图论与抽象代数复习汇总.docx

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图论与抽象代数复习汇总

2013-2014二学期图论与抽象代数复习

第一部分

1•第三篇总复习题1,2,3题

2•第四篇总复习题1,4,6题

3•习题99」题

4•水运算如下表所示，哪个能使（｛“少｝力成为单元半群？

（）

5.Q是有理集，（Q,*）（其中★为普通乘法）不能构成（）o

A.群B.单元半群C.半群D.交换半群

6.设Z是整数集，+,•分别是普通加法和乘法，则（乙+,•）是（）。

A.域B.整环和域C.整环D.含零因子环

7.在代数系统中，整环和域的关系为（）。

A.整环一定是域B.域不一定是整环

C.域一定是整环D.域一定不是整环

8.设D=为有向图，V=｛a,h,c,d,e,f｝,E=｛（a,b）,（b,c）,（a,d）,（d,e）,（f,e）｝是（）。

A.强连通图B・单向连通图C・弱连通图D・不连通图

9.在有"个结点的连通图中，其边数（）«

A.最多有“―1条B.至少有7J—1条

C.最多有"条D.至少有"条

10设G=（HJH）为无向简单图，可构成邻接矩阵的数目为（）0

11.

欧拉回路是（）o

B.简单回路

12.

哈密尔顿回路是（）。

B.简单回路

13.下而哪一种图不一定是树？

（）

A.无回路的连通图B.有n个结点n-1条边的连通图

C.

每对结点间都有通路的图D.连通但删去一条边则不连通的图下述偏序集（见下图）中能构成格的是（）

下述偏序集中哪一个不构成格？

（）

第二部分

1第三篇总复习题11,12,13题

2.第四篇总复习题16,21题

3•定理6・14,定理7.10推论2

4.Z是整数集，群（Z,+）是一个循环群，其生成元是和.

5.G是n个节点，m条边的无向图，v是次数为k的结点，则G-v（G中去掉节点的图沖有

个结点，条边。

6.设（G,T是一个半群，若存在单位元且每个元素都有右逆元，则（G,是.

7.由一个孤立结点构成的图称为；简单图不包含

第三部分

1・设代数系统其中*乘法表左义如下：

问水是否是可交换的；A是否有单位元：

如果有单位元，指出哪些元素是可逆的，并给出它们的逆元。

*

（I

bc（1

a

a

b

c

d

b

b

c

d

a

c

c

d

a

b

d

d

a

b

c

2.第三篇总复习题20题

3.找出（s°）的所有子群。

4•有向图D如下图所示：

求：

（1）D的邻接矩阵A

（2）D中M到v4长度为4的通路数为多少？

（3）D中长度为4的通路总数为多少？

英中有几条回路？

（4）£）中M到自身长度为3的回路数为多少？

（5）£）中长度小于等于4的通路有多少条？

其中有多少条是回路？

（6）D是哪类连通图？

5.下图给出的赋权图表示七个城市a,b,c,cl,e,f,g及架起城市间直接通信线路的预测造价，试给出一个设汁方案使得各城市间能够通信且总造价最小，要求讣算岀最小总造价。

第四部分

1.证明：

定理6.18

2.证明：

定理8.1

3.证明：

定理9.1

4.第三篇总复习题27题

5.证明：

循环群一定是可换群。

第三篇代数系统

代数系统是建立在集合论基础上以代数运算为研究对象的学科。

本篇共三章，第五章代数系统基础介绍代数系统的一般原理与性质，第六章群论，主要介绍具有代表性的代数系统一群，最后第七章其它代数系统，介绍除群外常见的一些代数系统，如环、域、格与布尔代数等，这三章相互配合构成了代数系统的完整的整体。

第五章代数系统基础

§5.1代数系统一般概念

1.代数系统中的基本概念

（1）代数系统：

集合上具有封闭性的运算组成代数系统（S,）。

（2）子代数：

代数系统（S,）,（S\*）满足：

1SUS

2如a.beS\a*b=ab则称（S\*）为（S,）的子代数。

§5.2代数系统常见的一些性质

（3）代数系统常见性质

1）结合律：

（a

b）c=a

（bc）

2）交换律：

a

b=ba

3）分配律：

a

（b+c）=（a

b）+（ac）

4）单位元：

a

l=a

5）逆元：

aa—1=1

6）零元：

a0=0

7）生成元

§5.3同构与同态

（4）同构：

（X,）与（丫，專）存在一一对应函数g：

XTY使得如xl,x2eX,则有：

g（xix2）=g（xl）*g（x2）此时则称（X,）与（Y,*）同构。

（5）同态：

（X,）与（Y,*）存在函数g:

XtY使得如xl,x2eX,则有：

g（xlx2）=g（xl）*g（x2）此时则称（X,）与（Y,*）同态。

§5.4常用代数埃统

（6）代数系统的构成

*0正规子群.商群

（两个二元运算：

也）~o循环半群

"可换群，半群，对*分配群环交换律可换环

。

单位元，无零因子

特殊子环-O整环

O理想

特殊环-

O商环

（两个二元运算：

叫

柯个运算的结合律、交换律、吸收律格两个运算的分配律分配格

►qP►o布尔代数

两个运算的单位元、逆元

刚迪辿堆o有界格两个运算有逆元•。

有补格

第六章群论

§6.1一些群的定义

（7）半群——代数系统满足交换律

（8）单元半群——半群存在单位元

（9）群一半群存在单位元与逆元

（10）可换群——群满足交换律

（11）变换群——集合A上所有的变换构成的集合E（A）,对于复合变换。

所构成的代数系统（E（A）,）是一个群，称变换群。

（12）循环一群有生成元。

（13）有限群：

群（S,）中S为有限集。

（14）子群：

群（G,*）上G的子集所构成的群。

（15）正规子群：

*）是群（G,*）的子群，如对aeG都有：

aH=Ha则称（H,*）是（G,*）的正规子群。

（16）陪集：

H是G的子群，Ha={halheH}.aH={alilheH}分别称H在G中的一个右陪集或左陪集。

（17）商群：

H是G的正规子群，对Ha,HbeG/H,二元运算（Ha）*（Hb）=Hab构成群，则称H是G的商群。

（18）单元半群性质：

•单元半群的子系统若包含单位元也是单元半群。

•可列个元素的单元半群的运算组合表每行（列）均不相同。

•循环单元半群是可换单元半群。

•可换单元半群的所有等幕元素是一个子单元半群。

§6.2—些群的理论与半群性质：

•半群的子代数也是半群。

•循环半群是可换半群。

（19）关于群的基本理论

•群方程可解性：

ax=b（或xa=b）对x存在唯一解：

•群的消去律：

ab=ac（或ba=ca）必有b=c：

•任一群必与变换群同构；

•与一个群同构或满同态的代数系统必为群；

•一个代数系统有限群满足结合律及消去律则必为群：

•有限群必与置换群同构；

•循环群要么与（I.+）同构，要么与（Zm,+m）同构：

•一个群子集H构成群（H.o）的充分必要条件：

则abeH.aeH则a-leH：

•一个群子集H构成子群（H.o）的充分必要条件：

a.beH则ab-leH:

•一个有限群的阶一泄被它的子群的阶所等分（拉格朗日泄理）；

•f是群（G）与（G\®）的满同态，K是f的核，则必有：

（G/kd）与（G,同构；

第七章其它代数系统

§7.1环、理想、整环和域

（20）环：

（R,+,）,对+的可换群，对的半群，对+的分配律：

（21）理想：

（D,+,）,环（R,+,）的子环，满足：

aeR,beD,必有：

abeD,baeD；

（22）整环：

环（R,+,）中，运算有单位元，无零因子：

（23）域：

环（P,+,）中，运算交换律，有单位元，逆元：

（24）环的基本理论

环的基本运算性质：

•a0=0a=0：

•a（—b）=（—a）b=—（ab）

•（—a）（—b）=ab

•环中无零因子0环满足消去律；

•环中子系统S是子环的充要条件是aes则必有a-leS。

（25）域的基本理论

1）域是整环：

2）有限整环必是域。

§7.2格与布尔代数

（26）格：

（P,+,）中，两个运算的结合律、吸收律、交换律：

（27）布尔代数：

格（B,+,）中，两个运算的分配律、单位元、逆元。

（28）格的基本理论

1）一个偏序格必是一个代数格，反之亦然；

2）格的运算性质。

•a^aVb.bWaVb（aVb>a,aVb>b）

•aWc且bWcnaVbWc（aWc且bWc=>c2a\/b）

•aAb^a,aAb^b（a>aAb,b^aAb）

•cWa且cWb=>c^aAb（cWa且cWbnc2a/\b2c）

（29）布尔代数的基本理论

—布尔代数（B,+,）满足：

（对+与）

•交换律

•结合律

•等幕律

•吸收律

•分配律

•零一律

•同一律

•互补律

•双补律

•徳•摩根律

第四篇图论

图论用'结点'表示事物，而用'边'表示事物间联系，并用'结点'与'边'所构成的图用以研究客观世界。

为便于计算，建立了图的矩阵表示，这样可以将图论研究与计算相结合，从而使图论研究具有很大的实用性。

由于图的形式很多，在实用中我们一般对若干种常用的图作研究，它们是树、平而图与两步图。

在图论学习中主要要掌握如下几个方而：

1图论中的基本概念。

2图论中的基础理论。

3图的矩阵计算。

4几种常用的图。

在本篇中共有两部分组成，它们是图论原理与常用图，其中图论原理部分介绍图的基本槪念、理论与汁算而常用图部分则介绍树、平而图与两步图等三种常用图，这两部分的有机结合构成了图论的完整的整体。

