初中数学一次函数与正比例函数1教学设计学情分析教材分析课后反思.docx
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初中数学一次函数与正比例函数1教学设计学情分析教材分析课后反思
课题
§4.2一次函数与正比例函数
课型
新授课
章节
第四章第二节
授课人
教学目标
重点难点及策略
1.经历一次函数概念的抽象过程，体会模型思想，发展符号意识。
2.理解正比例函数和一次函数的概念，能根据所给条件写出正比例函数和简单的一次函数表达式。
【教学重点】理解一次函数和正比例函数的概念。
【教学难点】能根据所给条件写出简单的一次函数表达式，发展学生的抽象思维能力。
【教学策略】信息技术辅助的教学策略.
教
材
分
析
本节课选自北师大版初中数学八年级上册第四章第二节《一次函数与正比例函数》，学生在第四章的第一节已经学习了函数的定义和表示方法，对函数有了初步的了解，本节课的学习，为学生后面继续学习反比例函数、二次函数做好铺垫。
函数是建立现实世界数学模型额有效手段，可以让学生形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。
。
学
生
分
析
七年级下学期学生已经探索了变量间关系，在此基础上，本章的前一节继续通过对变量关系的考察，让学生初步体会函数概念，能判断两变量间的关系是否可看做函数。
本节课进一步研究其中最简单的一次函数，由于有了前面内容的铺垫，学生已经会建立变量间关系，本节课是已经学过知识的延伸。
教学过程设计
教学环节
教师活动
学生活动
信息技术的设计与使用预期效果
设计意图
第一环节：
回顾与思考
同学们，首先我们一起复习一下上节课学习过的内容。
1）什么是函数？
2）函数有哪些表示方法？
3）在现实生活中有很多问题可以归结为函数问题，大家能不能举一些例子？
1）函数：
在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个x值,相应地就确定一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量.
2）函数表达方式：
列表法、关系式法、图象法。
3）上网费用是2元/小时，上网t小时，费用为y元，y是t的函数。
……
用ppt播放问题和答案，压缩课堂时间。
问题
（1）
（2）学生都能快而准的回答，问题（3）是一个开放性问题，学生不能很准确的表述出来，可以让学生互相补充，或根据学生水平教师先举例，抛砖引玉。
为了激发学生的求知欲望，吸引同学们的注意力，这里采用了复习旧知识，诱导性内容的引入方法，除了复习上节课的内容，还让学生把所学知识运用到实际生活，提高学生的运用意思。
第二环节：
引入与交流
情景一：
某种大米的单价是2.2元/千克，当购买x千克大米，花费为y元，请写出y与x的关系式。
情景二：
某弹簧的自然长度为3厘米，在弹簧限度内，所挂物体的质量x每增加1千克，弹簧长度y增加0.5厘米。
（1）计算所挂物体的质量分别为1千克、2千克、3千克、4千克、5千克时的长度，并填入下表：
x/kg
0
1
2
3
4
5
y/cm
（2）你能写出y与x之间的关系式吗？
小组活动：
你能发现列函数关系式的步骤吗？
情景三：
某辆汽车油箱中原有汽油60L,汽车每行驶50km耗油6L.
（1）完成下表：
汽车行驶路程x/km
0
50
100
150
200
300
耗油量y/L
（2）你能写耗油量y（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？
（3）你能写出油箱剩余油量z（L）与汽车行驶路程x（km）之间的关系式吗？
等量关系：
花费=单价×重量
关系式：
y=2.2x
x/kg
0
1
2
3
4
5
y/cm
3
3.5
4
4.5
5
5.5
等量关系：
弹簧长度=弹簧自然长度+增加的长度
关系式：
y=3+0.5x或y=0.5x+3
1.审题——关键句子
2.找等量关系——每一个量用数学符号表示
3.列关系式
汽车行驶路程x/km
0
50
100
150
200
300
耗油量y/L
0
6
12
18
24
36
等量关系：
耗油量=每千米耗油量×路程
关系式：
y=0.12x
关系式：
y=60-0.12x或y=-0.12x+60
用课件展示题目，让学生经历前两个情景列关系式的过程，通过讨论互相补充，基本可以将步骤较完整的回答出。
力图通过函数表格的表现形式，使学生感受一次函数的线性变化趋势，当自变量进行等差变化时，因变量也在随之进行等差变化，即一个变量（不管其原始数值如何）改变一个固定的常数后，另一个变量的相应改变量也是固定的。
问题2难度较大，需要逐步引导学生通过关键句子找到等量关系，在代数表达式上表现为x、y之间的一次关系。
