第二章 231直线与平面垂直的判定.docx

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第二章231直线与平面垂直的判定

§2.3　直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1　直线与平面垂直的判定

学习目标

　1.了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念.2.掌握直线与平面垂直的判定定理.3.会用直线与平面垂直的判定定理判定线面垂直.

知识点一　直线与平面垂直的定义

定义

如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直

记法

l⊥α

有关

概念

直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们惟一的公共点P叫做垂足

图示

画法

画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直

思考　空间两条直线垂直一定相交吗？

答案　不一定相交，空间两条直线垂直分为两种情况：

一种是相交垂直，一种是异面垂直.

知识点二　直线与平面垂直的判定定理

文字语言

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

符号语言

l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α

图形语言

知识点三　直线与平面所成的角

有关概念

对应图形

斜线

与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA

斜足

斜线和平面的交点，图中点A

射影

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO

直线与平面所成的角

定义：

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，图中∠PAO

规定：

一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°

取值范围

设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90°

1.若直线l⊥平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行.（　×　）

2.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.（　×　）

3.直线与平面所成角为α，则0°<α≤90°.（　×　）

4.如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于这个平面内的所有直线.（　√　）

题型一　直线与平面垂直的定义及判定定理的理解

例1　下列命题中，正确的序号是________.

①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；

②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；

③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；

④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.

考点　直线与平面垂直的判定

题点　判定直线与平面垂直

答案　③④

解析　当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确.

反思感悟　

（1）对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交.

（2）判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.

跟踪训练1　

（1）若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于（　　）

A.平面OABB.平面OAC

C.平面OBCD.平面ABC

（2）如果一条直线垂直于一个平面内的：

①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是________.（填序号）

考点　直线与平面垂直的判定

题点　判定直线与平面垂直

答案　

（1）C　

（2）①③④

解析　

（1）∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，

∴OA⊥平面OBC.

（2）根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件.

题型二　直线与平面垂直的判定

例2　如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.

（1）求证：

SD⊥平面ABC；

（2）若AB＝BC，求证：

BD⊥平面SAC.

考点　直线与平面垂直的判定

题点　直线与平面垂直的证明

证明　

（1）因为SA＝SC，D是AC的中点，

所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，

由已知SA＝SB，

所以△ADS≌△BDS，

所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，

所以SD⊥平面ABC.

（2）因为AB＝BC，D为AC的中点，

所以BD⊥AC.由

（1）知SD⊥BD.

又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC.

反思感悟　

（1）利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤

①在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直；

②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；

③根据判定定理得出结论.

（2）平行转化法（利用推论）：

①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.

跟踪训练2　如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.

（1）求证：

AN⊥平面PBM.

（2）若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：

NQ⊥PB.

证明　

（1）∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.

又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.

又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.

又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.

又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，

∴AN⊥平面PBM.

（2）由

（1）知AN⊥平面PBM，

PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.

又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，

∴PB⊥平面ANQ.

又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.

求直线与平面所成的角

典例　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

（1）求A1B与平面AA1D1D所成的角；

（2）求A1B与平面BB1D1D所成的角.

考点　直线与平面所成的角

题点　直线与平面所成的角

解　

（1）∵AB⊥平面AA1D1D，

∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，

在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，

∴∠AA1B＝45°，

∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.

（2）连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.

∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D，

∴A1O⊥平面BB1D1D，

∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.

设正方体的棱长为1，则A1B＝

，A1O＝

.

又∵∠A1OB＝90°，

∴sin∠A1BO＝

＝

，又0°≤∠A1BO≤90°，

∴∠A1BO＝30°，

∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.

[素养评析]　

（1）求直线与平面所成角的步骤

①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线.

②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角.

③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.

（2）从求直线与平面所成角的步骤看，可以归纳为作、证、求三个环节，作、证充分体现了逻辑推理的数学核心素养，而求又突出了数学运算的素养.

1.在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是（　　）

A.1B.2C.3D.6

答案　B

2.给出下列三个命题：

①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；

②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；

③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直.

其中正确的个数是（　　）

A.0B.1C.2D.3

答案　C

解析　①错，②③对.

3.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是（　　）

A.平行B.垂直

C.相交D.不确定

考点　直线与平面垂直的性质

题点　根据线面垂直的性质判定线线垂直

答案　B

解析　由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB.

4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是（　　）

A.平面DD1C1C

B.平面A1DB1

C.平面A1B1C1D1

D.平面A1DB

答案　B

解析　∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1⊂平面A1DB1，

∴AD1⊥平面A1DB1.

5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线BD1与A1D所成的角为________.

考点　异面直线所成的角

题点　求异面直线所成的角

答案　90°

解析　连接AD1，

∵AB⊥A1D，AD1⊥A1D，AB∩AD1＝A，AB，AD1⊂平面ABD1，

∴A1D⊥平面ABD1，∴A1D⊥BD1.

1.直线和平面垂直的判定方法

（1）利用线面垂直的定义.

（2）利用线面垂直的判定定理.

（3）利用下面两个结论：

①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.

2.线线垂直的判定方法

（1）异面直线所成的角是90°.

（2）线面垂直，则线线垂直.

3.求线面角的常用方法

（1）直接法（一作（或找）二证（或说）三计算）.

（2）转移法（找过点与面平行的线或面）.

