）（
10
）20[（12）（10）]5[1（12）]1
25（12）21（10）5
ww
w.kh
两边取对数得
222ln
）2（10）2]2112
e
25
即
）（12）
（10
2122520
即
11ln
12
时，平均利润最大.
4．从学校到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是
的分布律、分布函数和数学期望.解X~B（3,即
223
），分布律为P（Xk）C3k（k（）3k555
dw
2
2
dET
25（12）21（10）d
案网
2125
25.21
2，设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X5
k0,1,2,3.
·56·
.c
o
问平均内径取何值时，销售一个零件的平均利润最大.
m
1,若X10,
T20,若10X12,
5,若X12.
X
P
[***********]38125
X的分布函数为
x0,0,
27,0x1,12581
1x2,F（x）125117
2x3,125,
x3.1,
5472241506EX
[1**********]55
P（Xk）（1p）
后
求EX与DX解1EX
daw
k1
k1
5．设随机变量服从几何分布，其分布列为
答案p，0p1,k1,2,
kpx
k1xq
课
k（1p）
k1
ppkq
k1
k1
p（x）
k
k1
w.kh
由函数的幂级数展开有所以
其中q1p
x
k0
k
1，1x
11
1pEXp
（1x）21xxq
因为
xq
ww
EX
2
k
k1
2
pq
k1
x2pk
，px（x）p22pk1xq（1x）xq
2
所以
DXEX（EX）
2
2p1q
.222
ppp
.co
xq
1.p
m
·57·
解2EXP2pq3pqkpq
2k1
p（12q3qkq）,
S12q3qkq
2
k1
2k1
设
（1）
k
则
（1）–
（2）得
所以
S
从而，得
EXpSp
2
2
ww
w.kh
于是
S1
2222n1
p（12q3qnq）pS1，
22232n
qS1q2q3qnq,
2n1
（1q）S113q5q（2n1）qS2,
23n
qS2q3q5q（2n1）q,
2q2q2n1
（1q）S212（qqq）11，
1qp
12q
S22，
pp
所以
课
EXp（故得X的方差为
后
EXp2pq3pqnpq
S212q23，ppp
2
DXEX2（EX）2
·58·
daw
2
2
2
n1
11
.2
pp
答案网
11
，
（1q）2p2
12q12q
，
p2p3pp2
12q1q1p
2222.ppppp
.co
（1q）S1qq2qk1
1，1q
m
qSq2q3qkq,
（2）
23
6．设随机变量X分别具有下列概率密度，求其数学期望和方差.
（1）f（x）
1|x|
e；2
1|x|,|x|1,
（2）f（x）
0,|X|1;
daw
网
1522
x（x2）,0x2,
（3）f（x）16
其他;0,
x,0x1,
（4）f（x）2x,1x2,
0,其他.
1
（因为被积函数为奇函数）x|x|dx0，解
（1）EX2
12
DXEXx2e|x|dxx2exdx
02
xe
（2）EX
2x
w.kh
2
x3x411
DXEXx（1|x|）dx2（xx）dx2[]0.
01634
215152532
（3）EXx（x2）dx（x4x44x3）dx
016160
2
1
2
1
2
3
课
后
2
xexdx2[xex
1
1
x（1|x|）dx0,
15x6454x41516
x1,
1665401615
15615x74x64x58254
EX，（x4x4x）dx0161676507
所以
DXEX（EX）
2
2
2
2
ww
81
1.77
2
2
（4）EX
2
10
x2dx
10
3
21
122x382
31,（2xx）dxx
331331
2
EX
xdx（2x2x3）dx
1
12114
（81）（161）,43412
·59·
.co
0
0
exdx]2.
m
DX
1411.
612
1
1X
7．在习题三第4题中求E解因X的分布为所以E
w.kh
解
（1）1
f（x）dxaxdx（cxb）dx
2
a22c244
xxbx22a2b6c,2022
2
xf（x）dxaxdx（cxb）xdx
2
856
ac6b，33
ww
23335
axdx（cxb）dxacb，
12242
解方程组
1
3abc2
8a18b56c6
33a2b5c
2
·60·
daw
2
4
2
2
4
1111111167
.1X224384896
8．设随机变量X的概率密度为
ax,0x2,
f（x）cxb,2x4,
0,其他.
