九年级数学 三角形的重心定义与性质.docx
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九年级数学三角形的重心定义与性质
三角形的重心定义与性质
三角形的重心定义:
重心:
重心是三角形三边中线的交点。
三角形的重心的性质:
1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:
1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);
空间直角坐标系——横坐标:
(X1+X2+X3)/3纵坐标:
(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标:
(Z1+Z2+Z3)/3
5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
如何证明三角形的重心把中线分成2比1的两部分
已知△ABC,D、E、F分别为BC、AC、AB的中点.那么AD、BE、CF三线共点,即重心G.现在证明DG:
AG=1:
2
证明:
连结EF交AD于M,则M为AD中点
EF为△ABC的中位线,
所以EF‖BC且EF:
BC=1:
2
由平行线分线段成比例定理有:
GM:
MD=EF:
BC=1:
2
设GM=x,那么GD=2x
DM=GM+GD=3x
AD=2GM=6x
AG=AD-GD=4x
所以GD:
AD=2x:
4x=1:
2
扩展资料:
重心的性质:
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数,即其重心坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)。
5.以重心为起点,以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
参考资料:
XX百科-三角形重心
三角形的重心的性质及公式
重心是三角形三边中线的交点:
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:
1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
三角形重心是三角形三边每一边的三条中线的交点。
当几何体为匀质物体时,重心与该形中心重合。
在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数,
即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3];
空间直角坐标系——X坐标:
(X1+X2+X3)/3,Y坐标:
(Y1+Y2+Y3)/3,Z坐标:
(Z1+Z2+Z3)/3
扩展资料:
三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明,十分简单。
(重心原是一个物理概念,对于等厚度的质量均匀的三角形薄片,其重心恰为此三角形三条中线的交点,重心因而得名)
在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其重心坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3。
推论:
由性质1可知GA+GB+GC=0
向量BO与向量BF共线,故可设BO=xBF,
根据三角形加法法则:
向量AO=AB+BO
=a+xBF=a+x(AF-AB)
=a+x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b.
向量CO与向量CD共线,故可设CO=yCD,
根据三角形加法法则:
向量AO=AC+CO
=b+yCD=b+y(AD-AC)
=b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b
三角形的重心,把中线分为1:
2两个部分,这个怎么证明
证明:
连结EF交AD于M,则M为AD中点
EF为△ABC的中位线,
所以EF‖BC且EF:
BC=1:
2
由平行线分线段成比例定理有:
GM:
MD=EF:
BC=1:
2
设GM=x,那么GD=2x
DM=GM+GD=3x
AD=2GM=6x
AG=AD-GD=4x
所以GD:
AD=2x:
4x=1:
2
扩展资料
重心的几条性质:
1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:
1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均。
5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
6.三角形ABC的重心为G,点P为其内部任意一点,则3PG²=(AP²+BP²+CP²)-1/3(AB²+BC²+CA²)。
7.在三角形ABC中,过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q,则AB/AP+AC/AQ=3
8.从三角形ABC的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线,所得的6个切点为Pi,则Pi均在以重心G为圆心,r=1/18(AB²+BC²+CA²)为半径的圆周上。
9、G为三角形ABC的重心,P为三角形ABC所在平面上任意一点,则PA²+PB²+PC²=GA²+GB²+GC²+3PG²。
一般证明三角形重心的方法有哪些
重心证明课本上就有,但如果题目一说某某点是三角形的重心,你要联想到重心有这些性质,由于这些性质是被证明了的,所以是可以当定理用的,做题的时候写一句依据重心的性质得出。
。
。
即可
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:
1。
证明一
三角形ABC,E、F是AB,AC的中点。
EC、FB交于G。
过E作EH平行BF。
AE=BE推出AH=HF=1/2AF
AF=CF
推出HF=1/2CF推出EG=1/2CG
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
证明二
证明方法:
在△ABC内,三边为a,b,c,点O是该三角形的重心,AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知,OA1=1/3AA1,OB1=1/3BB1,OC1=1/3CC1过O,A分别作a边上高h1,h可知h1=1/3h则,S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC);同理可证S(△AOC)=1/3S(△ABC),S(△AOB)=1/3S(△ABC)所以,S(△BOC)=S(△AOC)=S(△AOB)
3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。
(等边三角形)
证明方法:
设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)平面上任意一点为(x,y)则该点到三顶点距离平方和为:
(x1-x)^2+(y1-y)^2+(x2-x)^2+(y2-y)^2+(x3-x)^2+(y3-y)^2
=3x^2-2x(x1+x2+x3)+3y^2-2y(y1+y2+y3)+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2
=3(x-1/3*(x1+x2+x3))^2+3(y-1/3(y1+y2+y3))^2+x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2
显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3(重心坐标)时
上式取得最小值x1^2+x2^2+x3^2+y1^2+y2^2+y3^2-1/3(x1+x2+x3)^2-1/3(y1+y2+y3)^2
最终得出结论。
4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,
即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);
空间直角坐标系——横坐标:
(X1+X2+X3)/3纵坐标:
(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标:
(z1+z2+z3)/3
5、三角形内到三边距离之积最大的点。
6。
在△ABC中,若MA向量+MB向量+MC向量=0,则M点为△ABC的重心,反之也成立。
7.设△ABC重心为G点,所在平面有一点O,则向量OG=1/3(向量OA+向量OB+向量OC)
三角形重心分线段为2比1怎么证,要初中生能看懂的
以下两种方法都可以:
1、两条中线相交,连接中位线,取中线被分成的两段中长的那段的中点,四中点连成四边形,证它是平行四边形,用对角线互相平分就行;
2、两条中线相交,连接中位线,中位线等于第三边的一半;证下面两三角形相似,相似比为1/2。
如何证明重心到三角形3个顶点距离的平方和最小
设三角形顶点坐标A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2)
平面上任意点P(x,y).则P于三顶点距离平方和为
S=(x-x0)^2+(y-y0)^2+(x-x1)^2+(y-y1)^2+(x-x2)^2+(y-y2)^2
=[(x-x0)^2+(x-x1)^2+(x-x2)^2]
+[(y-y0)^2+(y-y1)^2+(y-y2)^2]
=[3*x^2-2(x0+x1+x2)*x+x0^2+x1^2+x2^2]
+[3*y^2-2(y0+y1+y2)*y+y0^2+y1^2+y2^2]
注意到中括号中的内容为平方和恒大于0
因此当两个中括号中的内容都取得最小值时,S才能取得最小值.
3*x^2-2(x0+x1+x2)*x+x0^2+x1^2+x2^2是以x为自变量的抛物线,二次项系数大于0,开口向上,根据抛物线的性质,当
x=-b/(2a)
=2(x0+x1+x2)/(2*3)
=(x0+x1+x2)/3
时,3*x^2-2(x0+x1+x2)*x+x0^2+x1^2+x2^2取得最小值.
同理
y=(y0+y1+y2)/3时,3*y^2-2(y0+y1+y2)*y+y0^2+y1^2+y2^2取得最小值.
而我们可以通过重心的定义得出,上面的P点就是三角形的重心.
证毕