几何直观是指利用图形描述和分析数学问题.docx

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几何直观是指利用图形描述和分析数学问题

几何直观是指利用图形描述和分析数学问题，探索解决问题的思路预测结果。

弗赖登塔尔说：

“几何直观可以告诉我们什么是重要的有趣的和容易进入的，当我们陷入问题观念方法的困扰时，几何可以拯救我们！

”数学是抽象的科学，对于小学生特别是低年级学生来说，还是以具象思维为主，如何让学生理解抽象复杂的数量关系，需要在学生心中搭建勾连的桥梁，那就是几何直观。

但经过了解我们也发现，在实际的学习当中学生并不喜欢用图形帮助自己分析和解决问题，这主要是因为在教学中老师对此关注的很少，学生不习惯使用，再有即使是直观图形的呈现，也不是与生俱来的，需要先天与后天培养的结合，才能让学生真正认识到几何直观的价值。

基于以上分析，我们对自己的课堂教学进行了反思，并从以下几方面进行了研究和尝试。

一、几何直观在教学中的体现。

  几何直观是2011版课标提出的一个新的核心概念词，以往在小学数学研究中很少涉及这个内容，相关的文献资料也很少，所以我们在这里有必要了解一下小学数学中的几何直观。

课标2011版中所说的几何直观是借助图形分析和解决问题中的“图形”具有更广泛的含义，几何直观并不仅指简单的图形直观。

史宁中教授曾说在中小学数学中，几何直观具体表现为如下四种表现形式：

一是实物直观，二是简约符号直观，三是图形直观，四是替代物直观。

那么这几种几何直观在小学数学教学中都有哪些具体的呈现呢，我们不妨梳理一下。

1.实物直观。

即实物层面的几何直观，是指借助与研究对象有着一定关联的现实世界中的实际存在物，借助其与研究对象之间的关联，进行简捷、形象的思考，获得针对研究对象的深刻判断。

2.简约符号直观，即简约符号层面的几何直观，是在实物直观的基础上，进行一定程度的抽象，所形成的、半符号化的直观。

杨树：

柳树：

3.图形直观是以明确的几何图形为载体的几何直观。

4.替代物直观则是一种复合的几何直观，既可以依托简捷的直观图形，又可以依托用语言或学科表征物所代表的直观形式，还可以是实物直观、简约符号直观、图形直观的复合物。

“替代物直观”则是在现实模型基础上的进一步抽象，

已经具备一定的抽象高度。

以计数器为例，与 “小棒”

相比，计数器已经将数位的含义明确表示出来 （具有

普适性和公共的约定性），而不是某些人的人为规定。

  借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，促进数学的理解；通过图形进行观察，有利于信息回忆和方法的促成；根据直观认识来研究图形的性质和相关问题有助于数学问题结构的揭示。

可以说，几何直观不仅解决“图形与几何”的学习中存在的问题，并且贯穿在整个数学学习过程中。

二、浅谈几何直观在教学中的应用。

（一）在困惑中产生画图的需求，初步培养学生借助几何直观理解和分析问题的意识。

  新课程强调：

有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学在前，教在后，教只有贴合学，方能有效。

基于此认识，我认为数学教学，一定要从学生的需要与困惑出发。

如果教师以自己的机械指导过度牵制学生的自主体验；如果教师以自己的教学讲解全盘替代学生的主体思维，那我们培养的学生多数会是解题的领袖，而非数学思考的领袖！

课堂是学生学习、发展的场所，做教师的一定要设法把课堂还给学生，让学生去尝试、让学生去讲解，让学生由被动的接受变为主动的建构。

故事一：

太麻烦了，都记不住！

京版小学数学五年级上册在小数乘法单元里，有一个分段计价的问题。

教材呈现的是出租车的计价问题。

出租车如何进行收费呢?