3
已知EX2,P（1X3），求
4
（1）a,b,c的值
X
（2）随机变量Ye的数学期望和方差.
课
后
答案网
.co
P
12141818
m
X0123
1，4
b1，
1
c.
4
a
41x1122x
（1）（e1），xedxxedx24044
214122X2x2xef（x）dxxedx（x1）e2xdxEYE（e）04241212222
（e1）[e（e1）]
44
122222
DYEY（EY）e（e1）.
4
（2）EYE（eX）
exf（x）dx
9．游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟，25且X在[0,60]上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望.解设候梯时间为T，则
分钟和55分钟从底层起行。
假设一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处，
ww
X5,5X,
25X,5X25,
Tg（X）
55,2555XX
60X5,X55.601g（x）f（x）dxg（x）dxETE[g（X）]060
25556015
xdxxdxxdxxdx（5）（25）（55）（65）52555600
1
[12.520045037.5]11.67.
60
10．设某种商品每周的需求量X是服从区间[10,30]上均匀分布的随机变量，而经销商店进货量为区间[10,30]中的某一个整数，商店每销售一单位商品
可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利300元，为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最小进货量。
w.kh
解设商店获得的利润为T，进货量为y，则
daw
课
后
答案网
.co
·61·
m
2
500y（Xy）300,yX30,
500X（yX）100,10Xy.300X200y,yX30,
Xy600100y,10X,
Tg（X）由题意
即
解不等式得20
即使利润的期望值不少于9280元的最少进货量为21个单位.
32
x,0x2,
f（x）8
0,其他.
w.kh
常数a；
（2）求E
课
后
11．设X与Y同分布，且X的概率密度为
daw
2a
2
y26，3
答案网
7.5y2350y40300.
（1）已知事件A{Xa}和事件B{Ya}独立，且P{AB}
1。
2X
解
（1）P（Xa）
321
xdx[8a3]88
ww
3
P{AB}P（A）P（B）P（AB）4
213
[8a][8a3]2，
864
（8a）16（8a）480,即
[（8a）12][（8a）4]0，
·62·
3
3
32
3
即有方程
.c
o
y
1y
（600x100y）dx10202
7.5y350y5250,
30
（300x200y）dx
m
3
，求4
9280ET
g（x）f（x）dx
可见
8a12或8a4，解之得
a
3
3
pij
0.100.150.250.20
EZsin
2
0.15sin
2
0.25sin0.20
w.kh
（2）EZE（
2
2
2
解
（1）EX0.420.230.42,
EY10.30.30；
yj1Y
pij10.2（1/2）0.10
3Xijxi
111
0.10.10.1；
2315
2
（3）EWE（XY）
D（XY）（E（XY））DXDY2（EXYEXEY）（EXEY）[EX（EX）][EY（EY）]2[
2
2
2
ww
I
J
2
2
2
2
3
0.152
0.150.250.150.2513．设
的分布律为
sin0.15sin
案[0.440.290.44][0.30.3]2（0.220.10.120.130.140.80.60.445.
2
或
EWE（XY）E[X2XYY]EX2EXYEY
·63·
.co
0.15
0.15
a（不合题意）故
a2313.
（2）E208X4
（XY）
12．于习题四第15题中求Zsin的数学期望.
2
解X,Y的分布为
（x,y）（0,0）（0,1）（1,0）（1,1）（2,0）（2,1）
xy
i
j
pij0]4
m
0.440.290.42（0.220.10.120.130.1）0.30.34.80.40.65.或，先求（XY）的分布
2
（XY）2
P
014916
0.10.20.30.40
1124
12
14
14．设离散型二维随机变量（X,Y）在点（1,1）,（,）,（,（1,1）
kh
1
，求EX,EY,DX,DY,EXY.4
111111
解EX110，
442424
11111052
，EX
4161641685
所以DX；
8
111111
EY110,
[1**********]72
；DYEY
46464432
11111111
EXY
（1）
（1）（（（11
44244244
1119
（11）.
