分类加法计数原理与分布乘法计数原理.docx

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分类加法计数原理与分布乘法计数原理

[学习目标]　1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题．

知识点一　分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．

思考1　在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同吗？

答案　在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法是不同的，若相同它只能在同一类方案中且只能算是一种方法．

思考2　用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？

答案　因为英文字母共有26个，阿拉伯数字0～9共有10个，所以总共可以编出26＋10＝36（种）不同的号码．

知识点二　分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．

思考1　在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法可以相同吗？

答案　在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这一步骤的方法均不相同，若相同，只能算是一种方法．

思考2　用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？

答案　编写一个号码要先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字，我们可以用树形图列出所有可能的号码．如图：

由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6×9＝54（个）不同的号码．

题型一　分类加法计数原理的应用

例1　为调查今年的北京雾霾治理情况，现从高二

（1）班的男生38人和女生18人中选取1名学生做代表，参加学校组织的调查团，则选取代表的方法有多少种？

解　完成这件事需要分两类完成：

第一类：

选1名男生，有38种选法；第二类：

选1名女生，有18种选法，根据分类加法计数原理，共有N＝38＋18＝56（种）不同的选法．

反思与感悟　应用分类加法计数原理应注意如下问题：

（1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事．

（2）无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要再用到其他的方法．即各类方法之间是互斥的，并列的，独立的．

跟踪训练1　有3个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个、白色小球5个、黄色小球4个．若从3个袋子中任取1个小球，有多少种不同的取法？

解　有3类不同方案：

第1类，从第1个袋子中任取1个红色小球，有6种不同的取法；第2类，从第2个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法；第3类，从第3个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法．

其中，从这3个袋子的任意1个袋子中取1个小球都能独立地完成“任取1个小球”这件事，根据分类加法计数原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15（种）．

题型二　分步乘法计数原理

例2　在平面直角坐标系内，若点P（x，y）的横、纵坐标均在{0,1,2,3}内取值，则可以组成多少个不同的点P?

解　确定点P的坐标必须分两步，即分步确定点P的横坐标与纵坐标．

第一步，确定横坐标，从0,1,2,3四个数字中选一个，有4种方法；

第二步，确定纵坐标，从0,1,2,3四个数字中选一个，也有4种方法．

根据分步乘法计数原理，所有不同的点P的个数为4×4＝16.故可以组成16个不同的点P.

反思与感悟　应用分步乘法计数原理应注意如下问题：

（1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某种方法是不是能完成这件事，也就是说要经过几步才能完成这件事．

（2）完成这件事要分若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成．即各步之间是关联的，相互依存的，只有前步完成后步才能进行．

（3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，即分步要做到步骤完整．

跟踪训练2　用0,1,2,3,4,5,6这七个数字共能组成多少个两位数？

解　第一步，确定十位数字，1,2,3,4,5,6六个数字都可以选择，有6种方法；

第二步，确定个位数字，0,1,2,3,4,5,6七个数字都可以选择，有7种选法．

根据分步乘法计数原理，不同的两位数共有6×7＝42（个）．

故可以组成42个两位数．

题型三　两个原理的综合应用

例3　现有高一年级的四个班的学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．

（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？

（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？

（3）推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？

解　

（1）分四类：

第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．

所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34（种）．

（2）分四步：

第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长．

所以，共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5040（种）．

（3）分六类，每类又分两步：

从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．

所以，共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431（种）．

反思与感悟　

（1）在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏．

（2）对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．

跟踪训练3　某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？

解　由题意，知有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．

方法一　分两类．

第一类：

从只会英语的6人中选1人说英语，有6种选法，则说日语的有2＋1＝3（种）选法．此时共有6×3＝18（种）选法．

第二类：

从不只会英语的1人中选1人说英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2（种）选法．

所以由分类加法计算原理知，共有18＋2＝20（种）选法．

方法二　设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：

（1）教英语；

（2）教日语．

第一类：

甲入选．

（1）甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×2＝2（种）选法；

（2）甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理，有1×6＝6（种）选法．

故甲入选的不同选法共有2＋6＝8（种）．

第二类：

甲不入选．可分两步．

第一步，从只会英语的6人中选1人有6种选法：

第二步，从只会日语的2人中选1人有2种选法．由分步乘法计数原理，有6×2＝12（种）不同的选法．

综上，共有8＋12＝20（种）不同选法．

分不清“分类”还是“分步”致误

例4　某体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，小李到体育场看比赛，则他进、出门的方案有（　　）

A．12种B．7种

C．14种D．49种

错解　由题意知，小李进体育场有7种不同方案，出体育场有7种不同的方案，故他进、出体育场共有7＋7＝14（种）不同的方案．

答案　C

错因分析　错误的根本原因是没有分清小李完成进、出体育场门的过程是分类还是分步，实际上小李到体育场看比赛，他进、出体育场门的过程分两步：

第一步进体育场，第二步出体育场．

正解　完成进、出体育场门这件事，需要分两步，第一步进体育场，第二步出体育场．

第一步进门共有4＋3＝7（种）方法．

第二步出门共有4＋3＝7（种）方法．

由分步乘法计数原理知，进、出门的方案有7×7＝49（种）．

答案　D

点评　利用两个计数原理解决问题时，应首先弄清是“分类”还是“分步”，其次要做到分类时不重不漏，分步时步骤完整．

1．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为（　　）

A．1＋1＋1＝3B．3＋4＋2＝9

C．3×4×2＝24D．以上都不对

答案　B

解析　分三类：

第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以，共有3＋4＋2＝9（种）不同的走法．

2．现有3名老师、8名男生和5名女生共16人．若需1名老师和1名学生参加评选会议，则不同的选法种数为（　　）

A．39B．24

C．15D．16

答案　A

解析　先从3名老师中任选1名，有3种选法，再从13名学生中任选1名，有13种选法．由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为3×13＝39.

