图论与抽象代数复习汇总.docx

1、图论与抽象代数复习汇总2013-2014二学期图论与抽象代数复习第一部分1 第三篇总复习题1, 2, 3题2第四篇总复习题1, 4, 6题3习题9 9题4 水运算如下表所示，哪个能使（“少力成为单元半群？（）5.Q是有理集，（Q, *）（其中为普通乘法）不能构成（）oA.群 B.单元半群 C.半群 D.交换半群6.设Z是整数集，+, 分别是普通加法和乘法，则（乙+, ）是（）。A.域 B.整环和域 C.整环 D.含零因子环7.在代数系统中，整环和域的关系为（）。A.整环一定是域 B.域不一定是整环C.域一定是整环 D.域一定不是整环8.设 D=为有向图，V=a, h, c,d,e,f, E=（

2、 a,b）,（ b,c）,（ a, d）, （ d, e） ,（f, e）是（）。A.强连通图 B单向连通图 C弱连通图 D不连通图9.在有个结点的连通图中，其边数（）A.最多有“1条 B.至少有7J1条C.最多有条 D.至少有条10设G =（HJH）为无向简单图，可构成邻接矩阵的数目为（）011.欧拉回路是（）oB.简单回路12.哈密尔顿回路是（）。B.简单回路13.下而哪一种图不一定是树？（）A.无回路的连通图 B.有n个结点n -1条边的连通图C.每对结点间都有通路的图D.连通但删去一条边则不连通的图 下述偏序集（见下图）中能构成格的是（）下述偏序集中哪一个不构成格？（）第二部分1第三篇

3、总复习题11, 12, 13题2.第四篇总复习题16, 21题3定理614,定理7.10推论24.Z是整数集，群(Z,+)是一个循环群，其生成元是 和 .5.G是n个节点，m条边的无向图，v是次数为k的结点，则G-v(G中去掉节点的图沖有 个结点， 条边。6.设(G, T是一个半群，若存在单位元且每个元素都有右逆元，则(G, 是 .7. 由一个孤立结点构成的图称为 ；简单图不包含 第三部分1设代数系统其中*乘法表左义如下：问水是否是可交换的；A是 否有单位元：如果有单位元，指出哪些元素是可逆的，并给出它们的逆元。*(Ib c (1aabcdbbcdaccdabddabc2.第三篇总复习题20题

4、3. 找出 (s ) 的所有子群。4有向图D如下图所示：求：（1）D的邻接矩阵A（2） D中M到v4长度为4的通路数为多少？（3） D中长度为4的通路总数为多少？英中有几条回路？（4） ）中M到自身长度为3的回路数为多少？（5） ）中长度小于等于4的通路有多少条？其中有多少条是回路？（6） D是哪类连通图？5.下图给出的赋权图表示七个城市a, b, c, cl, e, f, g及架起城市间直接通信线路的预测 造价，试给出一个设汁方案使得各城市间能够通信且总造价最小，要求讣算岀最小总造价。第四部分1.证明：定理6.182.证明：定理8.13.证明：定理9.14.第三篇总复习题27题5.证明：循环

5、群一定是可换群。第三篇代数系统代数系统是建立在集合论基础上以代数运算为研究对象的学科。本篇共三章，第五章代数 系统基础介绍代数系统的一般原理与性质，第六章群论，主要介绍具有代表性的代数系统 一群，最后第七章其它代数系统，介绍除群外常见的一些代数系统，如环、域、格与布尔代 数等，这三章相互配合构成了代数系统的完整的整体。第五章代数系统基础5.1代数系统一般概念1.代数系统中的基本概念（1） 代数系统：集合上具有封闭性的运算组成代数系统（S,）。（2） 子代数：代数系统（S, ）, （S *）满足：1SUS2如a. beS a*b = a b则称（S *）为（S,）的子代数。5.2代数系统常见的一

6、些性质（3）代数系统常见性质1）结合律：(ab) c=a(b c)2）交换律：ab=b a3）分配律：a(b+c) = (ab) + (a c)4）单位元：al=a5） 逆元：a a1 = 16） 零元：a 0=07） 生成元5.3同构与同态（4） 同构：（X,）与（丫，專）存在一一对应函数g：XTY使得如xl ,x2eX, 则有：g （xi x2） =g （xl） *g （x2）此时则称（X,）与（Y, *）同构。（5） 同态：（X ,）与（Y, *）存在函数g : XtY使得如xl , x2eX,则 有：g （xl x2） =g （xl） *g （x2）此时则称（X,）与（Y, *）同态。

