地球物理学基础作业05及参考答案.docx
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地球物理学基础作业05及参考答案
2017年地球物理学基础第5次作业
1.
Whenabellisstruckwithahammer,itvibratesfreelyatanumberofnaturalfrequencies.Thecombinationofnaturaloscillationsthatareexcitedgiveseachbellitsparticularsonority.Inananalogousway,thesuddenreleaseofenergyinaverylargeearthquakecansettheentireEarthintovibration,withnaturalfrequenciesofoscillationthataredeterminedbytheelasticpropertiesandstructureoftheEarth’sinterior.Thefreeoscillationsinvolvethree-dimensionaldeformationoftheEarth’ssphericalshapeandcanbequitecomplex.BeforediscussingtheEarth’sfreeoscillationsitisworthreviewingsomeconceptsofvibratingsystemsthatcanbelearnedfromtheone-dimensionalexcitationofavibratingstringthatisfixedatbothends.
Anycomplicatedvibrationofthestringcanberepresentedbythesuperpositionofanumberofsimplervibrations,calledthenormalmodesofvibration.Thesearisewhentravellingwavesreflectedfromtheboundariesattheendsofthestringinterferewitheachothertogiveastandingwave.Eachnormalmodecorrespondstoastandingwavewithfrequencyandwavelengthdeterminedbytheconditionthatthelengthofthestringmustalwaysequalanintegralnumberofhalf-wavelengths(Fig.3.16).Aswellasthefixedends,thereareotherpointsonthestringthathavezerodisplacement;thesearecalledthenodesofthevibration.Thefirstnormal(orfundamental)modeofvibrationhasnonodes.Thesecondnormalmode(sometimescalledthefirstovertone)hasonenode;itswavelengthandperiodarehalfthoseofthefundamentalmode.Thethirdnormalmode(secondovertone)hasthreetimesthefrequencyofthefirstmode,andsoon.Modeswithoneormorenodearecalledhigher-ordermodes.
当用一把锤子敲击一个钟时,钟会以一系列的固有频率自由的颤动。
被激发的固有震动的联合给每个一钟独特的音响。
与此相似,在一个大地震中能量的突然释放可以使整个地球颤动,这种颤动的固有频率决定于弹性性质和地球内部的结构。
自由振荡涉及地球球面形状的三维变形,可能相当复杂。
在讨论地球的自由振荡之前,有必要回顾一下振动系统的一些概念,这些概念可以从两端固定的一维振动的激发中学习。
弦的任何复杂的弦振动都可以用一些简单振动的叠加来表示,称为简正振动。
当从两端的边界反射出的行波相互干涉以产生驻波时,就会产生这种现象。
每一个简正模态对应于一个驻波,它的频率和波长取决于长度必须等于半波长的整数的弦(图3.16)。
在弦上还存在一些除固定端外的具有零位移的其他点,这
些被称为振动的节点。
第一个简正(或基本)模态振动没有节点。
第二个简正模态(有时称为第一谐波)有一个节点,它的波长和周期是基态的一半。
第三个简正模态(第二谐波)的频率是第一模态的三倍,一个或多个节点的模态称为高阶模态。
2.Explanationofnouns(20points)
surfacewave(面波):
沿界面及界面一定深度范围内传播的一类地震波,振幅随深度增加而衰减,能量集中在介质分界面并沿分界面传播,包括瑞利波,勒夫
波和斯通利波。
dispersion(频散):
面波速度随着周期(或频率)而变化而变化,成为面波频
散。
在记录中面波是很多列波的叠加,随着到时的先后,各相位的周期逐渐改变。
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2017年地球物理学基础第5次作业
除均匀半空间的瑞利面波无频散外,所有的地震面波都具有频散特性。
groupvelocity(群速度):
由于频散,各种频率的波以各自速度传播,相互叠加,形成合震动,其振幅不断变化,用其极大值速度表征其传播速度,该速度为群速度,即波群整体移动速度。
波传播时能量与振幅平方成正比,绝大部分能量集中
于振幅极大处,因此,群速度也是能量和信号的传播速度。
phasevelocity(相速度):