两个情景的设计，情景一较简单，学生从生活经验入手就可以列出，这其实也是列出函数关系式的第一种渠道——根据生活经验。
情景二的弹簧问题是课本上题目，由于问题较简单，很多学生结合生活中所见就能解决。
从学生身边生活入手，设计两个情景，可以增加学生的学习兴趣。
学生经历列函数关系式的过程，可以初步得到列函数关系式的步骤。
本节课的难点之一就是如何列函数表达式，在两个情景与学生的充分交流后，学生能够对难点有初步的突破。
通过在列表活动中数据变化情况的观察，可以帮助学生获得关于变化规律的猜想，从而猜想并验证其代数表达式。
第三环节：
小结与归纳
请同学们观察以上得到的四个关系式，他们在形式上有什么共同特征呢？
点评探究过程，同时由以上函数都可以写成因变量=系数×自变量+常数或因变量=系数×自变量的形式，导入一次函数和正比例函数的定义。
继续提问：
k为什么不能为0？
正比例函数与一次函数存在着怎样的特殊关系？
y=0.5x+3
y=-0.12x+60
y=2.2x
y=0.12x
小组内充分交流。
不同小组发言互相补充。
一般地，我们把y=kx+b（k≠0,k、b为常数）叫做一次函数；特别地，当b=0时，把y=kx（k≠0）叫做正比例函数。
正比例函数是特殊的一次函数。
通过上一个教学环节得到的函数关系式，直观教学及对比、联想同时，教师的适当引导，不仅使学生快速掌握知识，而且有助于加深学生印象，加强了对学生观察、对比、联想等逻辑思维能力的培养。
学生通过小组讨论，并不能迅速发现这些函数在形式上的所有特点，教师在巡视中除了要及时点拨，在学生回答问题时可以让不同学生互相补充。
第四环节：
巩固与拓展
提问：
1.你能举一个正比例函数的例子吗？
2.你能举一个一次函数的例子吗？
3.你能举一个一次函数但非正比例函数的例子吗?
基础练习：
1、下列函数中,哪些是一次函数
（1）y=-3x+7;
（2）y=-x+1;（3）y=x2+1;（4）y=8x;（5）;
（6）;
（7）s=2t-3（s、t是变量）
请分别说出这些函数的k和b值。
例1：
写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：
y是否为x的一次函数？
是否为正比例函数？
（1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程y（km）与行驶时间x（h）之间的关系。
（2）圆的面积y（cm2）与它的半径x（cm）之间的关系；
（3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，xh后这个水池内有水ym3。
自2018年10月1日起，个人工资、薪金所得税征收办法规定：
月收入不超过5000元的部分不收税；月收入超过5000元但不超过8000元的部分征收3%所得税；月收入超过8000元但不超过17000元的部分征收10%所得税……。
如某人月收入6960元，他应缴个人工资、薪金所得税为（6960－5000）×3%=58.8（元）。
（1）当月收入大于5000元而又不超过8000元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式.
（2）某人月收入为5760元，他应缴所得税多少元？
（3）如果某人本月应缴所得税84元，那么此人本月工资、薪金是多少元？
拓展：
（1）要使y=（m-2）xn-1+n是关于x的一次函数则n,m应满足,.
（2）小明根据某个一次函数关系式填写了下表:
x
-2
-1
0
1
y
3
-1
-3
其中有一格不慎被墨汁遮住了,想想看，该空格里原来填的数是多少？
解释你的理由。
学生回答问题，学生进行点评纠正。
1.2.4.5.7是一次函数。
（1）k=3，b=7
（2）k=-1，b=1
（4）k=8，正比例函数
（5）k=1/6，正比例函数
（7）k=2，b=-3
（1）由路程=速度×时间，得y=60x,y是x的一次函数,也是x的正比例函数。
其中的k值是60.
（2）由圆的面积公式，得y=πx2,y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数。
（3）这个水池每小时增加5m3水,xh后增加5xm3水,因而y=15+5x,y是x的一次函数,但不是x的正比例函数.其中的k值是5,b值是15.
（1）当月收入大于5000元而又不超过8000元时，y=（x-5000）×3%,即y=0.03x-150
（2）当x=5760时,y=0.03×5760-150=22.8（元）
（3）因为（8000-5000）×3%=90,84<90,所以此人本月工资薪金收入不超过8000元,设此人本月工资薪金收入是x元，则84=0.03x-150x，x=7800.即此人本月工资薪金收入是7800元。
（1）要使y=（m-2）xn-1+n是关于x的一次函数，那么x的指数要为1，则n=2，x的系数k
0，则m
2.
