地球物理学基础作业05及参考答案.docx

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地球物理学基础作业05及参考答案

2017年地球物理学基础第5次作业

1.

Whenabellisstruckwithahammer,itvibratesfreelyatanumberofnaturalfrequencies.Thecombinationofnaturaloscillationsthatareexcitedgiveseachbellitsparticularsonority.Inananalogousway,thesuddenreleaseofenergyinaverylargeearthquakecansettheentireEarthintovibration,withnaturalfrequenciesofoscillationthataredeterminedbytheelasticpropertiesandstructureoftheEarth’sinterior.Thefreeoscillationsinvolvethree-dimensionaldeformationoftheEarth’ssphericalshapeandcanbequitecomplex.BeforediscussingtheEarth’sfreeoscillationsitisworthreviewingsomeconceptsofvibratingsystemsthatcanbelearnedfromtheone-dimensionalexcitationofavibratingstringthatisfixedatbothends.

Anycomplicatedvibrationofthestringcanberepresentedbythesuperpositionofanumberofsimplervibrations,calledthenormalmodesofvibration.Thesearisewhentravellingwavesreflectedfromtheboundariesattheendsofthestringinterferewitheachothertogiveastandingwave.Eachnormalmodecorrespondstoastandingwavewithfrequencyandwavelengthdeterminedbytheconditionthatthelengthofthestringmustalwaysequalanintegralnumberofhalf-wavelengths（Fig.3.16）.Aswellasthefixedends,thereareotherpointsonthestringthathavezerodisplacement;thesearecalledthenodesofthevibration.Thefirstnormal（orfundamental）modeofvibrationhasnonodes.Thesecondnormalmode（sometimescalledthefirstovertone）hasonenode;itswavelengthandperiodarehalfthoseofthefundamentalmode.Thethirdnormalmode（secondovertone）hasthreetimesthefrequencyofthefirstmode,andsoon.Modeswithoneormorenodearecalledhigher-ordermodes.

当用一把锤子敲击一个钟时，钟会以一系列的固有频率自由的颤动。

被激发的固有震动的联合给每个一钟独特的音响。

与此相似，在一个大地震中能量的突然释放可以使整个地球颤动，这种颤动的固有频率决定于弹性性质和地球内部的结构。

自由振荡涉及地球球面形状的三维变形，可能相当复杂。

在讨论地球的自由振荡之前，有必要回顾一下振动系统的一些概念，这些概念可以从两端固定的一维振动的激发中学习。

弦的任何复杂的弦振动都可以用一些简单振动的叠加来表示，称为简正振动。

当从两端的边界反射出的行波相互干涉以产生驻波时，就会产生这种现象。

每一个简正模态对应于一个驻波，它的频率和波长取决于长度必须等于半波长的整数的弦（图3.16）。

在弦上还存在一些除固定端外的具有零位移的其他点，这

些被称为振动的节点。

第一个简正（或基本）模态振动没有节点。

第二个简正模态（有时称为第一谐波）有一个节点，它的波长和周期是基态的一半。

第三个简正模态（第二谐波）的频率是第一模态的三倍，一个或多个节点的模态称为高阶模态。

2.Explanationofnouns（20points）

surfacewave（面波）：

沿界面及界面一定深度范围内传播的一类地震波，振幅随深度增加而衰减，能量集中在介质分界面并沿分界面传播，包括瑞利波，勒夫

波和斯通利波。

dispersion（频散）：

面波速度随着周期（或频率）而变化而变化，成为面波频

散。

在记录中面波是很多列波的叠加，随着到时的先后，各相位的周期逐渐改变。

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2017年地球物理学基础第5次作业

除均匀半空间的瑞利面波无频散外，所有的地震面波都具有频散特性。

groupvelocity（群速度）：

由于频散，各种频率的波以各自速度传播，相互叠加，形成合震动，其振幅不断变化，用其极大值速度表征其传播速度，该速度为群速度，即波群整体移动速度。

波传播时能量与振幅平方成正比，绝大部分能量集中

于振幅极大处，因此，群速度也是能量和信号的传播速度。

phasevelocity（相速度）：

单色简谐波传播时，其同相面传播的速度。

3.Assumingahomogeneouselasticplatecoveredonthehomogeneouselasticsemi-infinitespace,thetopinterfaceisz=0andthebottominterfaceisz=h.Solvethedispersionequationoflovewavepropagationanddiscussitsdispersioncharacteristics.（25points）

取x、y坐标轴在自由表面上（z=0），z轴垂直向下，令层中横波速度为β1，密度为ρ1，半空间中横波的速度为β2，密度为ρ2，且有β1<β2，Love波振幅在层中为v1，在半空间为v2，x轴为波的传播方向，振幅垂直与x轴且平行于分界面，即振动沿y轴方向，v1，v2满足方程：