单色简谐波传播时,其同相面传播的速度。
3.Assumingahomogeneouselasticplatecoveredonthehomogeneouselasticsemi-infinitespace,thetopinterfaceisz=0andthebottominterfaceisz=h.Solvethedispersionequationoflovewavepropagationanddiscussitsdispersioncharacteristics.(25points)
取x、y坐标轴在自由表面上(z=0),z轴垂直向下,令层中横波速度为β1,密度为ρ1,半空间中横波的速度为β2,密度为ρ2,且有β1<β2,Love波振幅在层中为v1,在半空间为v2,x轴为波的传播方向,振幅垂直与x轴且平行于分界面,即振动沿y轴方向,v1,v2满足方程:
∂2v1
+
∂2v1
=
1∂2v1
⎫
2
2
2
⎪
∂x
∂z
2
∂t
β1
⎪
∂2v2
∂2v2
⎬
(1)
+
=
1∂2v2⎪
⎪
∂x
2
∂z
2
2
∂t
2
β2
⎭
解得,
v1=(Ae
b1z
+Be
-b1z
)e
i(kx-wt)
⎫
0-b2z
i(kx-wt)
⎬
(2)
v2=Ce
e
z
>h
⎪
⎭
期中,
=
ω
⎫
b=
k2+k
2,k
β1
1
β1
β1
⎪
⎪
ω
⎬(3)
⎪
b2=
k2+kβ22
kβ2
=
β2
⎪
⎭
k=
ω
(4)
c
因要满足z→∞的收敛条件,在v2中去掉了e-b2z项,k为波数,c为面波速度。
式
(2)因满足自由表面边界条件和层与半空间界面连续条件
当z=0时,εxy
=μ1
∂v1
=0(5)
v1=v2,
∂z
⎫
当z=h时,
∂v
∂v
⎪
μ
⎬(6)
1=μ
2
2
⎪
1
∂z
∂z
式
(2)代入式(5)、(6)化解,得
⎭
A-B=0
⎫
Aeb1h+Be-b1h
=Ce-b2h
⎪
⎬(7)
bh
-bh
-bh⎪
μ1b1(Ae1
-Be
1
)=-μ2b2Ce2
⎭
消去B得,
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2017年
地球物理学基础
第5次作业
A(e
b1h
+e
-b1h
)
-Ce
-b2h
=0
⎫
⎪
Aμ1b1(e
b1h
-b1h
)+Cμ2b2e
-b2h
⎬(8)
-e
⎪
=0⎭
式(8)A、C要不全为零,其系数行列式为零,即
eb1h+e-b1h
-e-b2h
=0(9)
μ1b1(eb1h
-e-b1h)
μ2b2e-b2h
解得,
thbh=
eb1h-e-b1h
=-
μ
b
(10)
eb1h+e-b1h
2
2
1
μb
1
1
要使式(10)成立,则有
kβ1由(11)、(3)得,
b1=i
kβ21-k2=ib1(12)
由此,式(10)化为
tan
h=-
μ2b2
(13)
b1
μb
1
1
或者
μ
2
1-
c2
tankh
c2
-1=
β2
2
(14)
β12
c
2
μ
-1
β
1
2
1
上式(14)就是Love波得频散方程,它确定ω、k、c三者中任何二个之间得隐含关系,c
与ω的隐含关系即c是ω的函数,也就是波速c与频率ω有关,对不同的频率的波速不同。
解频散方程(14)得,
⎡
⎛
⎫
⎤
c2
⎢
ç
μ
2
1-
⎪
⎥
β22
1
⎢
-1
ç
⎪
⎥
kh=
⎢tan
ç
⎪
+nπ⎥,n=0,,,12(15)
c2
c2
-1
⎢
ç
μ
-1
⎪
⎥
ç
⎪
2
⎢
1
2
⎥
β1
⎣
⎝
β1
⎭
⎦
式(15)给出了c、kh的对应关系,由(11)知,方程(14)要有实根,应有
β1
1β1β1
c
对任一满足条件(16)的β1的值,(15)知均有无穷多个kh与之对应,每一个kh对应一个Love波,当n=0时,称为基阶振型Love波,当n=n时为n阶振型Love波。
4.在均匀弹性半空间中,推导出Rayleigh波,并讨论Rayleigh波的基本性质(速度特征、频散特征、质点位移特征等).(25points)
将x,y坐标轴取在自由表面上,z轴垂直向下,均匀弹性介质充满z>0的半空间。
设波沿着x轴方向传播,在y轴方向波的相位完全相同,即为平面二维情况。
令位移函数为
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2017年地球物理学基础第5次作业
φ=Φ(z)ei(kx-wt)
(1)ϕ=ψ(z)ei(kx-wt)
(2)
φ,ϕ应满足波动方程
2
1
∂2φ
∇φ=
∂t2(3)
α2
2
1
∂2ϕ
(4)
∇ϕ=
∂t2
β2
而x,z方向的位移分量为
u=∂φ-∂ϕ⎫
∂x
∂z
⎪
⎬(5)
w=
∂φ
+
∂ϕ
⎪
∂z
∂x
⎪
⎭
将
(1)、
(2)分别代入(3)、(4)后得,
d2Φ
2
2
⎫
dz
2
-(k
-kα)Φ=0⎪
⎪
d2ψ
⎬(6)
2
-k
2
⎪
dz
2
-(k
β)ψ=0⎪
⎭
其中,
kα
=
ω
kβ=
ω
(7)
α
β
方程(6)得解为
φ=Ae
-az
+Ce
az
⎫
⎪
-bz
bz
⎬(8)
ϕ=Be
⎪
+De
⎭
其中,
a=
k2
-kα2
b=
k2-kβ2(9)
上面系数为C、D得项因不满足z→∞的收敛条件而被弃去,于是有
φ=Ae
-az
e
i(kx-wt)⎫
⎪
-bz
⎬(10)
ϕ=Be
e
i(kx-wt)⎪
⎭
自由边界条件为
即
σzz
z=0=0,σzx
z=0=0(11)
⎫
⎡
2
2
2
⎛
∂2ϕ
∂2φ⎫⎤
ç
⎪
⎢α
∇φ+2β
-
=0⎪
ç
∂x
2⎪⎥
⎣
⎝∂x∂z
⎭⎦
z=0
⎪
(12)
⎬
⎡
∂2φ
∂2ϕ
∂2ϕ
⎤
⎪
⎢2
+
2
-
2
⎥
=0
⎪
∂x∂z
∂x
∂z
⎣
⎦
z=0
⎭
将式(10)代入(12)得,