呈现的方式是这样的：

             时段5：

00—22：

59

1、基价千米为3千米，起价10.00元。

  2、3千米后，每千米租价2.00元。

   3、单程行驶15千米以上部分每千米3.00元。

……

老师先让小组讨论出租车的收费标准是什么？

然后全班进行交流，经过师生的反复对话，学生终于明白出租车怎样收费了：

基价千米为3千米，起价10.00元就是0——3千米（包括3千米），无论走多少，都收10元钱。

3千米——15千米（不包括3千米，包括15千米）这一部分路程，每千米收费是2.00元。

15千米以上（不包括15千米），每千米收费是3.00元。

要注意每一段收费的标准是不一样的，得分三段来计算。

师：

看了这道题，你有什么感觉？

生：

太麻烦了，都记不住！

师：

那怎么办呢？

怎么看着就不那么麻烦了？

生（异口同声）：

画图。

师：

好，你们可以试着画画图来帮助自己理解这道题。

分段计价的表述比较麻烦，学生在理解了题意的基础上，依然要在头脑中记清楚繁琐的收费标准。

而借助图形可以讲复杂的叙述变得清楚、明了。

在这个环节的处理上，老师没有直接拿来线段图，帮助学生理解题意，而是让学生在学习的过程中为了解决问题而主动产生了画图的需要，只有这样才能让学生认识到画图的价值，培养学生的画图意识。

故事二：

我到前面画图给大家讲

 二年级乘法口诀的教学，没有很多老师给予太多的关注，能够熟背口诀是最基本的教学任务，有些家长早已让孩子背的滚瓜烂熟。

而我在教学乘法口诀时，更注重让学生理解口诀的意义。

师：

同学们把3的口诀记得真熟练，可是谁能告诉我们“三四十二”是什么意思呢？

请你自己想一想，然后说给大家听。

生1：

三四十二就是4×3=12

师：

为什么等于12？

谁能解释吗？

生2：

我想画图给大家解释，这里有4个3，是吗？

4个3相加等于多少？

（12）

4个3相加可以写成3×4，所以3×4=12，大家说对吗？

（我班学生已经初步学会问答式的讲解）

   3      3        3        3

我确实没有想到孩子能主动走到讲台上利用图形来讲，但从中可以看出要把自己的意思说清楚，让别人听明白，孩子需要借助图形。

图形的直观，不但帮助学生理解算式的含义，同时帮助学生正确的表达。

此时，采用直观的画图的方法已经成为学生自觉的一种需求。

所以说如果从低年级开始就注重学生几何直观意识的培养，将有利于学生掌握更多的解题策略，发展学生的空间观念，提高学生解决问题的能力。

（二）让学生经历几何直观呈现的过程，发挥几何直观在数学学习中的价值。

在以往的教学中，老师们对借助图形帮助学生解决问题也是有一定认识的。

但往往在教学中会直接呈现，然后告诉学生图形是我们的好朋友，在遇到困难时可以请出这位好朋友。

怎么请到这位好朋友呢，难道学生天生就有这个能力吗？

不是的！

“直观并不是一成不变的，随着经验的积累其功能可能逐渐加强”，“只有把 ‘先天的存在与后天的经验’有机结合起来，才能形成人的直观能力”。

数学学习也是如此。

虽然学生的几何直观有先天的成分，但是，高水平的几何直观的养成，却是主要依赖于后天，依赖于个体参与其中的几何活动，包括观察、操作（特别是，诸如折纸、展开、折叠、切截、拼摆等）、判断、推理等等。

让小学中的几何学 “动”起来、数形结合等等，都是为了有效发挥几何直观的作用，更好地培养学生的几何直观。

因而，积累几何活动经验就成为数学教学的一个更加直接的目标和追求。

拥有丰富的几何活动经验并且善于反思的人，他的几何直观更有可能达到更高的水平。

故事三：

我可以用一个圆圈代表100

在执教《求一个数的几倍是多少》的时候，我对教材进行了深入的思考，北京版、人教版都采用了用线段图帮助学生理解数量关系的形式。

那么为什么要出现线段图呢，应该怎样呈现呢，带着这些问题我对学生进行了前测和访谈。

首先学生看到求一个数的几倍的问题，虽然会列式，但是不会解释为什么要这样列式，而几何直观恰恰能建立起倍的概念和乘法的意思之间的联系，其次对于二年级学生来说，线段图这种高度抽象的几何直观学生没有认识，完全空白，理解起来有一定的困难。