（2）
空格填1
在学生讲解题目时，采用实物投影的方式，让课堂更高效。
学生在导学案上完成题目，是经过充分思考，不容易造成上台做题紧张的情况。
由于新的个人所得税政策与学生学习生活较远，学生了解甚少，所以此环节安排学生提前回家上网查阅资料，此环节可以让学生进行讲解。
在学生讲解题目时，采用实物投影的方式，让课堂更高效。
学生在导学案上完成题目，是经过充分思考，不容易造成上台做题紧张的情况。
一系列的问题串让学生在对正比例函数和一次函数的概念和形式上更扩大加深理解。
此环节是课堂的小高潮，学生之间的互动在前面活动中热身后升华，若能掌握两种函数的概念，则可以通过此环节互相纠错巩固。
进一步通过练习题巩固学生对一次函数以及正比例函数概念及形式的理解和应用。
第一题是对一次函数概念的拓展,学生不仅要会判断关系式中的k值和b值,也要了解一次函数中自变量指数和系数是有要求的.第二题是希望学生体会一次函数的本质是两个变量之间的一种线性增长关系,有助于学生在后面学习一次函数图像中帮助学生更好理解.
第五环节:
课堂小结
在知识与方法上，本节课你有哪些收获？
让学生从知识、方法、生活上谈收获,可以在反思中感受函数在生活中无处不在.
第六环节:
当堂检测
1.已知函数y=（2-m）x+2m-3.当m=时,函数为正比例函数,当m时,函数为一次函数.
2.已知△ABC一边AB上的高为8，△ABC的面积y与△ABC的AB边x的关系式.
（1）m=3/2;m
2
（2）等量关系:
Y=4x
第一题考察对一次函数和正比例函数概念的掌握,第二题考察学生列函数关系式的能力,这两题的考察点都是本节课的重难点,学生顺利完成即代表本节课熟练掌握.
课后作业：
必做：
课本P81随堂练习2
习题4.2知识技能问题解决
选做：
函数世界里还有哪些成员,上网或查阅资料进行初步了解.
七年级下学期学生已经探索了变量间关系，在此基础上，本章的前一节继续通过对变量关系的考察，让学生初步体会函数概念，能判断两变量间的关系是否可看做函数。
本节课进一步研究其中最简单的一次函数，由于有了前面内容的铺垫，学生已经会建立变量间关系，本节课是已经学过知识的延伸。
由于课堂时间原因，课后检测放在了课后进行，由各组组长统计检测结果。
课后检测的第一题考察一次函数与正比例函数的一般形式，90%的学生可以得到正确结果，错误的同学在第二空的计算中，沿用了第一空的思维模式，并没有考虑一次函数只需要满足k≠0即可，从等量关系的角度考虑，所以没有答出第二问。
课后检测的第二题考察的是根据题目条件列出函数表达式，个别学生因为对三角形面积公式掌握不好，不能准确写出函数关系式。
通过对一次函数与正比例函数课后测评两道题目的检测结果来看，班级有90%以上的同学已经能够掌握一次函数与正比例函数的定义和一般形式的特征，教师对教学重点突破的较好，教学目标达成度较好。
函数是数与代数的重要内容，也是义务教育阶段学生比较难理解和掌握的概念之一，因此教材在三个学段分别安排了和函数关联的内容目标，希望学生能逐渐加深对函数的理解。
依据课程内容的要求，教材对函数内容的编排体现着螺旋上升的原则，分三阶段逐渐深化：
第一阶段，通过一些具体实例，让学生感受数量变化过程，以及变化过程中变量之间的对应关系，探索其中的变化规律及基本性质，尝试根据变量的对应关系做出预测，获得函数的感性认识。
例如，教材对一次函数与正比例函数内容的编排上，需要学生经历对一次函数和正比例函数的认识过程，逐渐理解和掌握。
教材首先呈现出来的是体会一次函数的意义，并能根据已知条件确定一次函数的表达式。
教材中结合具体的实例，引导学生先写出函数解析式，归纳出它们具有的共同特征，抽象出一次函数的一般形式y=kx+b（k≠0），根据函数解析式的形式得出一次函数的定义。
接着通过特殊实例，得出正比例函数的定义。
而在研究了一次函数的图象和性质后也有一些用一次函数解决简单实际问题的应用，对于一次函数与方程、不等式的关系，通过讨论一次函数与二元一次方程等的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学过的一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程（组）等内容的认识，构建和发展相互联系的知识体系，通过对这一内容的学习，加强知识间横向和纵向的联系，发挥函数对相关内容的统领作用，能用一次函数的观点把以前学过的方程和不等式等进行整合。
第二阶段，在感性认识的基础上，归纳概括出函数的定义，并研究具体的函数及性质，了解研究函数的基本方法，借助函数的知识和方法解决问题等，使得学生能够在操作层面认识和理解函数。
第三阶段，了解函数与其他相关数学内容之间的联系（如与方程之间、不等式之间的联系），使得学生能够一般性的了解函数的概念。
教材中函数的概念和一次函数正比例函数概念都是从实际问题引出的，不仅体现了函数概念的实际背景，反映了数学与实际的联系，也蕴含了用一次函数解决简单实际问题的内容。
在研究了一次函数的图象和性质后也有一些用一次函数解决简单实际问题的应用，这样安排有助于逐步提高学生将实际问题抽象为函数模型的能力。
教材中呈现的一次函数的性质，根据一次函数的图象和表达式y=kx+b（k≠0）探索并理解k＞0和k＜0时，图象的变化情况。
学生根据k＞0和k＜0时观察图象的升降来总结出一次函数的增减性通过这样的探究方式，进一步从数形结合的角度加深对一次函数增减性的理解，进一步体会数形结合的数学思想方法。
1.已知函数y=（2-m）x+2m-3.当m=时,函数为正比例函数,当m时,函数为一次函数.