48816
15．设（X,Y）的概率密度为
（
x2
y2）,x
0,y0,4xye
f（x,y）
其他.0,
取值的概率均为
Z的数学期望.
ww
解EZ
daw
00
课
答案0
4xye（x
2
4
20
rr2cossinerrdrd
r4erdrd
0
2
20
sin2d2
20
cos2
·64·
13r2
[re2
0
.co
2
y2）
dxdy
3redr]
2r2
m
EW0.240.390.45.
1r2
[3（re
2
2
0
0
erdr）]
令r2
2
331rr
edredr2
044
dt
t22
于是DX故
w.kh
D（2X1）4DX
1221（；2318
17．假设随机变量Y服从参数为1的指数分布，随机变量
Xk
0,若Yk,
1,若Yk,
w求
（1）X1,X2的联合分布，
（2）E（X1X2）.
解
（1）（X1,X2）的分布：
P（Y1）1e，
P（X11,X20）P（Y1,Y2）P（1Y2）ee
·65·
1
2
P（X10,X20）P（Y1,Y2）
1
P（X10,X21）P（Y1,Y2）0，
dw
42.189
k1,2.
课
x122
2xdydxxdx；00
3x
1xEYdxydy0；
0
x1xEXYxydydx0；
0x
1x11223
EXxdydx2xdx，
002x
1
后
网
解EX
.co
416．设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
1,|y|x,0x1,
f（x,y）
其它0,.
求EX,
m
（2）E（X1X2）EX1EX2ee.
18．设连续型随机变量X的所有可能值在区间[a,b]之内，证明：
（1）aEXb；
12
商品可得利润1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润500元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值。
解设T为一周内所得利润，则
w.kh
XY,1000Y,
500（）,.XYXY
ETE[g（X,Y）]其中
Tg（X,Y）
1000Y,
1000X500（YX）,
daw
课
后
答案网
XY,
XY.
g（x,y）f（x,y）dxdy
ww
1
10x20,10y20,
f（x,y）100
0,其他.
所以
ET
1000y
D1
11500（xy）dxdy100100D
2
10
2019
dy
20y
ydx5
2019
dy（xy）dx
10
y
·66·
.c
o
（ba）2
（2）DX.
4
证
（1）因为aXb，所以EaEXEb，即aEXb；
（2）因为对于任意的常数C有
2
DXE（XC），
ab
取C，则有
2
ab2ab2ba2（ba）2
DXE（XE（bE（.
2224
19．一商店经销某种商品，每周进货量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量，且都服从区间[10,20]上的均匀分布。
商店每售出一单位
m
10
2019
y（20y）dy5
2019
3
（y210y50）dy2
20000
5150014166.67（元）.3
20．设X,Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为
移了5个单位，所以EY156）因X,Y独立，所以
EXYEXEY今求DXY
方法1DXYEXY（EXY）
EXEY16
w.kh
1375
162.5.[136]16
222
方法2利用公式：
当X,Y独立时
DXYDXDYDX（EY）DY（EX）
2
2
114
13612.5.18189
21．在长为L的线段上任取两点，求两点距离的期望和方差.
解以线段的左端点为原点建立坐标系，任取两点的坐标分别为X,Y，则
LL11
xydxdy（）（xy）dxdy220xLL
ww
它们均在[0,L]上服从均匀分布，且X,Y相互独立.E|XY|
|xy|f（x,y）dxdy
L1L2L2
2（xLxdx
L023
·67·
daw
2
2
2
2
2
课
后
案网
2
64.3
1
2x3dx[DY（EY）2]16
L0
x0
.co
e（y5）,y5,2x,0x1
fY（y）fX（x）
0,其他;0,y5.
求E（XY）,D（XY）
122
解EX2xdx，
03
EY6
（注：
因为参数为1的指数分布的数学期望为1，而fY（y）是前指数分布向右平
m
E|XY|2
LL0
（xy）2
LL11LL2
22dxdyxdxdyxydxdy00L2L200
1
2
L
所以
24L4L23L26
解因为相互独立的正态分布的线性组合仍为正态分布，所以
Z~N（,2）
所以Z的概率密度为
fZ（z）
daw
（z5）218
EZE（2XY3）2EXEY352
DZD（2XY3）4DXDY9
课
答案网
其中
z，
23．设X,Y是两个相互独立的且均服从正态分布N（0,
w.h
解1E|XY|
E|XY
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