∂2v1

+

∂2v1

=

1∂2v1

⎫

2

2

2

⎪

∂x

∂z

2

∂t

β1

⎪

∂2v2

∂2v2

⎬

（1）

+

=

1∂2v2⎪

⎪

∂x

2

∂z

2

2

∂t

2

β2

⎭

解得，

v1=（Ae

b1z

+Be

-b1z

）e

i（kx-wt）

⎫

0

-b2z

i（kx-wt）

⎬

（2）

v2=Ce

e

z

>h

⎪

⎭

期中，

=

ω

⎫

b=

k2+k

2,k

β1

1

β1

β1

⎪

⎪

ω

⎬（3）

⎪

b2=

k2+kβ22

kβ2

=

β2

⎪

⎭

k=

ω

（4）

c

因要满足z→∞的收敛条件，在v2中去掉了e-b2z项，k为波数，c为面波速度。

式

（2）因满足自由表面边界条件和层与半空间界面连续条件

当z=0时，εxy

=μ1

∂v1

=0（5）

v1=v2,

∂z

⎫

当z=h时，

∂v

∂v

⎪

μ

⎬（6）

1=μ

2

2

⎪

1

∂z

∂z

式

（2）代入式（5）、（6）化解，得

⎭

A-B=0

⎫

Aeb1h+Be-b1h

=Ce-b2h

⎪

⎬（7）

bh

-bh

-bh⎪

μ1b1（Ae1

-Be

1

）=-μ2b2Ce2

⎭

消去B得，

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2017年

地球物理学基础

第5次作业

A（e

b1h

+e

-b1h

）

-Ce

-b2h

=0

⎫

⎪

Aμ1b1（e

b1h

-b1h

）+Cμ2b2e

-b2h

⎬（8）

-e

⎪

=0⎭

式（8）A、C要不全为零，其系数行列式为零，即

eb1h+e-b1h

-e-b2h

=0（9）

μ1b1（eb1h

-e-b1h）

μ2b2e-b2h

解得，

thbh=

eb1h-e-b1h

=-

μ

b

（10）

eb1h+e-b1h

2

2

1

μb

1

1

要使式（10）成立，则有

kβ1

由（11）、（3）得，

b1=i

kβ21-k2=ib1（12）

由此，式（10）化为

tan

h=-

μ2b2

（13）

b1

μb

1

1

或者

μ

2

1-

c2

tankh

c2

-1=

β2

2

（14）

β12

c

2

μ

-1

β

1

2

1

上式（14）就是Love波得频散方程，它确定ω、k、c三者中任何二个之间得隐含关系，c

与ω的隐含关系即c是ω的函数，也就是波速c与频率ω有关，对不同的频率的波速不同。

解频散方程（14）得，

⎡

⎛

⎫

⎤

c2

⎢

ç

μ

2

1-

⎪

⎥

β22

1

⎢

-1

ç

⎪

⎥

kh=

⎢tan

ç

⎪

+nπ⎥，n=0，，，12（15）

c2

c2

-1

⎢

ç

μ

-1

⎪

⎥

ç

⎪

2

⎢

1

2

⎥

β1

⎣

⎝

β1

⎭

⎦

式（15）给出了c、kh的对应关系，由（11）知，方程（14）要有实根，应有

β1

1

β1β1

c

对任一满足条件（16）的β1的值，（15）知均有无穷多个kh与之对应，每一个kh对应一个Love波，当n=0时，称为基阶振型Love波，当n=n时为n阶振型Love波。

4.在均匀弹性半空间中,推导出Rayleigh波,并讨论Rayleigh波的基本性质（速度特征、频散特征、质点位移特征等）.（25points）

将x，y坐标轴取在自由表面上，z轴垂直向下，均匀弹性介质充满z>0的半空间。

设波沿着x轴方向传播，在y轴方向波的相位完全相同，即为平面二维情况。

令位移函数为

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2017年地球物理学基础第5次作业

φ=Φ（z）ei（kx-wt）

（1）ϕ=ψ（z）ei（kx-wt）

（2）

φ，ϕ应满足波动方程

2

1

∂2φ

∇φ=

∂t2（3）

α2

2

1

∂2ϕ

（4）

∇ϕ=

∂t2

β2

而x，z方向的位移分量为

u=∂φ-∂ϕ⎫

∂x

∂z

⎪

⎬（5）

w=

∂φ

+

∂ϕ

⎪

∂z

∂x

⎪

⎭

将

（1）、

（2）分别代入（3）、（4）后得，

d2Φ

2

2

⎫

dz

2

-（k

-kα）Φ=0⎪

⎪

d2ψ

⎬（6）

2

-k

2

⎪

dz

2

-（k

β）ψ=0⎪

⎭

其中，

kα

=

ω

kβ=

ω

（7）

α

β

方程（6）得解为

φ=Ae

-az

+Ce

az

⎫

⎪

-bz

bz

⎬（8）

ϕ=Be

⎪

+De

⎭

其中，

a=

k2

-kα2

b=

k2-kβ2（9）

上面系数为C、D得项因不满足z→∞的收敛条件而被弃去，于是有

φ=Ae

-az

e

i（kx-wt）⎫

⎪

-bz

⎬（10）

ϕ=Be

e

i（kx-wt）⎪

⎭

自由边界条件为

即

σzz

z=0=0,σzx

z=0=0（11）

⎫

⎡

2

2

2

⎛

∂2ϕ

∂2φ⎫⎤

ç

⎪

⎢α

∇φ+2β

-

=0⎪

ç

∂x

2⎪⎥

⎣

⎝∂x∂z

⎭⎦

z=0

⎪

（12）

⎬

⎡

∂2φ

∂2ϕ

∂2ϕ

⎤

⎪

⎢2

+

2

-

2

⎥

=0

⎪

∂x∂z

∂x

∂z

⎣

⎦

z=0

⎭

将式（10）代入（12）得，