第八章图论原理

§8.1图的基本概念

§8.1.1图

§&1.2图的基本概念

（1）图的槪念

图由结点集V={vl,v2,…，vn}与边集E={11,12,…，Im}所组成，可记为：

G=

（2）有向图与无向图

1边为有向的图称为有向图

2边为无向的图称为无向图

（3）几种特殊的图

1零图：

无边的图。

2平凡图：

仅有一个结点所组成的图。

3完全图：

各结点间均有边相联的图。

4补图：

G=,G*=

5简单图与多重图：

包括多重边的图称为多重图，否则称为简单图。

6有权图：

边带权的图。

§8.1.3图的同构

7同构图：

G=,E\,V与V，以及相应边的结点对中

有一一对应关系。

§8.1.4图中结点的次数

（4）图中结点的次数

•引入次数deg（v）、引出次数deg（v）、次数deg（v）0

•定理：

deg（vi）=2m

§8.2通路、回路与癡性

（5）通路与回路

1通路：

图中vi至vj的通路是在边的序列:

（vi,vil）,（vi1,vi2）,...（vik—1,vik）,其中vik=vj

2基本通路与简单通路：

图各边全不同的通路叫简单通路，各点全不同的通路叫基本通路。

3环与回路：

边的始点与终点相同称环，通路的起始点与终上点相同称回路。

4简单回路与基本回路：

简单（基本）通路的起始点与终止点相同称简单（基本）回路。

5有向图（n,m）的基本通路长度Wn-1,基本回路长度Wn。

（6）图的连通性

1图的可达性：

图的结点vi到vj间存在通路则称从vi到vj是可达的。

2连通图：

图的任何两结点间均可达。

3三种连通图：

•强连通：

有向图中任何两结点间相互可达则称强连通。

•弱连通：

有向图忽略其边的方向所构成的无向图为连通则称弱连通。

•单向连通：

有向图两结点间至少有一向是可达的则称单向连通。

§8.3欧拉图

（7）欧拉图

•欧拉回路与欧拉通路：

通过G中每边一次的回（通）路称欧拉回（通）路,具此回路的图称欧拉图。

3欧拉图与欧拉通路：

欧拉图O每个结点次数为偶数。

由Vi到vj欧拉通路ovi,vj结点次数为奇数，英它结点次数为偶数。

§&4汉密尔顿图

（8）汉密尔顿图

•汉密尔顿回路与汉密尔顿通路：

通过G中每个结点一次的回（通）路称汉密尔回（通）路，具此回路的图称汉密尔顿图。

•汉密尔顿图与汉密尔顿通路中的泄理

汉密尔顿图的必要条件G=中VluV且P（G-V1）WIV1I,其中P（G-V1）为从G中删除VI（包括VI中各结点及其关联边）后所得到的连通分支数。

汉密尔顿图的充分条件：

G=无向简单图，IVI23,G中每结点对次数之和2IVI。

汉密尔顿通路：

有向图D=,IVI22所有有向边均用无向边替代后得无向图含生成子图Kn。

§8.5图的矩阵表示法

（9）图的邻接矩阵：

G=为（n,m）图，其邻接矩阵：

A=（aij）

nXn.

1（vi,vj）eE

••

aij=

0（vi,vj）eE

（10）通路计算：

B=A,B=（bij）nrXn\Bij表示从vi到vj长度为的通路数，Bij表示vi的回路数。

（11）可达性计算：

P=A（+）A

（2）（+）……（+）A（n）,P=（Pij）nXn,Pij表示从vi到vj是否可达（0不可达，1可达）。

（12）连通性计算：

可达性矩阵除对角线元素外均为1

第九章常用图

§9.1树

§9.1.1树的基本性质

<13）树的基本概念与属性

1树：

不含回路的连通图。

（n,m）树中必有m=n—l

2树的性质

T为树o两结点间只有一条通路。

§9.1.2有向树

（14）有向树

（15）外向树与内向树：

有向树中，仅有一个结点引入次数为0（根），其它结点引入次数为1，有些结点引岀次数为0（叶）称外向树。

有向树中，仅有一个结点引出次数为0（根）,其它结点引入次数为1,有些结点引入次数为0（叶）称内向树。

§9.1.3二元树

（16）二元树与多元树:

—个n个结点的外向树：

（vi）Wm（i=1,2,...»n）,称m元树。

如（vi）=m（i=1,2,...»n）（除叶外），称m元完全树，当m=2时称二元树或二元完全树。

§9.1.4生成树

（17）生成树：

连通图G=的生成树TG=

•生成树寻找算法：

在G中寻找基本回路，寻到后删除边，并继续寻找，直到无基本回路出现为I上。