所以说不能忽略学生的认识水平，而是要让学生经历线段图的形成过程，在润物无声的引导之下，初步培养学生画图的能力，为中、高年级的学习奠定能力的基础。

为此我进行了如下教学设计的：

  公鸡的只数是母鸡的4倍，你能用图形表示出它们之间的倍数关系吗？

学生很快动起手来，经过筛选，几个不同形式的图就展示出来:

生1：

生2：

师：

画圆圈、三角的同学说说你是怎么想的？

你这也不是母鸡、公鸡

生2：

我用圆圈代表母鸡，两个圆圈就是2个母鸡。

用三角代表公鸡。

师：

三角为什么要这样2个2个画呢？

  因为公鸡的只数是母鸡的4倍，就得画4个2.

师：

画公鸡和母鸡图的同学，你画的挺像的，可是你没画完，说说你有什么感受？

生1：

画起来太费劲了，不好画，耽误时间。

师：

那大家想想，哪种画图方法比较简洁？

为什么呢？

生：

第二种。

画着省事，节约时间。

师：

还真是这样，当我们觉得实物画起来费劲的时候，可以用一些小符号，像圆圈、三角形、小棒等来代替实物的数量，这真是一个简单的画图的好想法。

大家想想，如果有三只鸡就画3个圆圈，简单吧。

（屏幕出示）

那要是10只鸡呢？

                大屏幕的地方快不够用了

如果有100只鸡呢。

（一个一个出示，屏幕终于不够用了）大家想想，这可怎么办呀？

数量多了，画起来还是不太方便吧，有没有什么好办法，不用画这么多？

生：

老师，我知道，我画一个圈，里面写上100就行了。

师：

呀，你这个办法更简洁，一份就用一个图来表示，一下子表示出100个，那你们说说，这一个圈除了表示100个，还可以表示几呀？

生：

表示50、35、什么数都可以。

师：

同学们真善于思考，想出了用一个图形表示多个数的方法，真了不起。

这一个图形可以是一个○，一个△，还可以是一条线段。

我们数学书上，就有很多地方用到了这样的线段图。

 从这个设计中可以看出，由实物抽象出符号，学生有这个能力，但从符号到线段图就太过抽象，学生不好理解。

所以我通过直观演示数量的增加，让学生体会到数量太多了，用符号一个一个的画也很麻烦，进而想到用一个图形来表示多个数量（集合圈），从而初步认识了线段图。

就因为学生有了这样的经历，所以虽然我们不要求学生用线段图来表示数量关系，但在学生解决问题中依然认可了线段图，使用了线段图，为后面的学习打下了良好的基础。

故事四：

余数为什么比除数大

1.观察算式得结论，不明原因心茫然。

  在二年级第二学期讲有余数的除法时，我让学生观察每个除法算式

     3     7      6      6     8 

4 1 5  5 3 7   7  4 8  9  5 4  8 7 0  

    1 2   3 5     4 2    5 4    6 4   

     3     2      6      0     6 

师：

看看没个算式中的余数和除数，你们有什么发现？

生：

…………（还没有反应上来）

师（有些着急）：

我把除数和余数标上不用的颜色，你们在看看，余数和除数比，怎么样呀？

生1：

余数都比除数小。

（学生在老师指引的道上很快得出结论）

师：

你真会观察。

生2：

老师，为什么呀？

师：

你想，余数要是比除数大了，不就还可以再多商1吗，明白吗？

生：

明白了……（茫然地看着我）

2.实物拼摆探规律，恍然大悟表述清。

看到学生无动于衷的表情，我知道结论摆在那里好发现，但是为什么必须让学生自己从心里知道。

于是，我临时设置情境，采用小组动手分一分的形式完成下面的问题。