2.已知△ABC一边AB上的高为8，△ABC的面积y与△ABC的AB边x的关系式.
《一次函数与正比例函数》的教学反思
《一次函数与正比例函数》是八下第四章第二节。
在七下学生已经探索了变量之间关系，在此基础上，本章前一节继续通过对变量关系的考察，让学生初步体会函数的概念，能判断两变量之间的关系是否可看作函数。
本节课进一步研究其中最简单的一种函数——一次函数.让学生理解一次函数和正比例函数的概念，能根据已知信息写出简单的一次函数表达式，并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.
经过了三次磨课过程，最终本节课确定了七个环节:
第一环节:
回顾思考；通过复习函数的定义和表示方式，引入到本节课的主题。
第二环节是情境引入；三个情景都选用了贴近学生生活的例子，即可以让学生体会生活中的一次函数，也可以让学生在分析自变量和因变量关系时能借助于生活经验来完成。
在第一次和第二次的试讲中，这一环节都设置了让学生经历了列关系式的完整过程后，总结出列函数关系式的步骤，但是由于时间紧张，过分关注列关系式的步骤，就会导致重点不突出，相应的练习无法解决等问题，所以在第三次试讲中，果断把这个内容省略，让学生通过老师带领和自己独立列关系式，在潜移默化中生成列关系式的步骤，这个生成的过程延续到第四章全章。
第三环节：
合作互动；在这一环节中，学生以小组合作的形式讨论研究发现的四个关系式的共同特征，顺理成章的归纳出一次函数和正比例函数的一般形式。
第四环节是质疑释难，针对一些有特点，学生容易出错的一次函数，通过填空和解答题的方式加强练习，巩固函数定义。
在第五环节的巩固提高中，通过查阅资料，我将课本中的例题调整成当前执行的所得税政策，在第一次试讲时，发现学生对所得税的分段收税不甚理解，所以在第二次试讲中，增加了举例提问的环节，有效的帮助学生理解题意，也为第三问中，已知所得税确定收入中要先判断收入的范围做好铺垫。
第六环节：
课堂小结；第七环节：
布置作业，作业分为必做和选做两类，选做题选择了表格中找规律的题目，也体现了一次函数的线性变化的性质，为第四章后面的学习打下预设。
经历了三次磨课，对于几个小环节的处理还是不够精细，给学生放手探究问题放得还不够，展现在大家面前的课也并不是一堂完美的课。
但在磨课过程中，让我深深感受到了数学组教研的浓厚氛围和同事们对我的帮助，不论工作年限有多长，通过这次磨课，让我意识到我始终是走在成长的路上，这条路还没有尽头。
“数与代数”领域的课程内容主要包括：
数与式，方程与不等式，函数。
其中函数主要让学生在简单实例中体会到数量关系和变化规律的基础上，能用恰当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，经历具体实例的抽象概括过程，进一步发展学生的抽象思维能力。
能对简单实际问题中的函数关系进行分析。
通过函数概念初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。
北师大版教材“函数”内容，教材在呈现函数内容和思想方法时，采用逐级递进、螺旋上升的原则，即深度和广度方面都有实质性的变化，体现出明显的阶段性要求。
我们梳理了与本节课《一次函数与正比例函数》相关的教学内容，在七年级下第四章学习了变量间的关系；八年级上第四章学习了函数，主要是一次函数与正比例函数；九年级上第五章学习反比例函数；九年级下学习二次函数。
一次函数与正比例函数这一节内容是八年级上第四章第二节内容，这是本章大备课。
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