北师大版七年级上数学第二章有理数及其运算教案有理数讲义含答案.docx

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北师大版七年级上数学第二章有理数及其运算教案有理数讲义含答案

有理数讲义

1、了解有理数的分类。

2、掌握数轴的定义和性质以及它的作用。

3、掌握有关有理数和数轴的典型题目的解题方法。

有理数

1、有理数的概念

⑴______、______、______统称为整数（0和正整数统称为______自然数）

⑵______和______统称为分数

⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：

只有能化成分数的数才是有理数。

①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。

②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

注意：

引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。

2、有理数的分类

总结：

①正整数、0统称为______（也叫自然数）

②负整数、0统称为______

③正有理数、0统称为______

④负有理数、0统称为______

数轴

3、数轴的概念

规定了______，______，______的直线叫做数轴。

注意：

⑴数轴是一条向两端无限延伸的______；

⑵______、______、______是数轴的三要素，三者缺一不可；

⑶同一数轴上的单位长度要______；

⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

4、数轴上的点与有理数的关系

⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。

⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是______关系。

（如，数轴上的点π不是有理数）

5、利用数轴表示两数大小

⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数______；

⑵正数都______0，负数都______0，正数______负数；

⑶两个负数比较，距离原点______的数比距离原点______的数小。

6、数轴上特殊的最大（小）数

⑴最小的自然数是______，无最大的自然数；

⑵最小的正整数是______，无最大的正整数；

⑶最大的负整数是______，无最小的负整数

7、a可以表示什么数

⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；

⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0

⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0

8、数轴上点的移动规律

根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。

参考答案：

1、正整数0负整数负分数正分数

2、非负整数非正整数非负有理数非正有理数

3、原点正方向单位长度直线原点统一单位长度正方向

4、一一对应

5、大大于小于大于远近

6、10-1

1、有理数的分类

【例1】把下列各数填在相应的括号内：

-16，26，-12，-0.92，0，0.1008，-4.95（思考：

小数是分数吗？

）。

正数集合{}；负数集合{}；

整数集合{}；正分数集合{}；

负分数集合{}；

分析：

根据正数、负数、整数和分数的定义，严格区别．注意零既不是正数，也不是负数，但是整数．

解：

正数集合{26，0.1008，……}；

整数集合{-16，26，-12，0，……}；

负数集合{-16，-12，-0.92，-4.95，，……}；

正分数集合{0.1008，……}；

负分数集合{-0.92，-4.95，……}．

说明：

用大括号表示集合时，要注意省略号的使用．如“正数集合”指的是包含所有正数的一个“集体”，因为是“所有的”，而具体填时仅能填写一部分，所以后面应加省略号．

练1、下列说法正确的是（）

A、非负有理数就是正有理数B、零表示没有，不是自然数

C、正整数和负整数统称整数D、整数和分数统称为有理数

练2、零不属于（）

A、有理数集合B、整数集合

C、非正有理数集合D、正数集合

练3、，2019，，0，，+11，，，、2，中，正整数和负分数共有（）

A、3个B、4个C、5个D、6个

答案：

1.D2.D3.C

2、有理数的性质

【例2】用有理数表示下面各量。

（1）如果收入200元记作＋200元，则如何表示支出100元？

（2）如果海平面以下100米记作－100米，则如何表示海平面以上1000米？

（3）如果向南行100米记作＋100米，则向北行200米如何表示？

分析：

该题中每两个量都是意义相反的两个量，为了区别意义相反的量我们应用不同符号的数来表示．

　　解：

（1）支出100元表示为－100元；

（2）海平面以上1000米应表示为＋1000米；（3）向北行200米表示为－200米；（4）比标准重量少5克表示为－5克．

注意：

（1）一个量是用正数表示，还是用负数表示是人们规定的，但在表示中也应尊重人们在多年生活中形成的习惯．如：

零上温度一般规定为正；海平面以上一般规定为正等；

（2）正数前面的“＋”号是可以省略不写的．

练4、如果温度上升3℃记作+3℃，那么下降5℃记作______________________

练5、如果向西走12米记作+12米，则向东走120米表示的意义是___________________

练6、味精袋上标有“300±5克”字样，还说明这袋味精的质量范围应该是____～____

练7、地图上标有甲地海拔高度30米，乙地海拔高度为20米，丙地海报高度为5米，其中最高处为___________地，最低处为___________地，最高处与最低处相差_________________

答案：

4、-5℃5、向西走120米6、295g305g7、甲、丙35米

【例3】已知数的绝对值大于，则在数轴上表示数的点应在原点的哪侧？

分析：

确定表示的点在原点的哪侧，其关键是确定是正数还是负数．由于负数的绝对值是它的相反数正数，所以可确定是负数．

解：

由于负数的绝对值是它的相反数，所以负数的绝对值大于这个负数；又因为0和正数的绝对值都是它本身，所以是负数，故表示数的点应在原点的左侧．

说明：

只有负数小于其本身的绝对值，而0和正数都等于自己的绝对值．

练8、如果点A表示的数是2.2，将点A向左边移动2个单位长度，那么这时点A表示的数是_______,如果再向左移动1.2个单位长度，那么这时点A表示的数是_______

练9、数轴上到原点的距离等于4个单位长度的点所表示的数是_____.