在分的过程中，我让学生自己想办法分一分，并能给把自己组分的过程呈现出来给大家说明白。

一组：

有11个苹果，每5个为一份，可以分成几份？

二组：

有12个苹果，每5个为一份，可以分成几份？

三组：

有13个苹果，每5个为一份，可以分成几份？

四组：

有14个苹果，每5个为一份，可以分成几份？

五组：

有15个苹果，每5个为一份，可以分成几份？

六组：

有16个苹果，每5个为一份，可以分成几份？

各小组通过不同的模型操作得出结果后，到讲台前给大家演示并讲解：

  我请每个组的学生到黑板上讲解自己分的过程，有的小组借助磁力圆片，有的小组直接在黑板上画图分析，有的小组用班里的人代表苹果，都说出了自己分的过程。

一组：

11个圆片每5个为一份，可以分成两份， 还剩下1个，不够分了。

二组：

画了12个圆，将12个圆每5个为一份，可以分成两份，还剩下2个，不够分了。

还剩下2个不够分了

三组：

画个13个苹果，每5个为一份，可以分成2份，还剩下3个不够分了

四组：

让14个同学起立，每5个人为一份，可以分成2份，还剩下2个人，不够分了。

………………

各组将自己的计算方法说明后，我让学生进一步观察，并不断追问：

     2     2      2      2     3      3

5 1 1  5 1 2   5  1 3  5  1 4  5 1 5   5 1 6 

    1 0   1 0     1 0    1 0    1 5    1 5 

   1     2      3      4     0      1

师：

你们剩下的为什么不分了？

生1：

因为5个为一份，剩下的不够1份了。

师：

都剩下多少就不够分了？

学生争着回答：

1个、2个、3个、4个

师：

剩下5个行不行？

6个呢？

生2：

不能剩下5个，剩下的比5个多，还能分出1份呢！

师：

那余下的数和除数之间到底有什么关系呢？

生3：

余数应该比除数小。

师：

谁能再说说是为什么？

生：

如果余数比除数大了，那就还够再分一份的，还得接着分。

指导余数不够分了才行。

生：

余数和除数相等也不行，说明正好还能再分一份，就没有余数了。

  学生借助各种模型，直观形象的感受着余数与除数之间的关系，“余数比除数小”不再只是学生看到眼里，而且是能够操作出来的，理解在心里的！

在这里，几何直观操作，帮助学生理解，并为知识的进一步应用奠定了能力基础。

（三）通过几何直观探究数学本质，帮助学生充分理解概念。

  几何直观是为更好的数学理解而服务的。

我们不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在“形式化的海洋里”。

故事五：

乘法分配律就是不会用

乘法分配律的教学历来是老师关注的焦点，为什么要如此关注，有的老师曾说过：

乘法分配律讲着明白，就是不会用，一让简算就爱出错。

总是和乘法结合律混，每天都练习几个这样的简算，可到考试时还是错。

学生的困惑成因是什么呢？

一是学生能机械模仿，但对于ac±bc为什么等于（a±b）×c，四个数的运算怎么就变成了三个数的运算，弄不明白，因此解题思路不清晰。

二是乘法分配律是老师教给学生的，不是学生自主探究得出的，学生缺少亲身经历，因此，对乘法分配律印象不深，凭想当然解题。

老师讲，学生听，然后让学生记住乘法分配律公式，最后解题，这种传统的讲解式教学方式已经不能让每一个正常的学生学会乘法分配律，所以我们不妨尝试新的学习方式，让学生借助直观图形亲自参与到实验中，让归纳推理、概括总结的过程由学生自己得出，这样，学生自己得出的结论，用起来才能得心应手。