7、5.4常用代数埃统（6） 代数系统的构成*0正规子群.商群（两个二元运算：也） o循环半群可换群，半群，对*分配群环交换律 可换环。单位元，无零因子特殊子环- O整环O理想特殊环 - O商环 （两个二元运算：叫柯个运算的结合律、交换律、吸收律 格 两个运算的分配律 分配格 q P o布尔代数两个运算的单位元、逆元刚迪辿堆o有界格 两个运算有逆元。有补格第六章群论 6.1 一些群的定义（7） 半群代数系统满足交换律（8） 单元半群半群存在单位元（9） 群一半群存在单位元与逆元（10） 可换群群满足交换律（11）变换群集合A上所有的变换构成的集合E （A）,对于复合变换。 所构成的代数系统（E （

8、A）,）是一个群，称变换群。（12） 循环 一群有生成元。（13） 有限群：群（S,）中S为有限集。（14） 子群：群（G, *）上G的子集所构成的群。（15） 正规子群：*）是群（G, *）的子群，如对aeG都有：aH = Ha 则称（H, *）是（G, *）的正规子群。（16） 陪集：H 是 G 的子群，Ha=halheH.aH = alilheH 分别称 H 在 G 中的一个右陪集或左陪集。（17） 商群：H是G的正规子群，对Ha, HbeG/H,二元运算（Ha）*（Hb）= Hab构成群，则称H是G的商群。（18）单元半群性质：单元半群的子系统若包含单位元也是单元半群。可列个元素的单元

9、半群的运算组合表每行（列）均不相同。循环单元半群是可换单元半群。可换单元半群的所有等幕元素是一个子单元半群。6.2 些群的理论与半群性质：半群的子代数也是半群。循环半群是可换半群。（19）关于群的基本理论群方程可解性：a x = b （或xa = b）对x存在唯一解：群的消去律：a b = a c （或b a = c a）必有b = c：任一群必与变换群同构；与一个群同构或满同态的代数系统必为群；一个代数系统有限群满足结合律及消去律则必为群：有限群必与置换群同构；循环群要么与（I.+）同构，要么与（Zm, +m）同构： 一个群子集H构成群（H.o）的充分必要条件：则a beH .aeH则a-l

10、 eH：一个群子集H构成子群（H.o）的充分必要条件：a.beH则ab-l eH :一个有限群的阶一泄被它的子群的阶所等分（拉格朗日泄理）；f是群（G ）与（G ）的满同态，K是f的核，则必有：（G/kd）与（G, 同构；第七章其它代数系统7.1环、理想、整环和域（20）环：（R, +,）,对+的可换群，对的半群， 对+的分配律：（21） 理想：（D, +,）,环（R, +,）的子环，满足：aeR,beD,必有： a beD, b aeD；（22） 整环：环（R, +,）中，运算 有单位元，无零因子：（23） 域：环（P, +,）中，运算 交换律，有单位元，逆元：（24）环的基本理论环的基本运

11、算性质： a 0 = 0 a = 0：a （b） = （a） b = （a b）（a） （b）=a b环中无零因子0环满足消去律；环中子系统S是子环的充要条件是aes则必有a-leS。（25）域的基本理论1） 域是整环：2） 有限整环必是域。 7.2格与布尔代数（26） 格：（P, +,）中，两个运算的结合律、吸收律、交换律：（27） 布尔代数：格（B, +,）中，两个运算的分配律、单位元、逆元。（28） 格的基本理论1）一个偏序格必是一个代数格，反之亦然；2）格的运算性质。aaVb. bWaVb （aVba, aVbb）aWc 且 bWcnaVbWc （aWc 且 bWc=c2a/b）aAb

12、a, aAbb （aaAb, baAb）cWa 且 cWb =caAb （cWa 且 cWbnc2a/b2c）（29）布尔代数的基本理论布尔代数（B, +,）满足：（对+与 ）交换律结合律等幕律吸收律分配律零一律同一律互补律双补律徳摩根律第四篇图论图论用结点表示事物，而用边表示事物间联系，并用结点与边所构成的图用以研究 客观世界。为便于计算，建立了图的矩阵表示，这样可以将图论研究与计算相结合，从而使 图论研究具有很大的实用性。由于图的形式很多，在实用中我们一般对若干种常用的图作研 究，它们是树、平而图与两步图。在图论学习中主要要掌握如下几个方而：1图论中的基本概念。2图论中的基础理论。3图的矩