3.如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（　　）

A.24B.18C.12D.9

答案　B

解析　由题意可知E→F共有6种最短走法，F→G共有3种最短走法，由分步乘法计数原理知，共有6×3＝18种走法，故选B.

4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有________个．

答案　36

解析　第一步取b的数，有6种方法，第二步取a的数，也有6种方法，根据分步乘法计数原理，共有6×6＝36（种）方法．

5．从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f（x）＝ax2＋bx＋c的各项的系数，可组成不同的二次函数共有______个，其中不同的偶函数共有______个．（用数字作答）

答案　18　6

解析　一个二次函数对应着a，b，c（a≠0）的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知，共有二次函数的个数为3×3×2＝18.其中不同的偶函数的个数为3×2＝6.

1.应用两个原理时，要仔细区分原理的不同，加法原理关键在于分类，不同类之间互相排斥，互相独立；乘法原理关键在于分步，各步之间互相依存，互相联系．

2．通过对这两个原理的学习，要进一步体会分类讨论思想及等价转化思想在解题中的应用．

一、选择题

1．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则不同的选法种数为（　　）

A．3B．6C．9D．12

答案　C

解析　甲运动员有3种选法，乙运动员也有3种选法，由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为3×3＝9.

2．某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学为数学课代表，则不同选法的种数有（　　）

A．50B．26C．24D．616

答案　A

解析　根据分类加法计数原理，因数学课代表可为男生，也可为女生，因此选法共有26＋24＝50（种）．故选A.

3．某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有（　　）

A．27种B．36种C．54种D．81种

答案　C

解析　小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，所以由分步乘法计数原理知，共有2×3×3×3＝54（种）不同的报名方法，选C.

4．将字母a，a，b，b，c，c，排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（　　）

A．12种B．18种

C．24种D．36种

答案　A

解析　先填最左上角的数有3种方法，再填右上角的数有2种方法，再填第二行第一列的数有2种方法，根据分步乘法计数原理，不同的排列方法共有3×2×2＝12（种）．

5．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（　　）

A．243B．252C．261D．279

答案　B

解析　本题考查了分步乘法计数原理，可用间接法求解．用0,1，…，9共能组成9×10×10＝900（个）三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648（个），所以有重复数字的三位数有900－648＝252（个）．

6．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为（　　）

A．40B．16C．13D．10

答案　C

解析　分两类：

第一类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第二类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．由分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13（个）不同的平面．

7．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（　　）

A．24对B．30对C．48对D．60对

答案　C

解析　与正方体的一个面上的一条对角线成60°角的对角线有8条，故共有8对，正方体的12条面对角线共有96对，且每对均重复计算一次，故共有＝48对．

二、填空题

8．一个科技小组中有4名女同学、5名男同学，从中任选1名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法______种，若从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法______种．

答案　9　20

解析　根据分类加法计数原理，从中任选1名同学参加学科竞赛共有5＋4＝9（种）选派方法．根据分步乘法计数原理，从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛共有4×5＝20（种）选派方法．

9．4名学生参加跳高、跳远、游泳比赛，4人都来争夺这三项冠军，则冠军分配的种数有________．

答案　64

解析　本题中要完成的一件事：

“将比赛的各项冠军逐一分配给4名参赛学生”．

∵跳高冠军的分配有4种不同的方法．

跳远冠军的分配有4种不同的方法．

游泳冠军的分配有4种不同的方法．

∴根据分步乘法计数原理，冠军的分配方法有4×4×4＝64（种）．

10．用数字1,2组成一个四位数，则数字1,2都出现的四位偶数有______个．

答案　7

解析　由四位数是偶数，知最后一位是2.在四位数中，当出现1个1时，有1222,2122,2212，共3个，当出现2个1时，有1122,1212,2112，共3个，当出现3个1时，只有1112这1个四位偶数，故数字1,2都出现的四位偶数有3＋3＋1＝7（个）．

11.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有________个．

答案　40

解析　满足条件的有两类：

第一类：

与正八边形有两条公共边的三角形有m1＝8（个）；

第二类：

与正八边形有一条公共边的三角形有m2＝8×4＝32（个），

所以满足条件的三角形共有8＋32＝40（个）．

三、解答题

12．已知集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对（m，n），问：

（1）有多少个不同的数对？

（2）其中所取两数m＞n的数对有多少个？

解　

（1）∵集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，组成数对（m，n），先选出m有5种结果，再选出n有5种结果，根据分步乘法计数原理知共有5×5＝25个不同的数对．

（2）在

（1）中的25个数对中所取两数m＞n的数对可以分类来解，当m＝2时，n＝1，有1种结果；当m＝4时，n＝1，3有2种结果；当m＝6时，n＝1,3,5有3种结果；当m＝8时，n＝1,3,5,7有4种结果；当m＝10时，n＝1,3,5,7,9有5种结果．综上所述共有1＋2＋3＋4＋5＝15种结果．

13．有3个不同的负数、5个不同的正数，从中任取2个数，使它们的积为正数，问：

有多少种不同的取法？

解　根据题意，知积为正数的情况分为两类．

第一类是2个数都是负数，分两步取数：

第一步，先从3个负数中任取1个负数，有3种不同的取法；

第二步，从剩下的2个负数中任取1个负数，有2种不同的取法，故有3×2＝6（种）不同的取法．

第二类是2个数都是正数，也分两步取数：

第一步，先从5个正数中任取1个正数，有5种不同的取法；

第二步，从剩下的4个正数中任取1个正数，有4种不同的取法，故有5×4＝20（种）不同的取法．

综上所述，不同取法的种数为6＋20＝26.