有的老师在讲课时进行了这样的设计：

1、首先出示北师大版教材呈现的问题，让学生尝试求出“一共贴了多少块瓷砖？

”学生得出两种不同

（1）4×9+6×9  

（2） （4+6）×9

2、请学生分别说说：

每种方法每一步求的是什么，为什么能有两种方法。

  通过课件的演示，两个图形合并成一个图形。

学生在动态的图形支撑下，初步理解了乘法分配律。

老师继续提问，若瓷砖的边长为1的话，能发现什么？

这两个算式是什么关系呢：

       4×9+6×9 =（4+6）×9

3、自由拆分。

  学生可以由此感觉到：

长方形的面积图上可以发现乘法分配律这一规律。

老师接着追问：

如果长方形的长是10，宽是9，面积是9×10，可以讲大长方形拆成4×9+6×9 外，还有其他的拆法吗？

学生经过短暂的观察和思考很快想出了很多拆法，经过整理，老师将拆法呈现在黑板上。

学生从操作中体会到，无论是拆长边还是拆宽边，都有无数种拆法。

这时候，学生对乘法分配律有个直观的认识。

为了体会更加深刻，老师给学生提供了正方形和不同形状的长方形，学生可以选择2到3个长方形或正方形拼成一个大的长方形，并写出对应的算式。

（长正方形有：

3×5  1×2   3×6   4×2  5×2  4×4  7×6…… ）

有的得出：

3×5+3×6=3×（5 +6）

有的得出：

1×2+4×2+5×2=2×（1+4+5）

4、总结归纳。

让学生进一步观察等式左右两边的算式的特点，并与对应的图形相结合，再让学生说说乘法分配律是什么意思，这时学生能够就头脑中的表象很好的进行描述。

学生充分的理解了乘法分配律的含义，运用起来才会得心应手。

总之，借助几何直观可以展现问题的本质，有利于帮助学生直观地理解数学，有利于培养学生的观察、推理能力。

三、后记

数学发展的历程表明，越是高度抽象的数学内容，往往越需要形象直观的模型作为其解释和支撑，即使是推理几何的功臣欧几里得，在进行几何学的论述过程中仍然依赖了头脑中的图形的直观。

正如笛卡儿所确认的 “起始原理本身则仅仅通过直观而得知”。

正所谓 “物极必反”———越是抽象的数学对象，其数学本质越有可能用简捷而直观的图形来表达。

在数学教学中，借助恰当的图形、直观的模型，更有利于揭示数学对象的性质和关系，使思维更容易转向更高级、更抽象的空间形式。

当然，无论是数学家的研究，还是学生的数学学习，直观本身不是目的，而是手段。

对于学生的数学学习而言，直观是为了形成学生的生动表象并借以形成概念、发展规律，促进抽象思维的发展。

总之，几何直观是影响中小学生数学发展的重要因素之一，培养和发展学生的几何直观，是数学课程 “图形与几何”领域的核心目标之一。

而培养和发展学生的几何直观，需要依托数学课程的每个领域，不仅仅是 “图形与几何”领域的任务。

同时，有效的培养工作必须依托具体的数学课程教学内容，落实在课程内容之中、课堂教学细节之中。

为此，教师具有培养学生几何直观的自觉意识是重要的，而将几何直观的培养自始至终落实在数学教学的每个环节，是更为重要的。

四、研究中存在的困惑

1、小学数学教材中承载几何直观能力培养的内容具体有哪些？

我们如何教学才说是正确地展示了几何直观的方法？

2、对于小学中的几何直观，《标准》只在第二学段提了一句“感受几何直观的作用”，而“感受”是一个描述过程目标的行为动词，这是否意味着，小学阶段的几何直观只需要感受即可？

我们在教学中如何让学生去“感受”？

是侧重在教师教的策略，还是侧重在学生的学习策略上？

  从课标出台到现在，我在课堂中实践着“借助几何直观提高学生解题能力”的研究，取得了一定的效果，但在研究中也存在着以上困惑。

我想研究就是如此，不是所有的研究都能解决所有的问题，留在纸上的是思想的足迹，化作动力的是思想的延伸。

出现了困惑表示研究的路正在向前伸展。

“几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。

”几何直观不仅在“图形与几何”的学习中发挥着不可替代的作用，而且贯穿在整个数学学习过程中。

在小学数学教学中，巧妙运用几何直观处理教学内容，往往会收到事半功倍的效果。

      一、运用几何直观可以帮助学生理解数的意义

      在小学数学中小数与分数数的意义相对整数的意义较为抽象，对于其意义的理解不妨借助几何直观教学帮助学生来理解，可以将一张正方形纸平均分成若干份，涂出其中的一份或几份来帮助学生理解其表示的意义。