13、阵计算。4几种常用的图。在本篇中共有两部分组成，它们是图论原理与常用图，其中图论原理部分 介绍图的基本槪念、理论与汁算而常用图部分则介绍树、平而图与两步图等三种常用图，这 两部分的有机结合构成了图论的完整的整体。第八章图论原理8.1图的基本概念8.1.1 图&1.2图的基本概念（1） 图的槪念图由结点集V =vl, v2,，vn与边集E=11, 12,，Im所组成，可 记为：G=（2） 有向图与无向图1边为有向的图称为有向图2边为无向的图称为无向图（3） 几种特殊的图1零图：无边的图。2平凡图：仅有一个结点所组成的图。3完全图：各结点间均有边相联的图。4补图：G=, G*=V, E、如有=V,

14、 EUE、为完全图且EAE* =0.则称G为G的补图。5简单图与多重图：包括多重边的图称为多重图，否则称为简单图。6有权图：边带权的图。8.1.3图的同构7同构图：G=, E, V与V，以及相应边的结点对中有一一对应关系。 8.1.4图中结点的次数（4）图中结点的次数引入次数deg （v）、引出次数deg （v）、次数deg （v）0定理： deg （vi） =2m 8.2通路、回路与癡性（5） 通路与回路1通路：图中vi至vj的通路是在边的序列:（vi, vil）, （vi 1, vi 2）, . （vi k 1, vi k）,其中 vi k=vj2基本通路与简单通路：图各边全不同的通路叫简

15、单通路，各点全不同的通路 叫基本通路。3环与回路：边的始点与终点相同称环，通路的起始点与终上点相同称回路。4简单回路与基本回路：简单（基本）通路的起始点与终止点相同称简单（基 本）回路。5有向图（n,m）的基本通路长度W n-1,基本回路长度Wn。（6） 图的连通性1图的可达性：图的结点vi到vj间存在通路则称从vi到vj是可达的。2连通图：图的任何两结点间均可达。3三种连通图：强连通：有向图中任何两结点间相互可达则称强连通。弱连通：有向图忽略其边的方向所构成的无向图为连通则称弱连通。单向连通：有向图两结点间至少有一向是可达的则称单向连通。8.3欧拉图（7） 欧拉图欧拉回路与欧拉通路：通过G中

16、每边一次的回（通）路称欧拉回（通）路, 具此回路的图称欧拉图。3欧拉图与欧拉通路：欧拉图O每个结点次数为偶数。由Vi到vj欧拉通路ovi, vj结点次数为奇数，英它结点次数为偶数。 &4汉密尔顿图（8）汉密尔顿图汉密尔顿回路与汉密尔顿通路：通过G中每个结点一次的回（通）路 称汉密尔回（通）路，具此回路的图称汉密尔顿图。汉密尔顿图与汉密尔顿通路中的泄理汉密尔顿图的必要条件G=中VluV且P （G-V1） WIV1I,其中P （G-V1）为从G中删除VI （包括VI中各结点及其关联边）后所得到的连通分支数。汉密尔顿图的充分条件：G=无向简单图，IVI23, G中每结点对次 数之和2IVI。汉密尔顿

17、通路：有向图D=, IVI22所有有向边均用无向边替代后 得无向图含生成子图Kn。8.5图的矩阵表示法（9） 图的邻接矩阵：G=为（n, m）图，其邻接矩阵： A= （aij）nX n.1 （vi, vj） e E aij=0 （vi, vj） e E（10） 通路计算：B=A , B= （bij） nrXn Bij表示从vi到vj长度为 的通路数，Bij表 示vi的回路数。（11） 可达性计算：P=A （ + ） A （2） （ + ）（+ ） A （n）, P= （Pij） n X n, Pij 表示 从vi到vj是否可达（0不可达，1可达）。（12） 连通性计算：可达性矩阵除对角线元素外

18、均为1第九章常用图9.1 树 9.1.1树的基本性质13）树的基本概念与属性1树：不含回路的连通图。（n , m）树中必有m=n l2树的性质T为树o两结点间只有一条通路。 9.1.2有向树（14）有向树（15）外向树与内向树：有向树中，仅有一个结点引入次数为0 （根），其它结点引入次 数为1，有些结点引岀次数为0（叶）称外向树。有向树中，仅有一个结点引出次数为0（根）, 其它结点引入次数为1,有些结点引入次数为0 （叶）称内向树。 9.1.3 二元树（16）二元树与多元树:个n个结点的外向树：（vi） Wm （i= 1,2 ,. n）,称 m元树。如(vi) =m (i = 1 , 2 ,. n)(除叶外)，称m元完全树，当m=2时称二元树或 二元完全树。 9.1.4生成树(17)生成树：连通图G=的生成树TG=W,E、G的子图，且是树并满 足 W=V, EcTo生成树寻找算法：在G中寻找基本回路，寻到后删除边，并继续寻找，直到无 基本回路出现为I上。