练10、数轴上与距离原点3个单位长度的点所表示的负数是______________

答案：

8、0.2-19、+4、-410、-3

【例4】小明业余时间进行飞镖训练，上周日训练的平均成绩是8.5环，而这一周训练的平均成绩变化如下表：

正号表示比前一天提高，负号表示比前一天下降

（1）问本周哪一天的平均成绩最高，它是多少环？

（2）问本周哪一天的平均成绩最低，它是多少环？

（3）本周日的成绩和上周日的成绩比是提高了，还是下降了，其变动的环数是多少？

分析这题的关键问题是求出本周每天训练的平均环数，而要求出一天的平均环数只需知道前一天的平均环数，而上周日的平均环数已知。

解：

本周训练每天的平均环数如下：

周一：

8.5＋1＝9.5；

周二：

9.5＋0.2＝9.9；

周三：

9.7＋（－0.5）＝9.2；

周四：

9.2＋0.3＝9.5；

周五：

9.5＋0.2＝9.7；

周六：

9.7＋（－0.7）＝9；

周日：

9＋（－0.1）＝8.9。

由此可知本周二和本周五训练的平均成绩最高，是9.7环，本周日训练的平均成绩最低，是8.9环，本周日的平均成绩和上周日的平均成绩比是提高了，提高了（8.9－8.5＝0.4）0.4环。

说明：

本题中正数和负数的标准是以前一天的平均环数为标准，而不是都以上周日的平均环数为标准；注意在计算类似于这样的题时首先要把正、负的标准弄清楚。

练11、为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师。

如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：

千米）：

＋15，－4，＋13，10，12，＋3,13,17

（1）最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？

（2）若汽车耗油量为0.4升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？

答案：

（1）25千米

（2）34.8

【例5】下表是一个水文站在雨季在某条河一周内水位变化情况的记录,其中，水位上升用正数表示,水位下降用负数表示。

注：

①表中记录的数据为每天12时的水位与前一天12时水位的变化量。

②上周日12时的水位高度为2米。

请你通过计算说明本周末水位是上升了还是下降了？

分析：

计算这七天水位变化量的和，看结果是正、还是负，若是正，说明周末水位上升了；若是负；说明水位下降了．

解：

（1）

　　∴本周末水位下降了

练12、股民小张星期五买某公司股票1000股,每股14.80元,下表为第二周星期一至星期五每日该股票涨跌情况（单位:

元）:

（1）星期三收盘时,每股是多少元?

（2）本周内最高价是每股多少元?

最低价是每股多少元?

（3）已知小张买进股票时付了成交额0.15%的手续费,卖出时付了成交额0.15%的手续费和成交额0.1%的交易税,如果小张在星期五收盘前将全部股票卖出,那么他的收益情况如何?

答案：

（1）15.6元

（2）15.8，15.2（3）+938.3

3、数轴

【例6】下列数轴画正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

数轴．

分析：

根据数轴的三要素：

原点、单位长度、正方向，可得答案．

解答：

解：

A没有单位长度，故A错误；

B、没有正方向，故B错误；

C、原点、单位长度、正方向都符合条件，故C正确；

D、原点左边的单位表示错误，应是从左到右由小到大的顺序，故D错误；

故选：

C．

点评：

本题考查了数轴，注意数轴的三要素：

原点、单位长度、正方向．

练13、如图，是点A、B在数轴上的位置，则线段AB的长度为（　　）

A．

7

B．

6

C．

5

D．

4

考点：

数轴．

分析：

根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案．

解答：

解：

AB的长度为2﹣（﹣5）=2+5=7，

故选：

A．

点评：

本题考查了数轴，数轴上两点间的距离是大数减小数．

练14、数轴上与表示﹣2的点距离1个单位长度的点所表示的数　　．

考点：

数轴．

分析：

利用数轴上表示的数求解即可．

解答：

解：

数轴上与表示﹣2的点距离1个单位长度的点所表示的数﹣1或﹣3．

故答案为：

﹣1或﹣3．

点评：

本题主要考查了数轴，解题的关键是不要漏解．

1、下列说法正确的是（）

A、正整数和负整数统称整数；

B、正分数、负分数统称分数；

C、零既可以是正整数也可以是负整数；

D、一个有理数不是正数就是负数

2、下列说法错误的是（）

A、规定了原点、正方向和长度的直线叫数轴；

B、所有有理数都可以用数轴上的点表示；

C、0是最小的自然数；

D、-1是最大的负整数；

3、下列说法中不正确的是（）

A、最小的自然数是1B、最大的负整数是−1

C、没有最大的正整数D、没有最小的负整数

4、下列说法正确的是（）

A、有0个苹果即一个苹果也没有，故0的意义就是表示没有

B、0没有带“”号，所以0是正数；

C、字母a没有带“”号，所以a是正数；

D、0既不是正数，也不是负数

5、下列说法正确的是（）

A、“黑色”和“白色”