而正负数的认识，不妨以温度计为例，明确0℃以上用正数表示，0℃以下可以用负数表示，通过观察温度的高低，借助学生已有知识经验，可以比较容易的得出正负数可以表示一组意义相反的量的结论。

      二、运用几何直观可以帮助学生掌握运算律、理解运算算理

      数学中运算律的探索需要一个过程，对于这个过程的认识不能仅靠教师传授，而是需要学生自己体验、感受。

例如在教学乘法结合律时，可以借助让学生用小正方体搭出一个长方体这个操作活动引出乘法算式，通过两次验证，概括出乘法的结合律，第一次学生以直观模型来验证，第二次在学生获得感性认识的基础上，可以启发学生用抽象的算式来举例验证，进而使学生发现、概括出乘法结合律，理解乘法结合律的算理。

      三、运用几何直观可以帮助学生分析解决应用题

      相遇问题是小学数学教学中非常重要的一类典型应用题，学生由于生活中缺乏这一方面的生活经验或缺乏一定的想象力，因而对其解法不容易理解，借助画线段图、或者直观演示可以使学生直观地理解此类问题的解法。

而分数应用题，是小学数学教学中的一个难点，利用线段图，使学生通过对所画线段图的观察和思考，分析其数量关系，算法就比较容易确定了，假设没有图示来帮助，要想得出它的算法，就要困难得多。

      四、运用几何直观可以帮助学生理解定理、公式

      在探索三角形内角和时，如果仅仅通过测量，由于测量存在误差，学生很难得出三角形内角和为180度的结论，这时可以通过动手拼一拼、折一折等活动，将三角形的三个内角拼成或折成一个平角，而平角的度数为180度，这样使学生通过自己的眼睛直观观察，经过不完全归纳，就可以比较容易地得出正确的结论。

而在长方形面积计算公式的推导过程中，可以先出示几个大小形状不同的长方形，让学生利用若干个面积为1平方厘米的小正方形来摆一摆，根据数小正方形个数来得到长方形的面积，通过三组数据的对比，得出长方形面积计算公式，从而使学生理解长方形面积的计算公式。

      五、运用几何直观可以帮助学生理解数量之间的关系

      小学数学中分析正反比例数量之间的关系具有一定的抽象性，不妨借助几何直观来解决，例如“正比例”的教学，在学生认识正比例的意义后，可以根据例题表中的数据，先引导学生用“描点法”画出一幅表示正比例关系的图像。

在描点的过程中，引导学生把所描出的点与表中的数据相对照，让学生初步理解图像上各点所表示的实际意义，即每个点都表示路程和时间的一组相对应的比值。

再通过观察，使学生发现所描出的这些点正好在一条直线上，清楚地认识正比例图像的特点，并借助直观的图像进一步理解两种量同时扩大或缩小的变化规律，理解正比例的意义。

画出图像后，让学生根据图像来判断行驶路程和时间，进一步认识图像上任意一点所表示的实际意义，初步体会正比例图像的实际应用。

通过正比例图像与正比例关系式的转换，加深对正比例意义的理解，可以为今后进一步学习函数知识打下初步的基础。

      总之，几何直观已经成为数学界和数学教育界关注的问题，在小学数学课堂中适当的使用几何直观不仅有助于提高课堂效率也有助于培养学生的几何直观能力，为学生以后的数学学习奠定坚实的基础，但是在教学中我们一定要把握直观是前提，抽象是本质，适度是关键的原则，随着高年级学生知识的增加，抽象思维水平的提高，应逐步减少直观的成分。

即使在低年级，也不应只停留在直观、具体的水平上，也要引导学生逐步离开具体实物，进行抽象思维。

只有这样，才能达到直观教学的目的，才有利于发展学生的抽象思维能力。

小学生的思维水平止处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡，离不开具体事物的支持。

几何直观凭借图形的直观性特点将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，抽象思维同