（3）等积法（三棱锥变换顶点，属间接求法）.

一、选择题

1.给出下列条件（其中l为直线，α为平面）：

①l垂直于α内三条不都平行的直线；

②l垂直于α内无数条直线；

③l垂直于α内正六边形的三条边.

其中能得出l⊥α的所有条件序号是（　　）

A.②B.①C.①③D.③

答案　C

2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论错误的是（　　）

A.BD∥平面CB1D1

B.AC1⊥BD

C.AC1⊥平面CB1D

D.异面直线AD与CB1所成的角为45°

考点　直线与平面垂直的判定

题点　判定直线与平面垂直

答案　C

解析　由正方体的性质得BD∥B1D1，且BD⊄平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，故A正确；因为BD⊥平面ACC1A1，所以AC1⊥BD，故B正确；异面直线AD与CB1所成的角即为AD与DA1所成的角，故为45°，所以D正确.

3.下列说法中，正确的有（　　）

①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直；

②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直；

③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面；

④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面；

⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内.

A.2个B.3个C.4个D.5个

考点　直线与平面垂直的判定

题点　判定直线与平面垂直

答案　B

解析　①④不正确，其他三项均正确.

4.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是（　　）

A.平行

B.垂直相交

C.垂直但不相交

D.相交但不垂直

考点　直线与平面垂直的性质

题点　根据线面垂直的性质判定线线垂直

答案　C

解析　连接AC.因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.

5.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是（　　）

A.异面B.平行

C.垂直D.不确定

答案　C

解析　∵AB⊥α，l⊂α，∴AB⊥l，

又∵BC⊥β，l⊂β，∴BC⊥l，

∴l⊥平面ABC，

∴l⊥AC.

6.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（　　）

A.AG⊥△EFH所在平面

B.AH⊥△EFH所在平面

C.HF⊥△AEF所在平面

D.HG⊥△AEF所在平面

考点　直线与平面垂直的判定

题点　判定直线与平面垂直

答案　B

解析　根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，

∴AH⊥平面EFH.

7.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB∶BB1＝

∶1，则AB1与平面BB1C1C所成角的大小为（　　）

A.45°B.60°

C.30°D.75°

答案　A

解析　取BC的中点D，连接AD，B1D，

∵AD⊥BC且AD⊥BB1，

∴AD⊥平面BCC1B1，

∴∠AB1D即为AB1与平面BB1C1C所成的角.

设AB＝

，则AA1＝1，AD＝

，AB1＝

，

∴sin∠AB1D＝

＝

，∴∠AB1D＝45°.故选A.

8.如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的有（　　）

①BC⊥平面PAB；

②AD⊥PC；

③AD⊥平面PBC；

④PB⊥平面ADC.

A.1个B.2个C.3个D.4个

考点　直线与平面垂直的判定

题点　判定直线与平面垂直

答案　C

解析　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，

又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，故①正确；

由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，

又PA＝AB，D是PB的中点，

∴AD⊥PB，又PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，

∴AD⊥平面PBC，∴AD⊥PC，故②③正确.

故选C.

二、填空题

9.已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是________.

答案　a与b相交

10.如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成角的度数为________.

答案　45°

解析　因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角等于45°

11.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.（注：

填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）

考点　直线与平面垂直的判定

题点　判定直线与平面垂直

答案　∠A1C1B1＝90°

解析　如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可.因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可.（或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等）

三、解答题

12.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形.已知AD＝2，PA＝2，PD＝2

，求证：

AD⊥平面PAB.

考点　直线与平面垂直的判定

题点　直线与平面垂直的证明

证明　在△PAD中，由PA＝2，AD＝2，PD＝2

，

可得PA2＋AD2＝PD2，即AD⊥PA.

又AD⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，

所以AD⊥平面PAB.

13.如图，在四面体A－BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝

.

求证：

BD⊥平面ACD.

证明　取CD的中点G，连接EG，FG.

又∵E，F分别为AD，BC的中点，

∴FG∥BD，EG∥AC.

∵AC＝BD＝2，

则EG＝FG＝1.

∵EF＝

，∴EF2＝EG2＋FG2，

∴EG⊥FG，∴BD⊥EG.

∵∠BDC＝90°，BD⊥CD.

又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD.

14.如图所示，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（　　）

A.AC⊥SB

B.AB∥平面SCD

C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

考点　直线与平面所成的角

题点　直线与平面所成的角

答案　D

解析　对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确；对于选项B，∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；对于选项C，由对称性知SA与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确.

15.如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点.

（1）求证：

MN∥平面PAD；

（2）若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：

MN⊥平面PCD.

考点　直线与平面垂直的判定

题点　直线与平面垂直的证明

证明　

（1）取PD的中点E，连接NE，AE，如图.

又∵N是PC的中点，∴NE∥DC且NE＝

DC.

又∵DC∥AB且DC＝AB，AM＝

AB，

∴AM∥CD且AM＝

CD，∴NE∥AM，且NE＝AM，

∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE.

∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，

∴MN∥平面PAD.

（2）∵PA⊥平面ABCD，

∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，

∴∠PDA＝45°，∴AP＝AD，∴AE⊥PD.

又∵MN∥AE，∴MN⊥PD.

∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.

又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，

∴CD⊥平面PAD.

∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，

∴CD⊥MN.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，

∴MN⊥平面PCD.