高考数学文复习第1部分专题5 点12 圆锥曲线的定义方程几何性质含答案.docx

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高考数学文复习第1部分专题5点12圆锥曲线的定义方程几何性质含答案

突破点12圆锥曲线的定义、方程、几何性质

[核心知识提炼]

提炼1圆锥曲线的重要性质

（1）椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系

①在椭圆中：

a2＝b2＋c2；离心率为e＝

＝

；

②在双曲线中：

c2＝a2＋b2；离心率为e＝

＝

.

（2）双曲线的渐近线方程与焦点坐标

①双曲线

－

＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±

x；焦点坐标F1（－c,0），F2（c,0）；

②双曲线

－

＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±

x，焦点坐标F1（0，－c），F2（0，c）．

（3）抛物线的焦点坐标与准线方程

①抛物线y2＝±2px（p＞0）的焦点坐标为

，准线方程为x＝∓

；

②抛物线x2＝±2py（p＞0）的焦点坐标为

，准线方程为y＝∓

.

提炼2弦长问题

（1）直线与圆锥曲线相交时的弦长

斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）时，|AB|＝

|x1－x2|＝

或|AB|＝

|y1－y2|＝

.

（2）抛物线焦点弦的几个常用结论

设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），则①x1x2＝

，y1y2＝－p2；②弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝

（α为弦AB的倾斜角）；③

＋

＝

；④以弦AB为直径的圆与准线相切．

[高考真题回访]

回访1　圆锥曲线的定义与方程

1．（2015·全国卷Ⅱ）已知双曲线过点（4，

），且渐近线方程为y＝±

x，则该双曲线的标准方程为________．

－y2＝1　[法一：

∵双曲线的渐近线方程为y＝±

x，

∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ（λ≠0）．

∵双曲线过点（4，

），

∴λ＝16－4×（

）2＝4，

∴双曲线的标准方程为

－y2＝1.

法二：

∵渐近线y＝

x过点（4,2），而

<2，

∴点（4，

）在渐近线y＝

x的下方，在y＝－

x的上方（如图）．

∴双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为

－

＝1（a>0，b>0）．

由已知条件可得

解得

∴双曲线的标准方程为

－y2＝1.]

2．（2013·全国卷Ⅰ改编）已知圆M：

（x＋1）2＋y2＝1，圆N：

（x－1）2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，则C的方程为________．