一次函数图象的应用含答案推荐.docx
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一次函数图象的应用含答案推荐
一次函数图象的应用
教学目标与要求：
1、能根据函数的图象确定一次函数的表达式，培养学生的数形结合能力。
2、能通过函数图象获取信息，发展形象思维；能利用函数图象解决简单的实际问题，进一步发展数学应用能力。
3、初步体会方程与函数的关系,建立良好的知识体系。
二、学习指导
本讲重点：
（1）根据所给信息确定一次函数的表达式。
（2）正确地根据图象获取信息。
本讲难点：
（1）用一次函数的知识解决有关实际问题。
（2）从函数图象中正确读取信息。
考点指要
一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．利用一次函数和正比例函数的图形解决问题是本节要解决的一个重要问题，这部分内容在中考中占有重要的地位，经常与方程组、不等式等知识联系起来考查．
三．典型例题
例1求下图中直线的函数表达式：
分析：
观察图象可知：
该一次函数图象经过点（2，0）、（0，3），
而经过两点的直线可由待定系数法求出。
解：
设y=kx+b，
∵x=2时，y=0；y=3时x=0
∴2x+b=0且0x+b=3
∴
∴
例2作出函数y=0.5x+1的图象，利用图象，求:
（1）当
时，y的值。
（2）当
时，x的值。
（3）解方程
（4）结合
（2）（3），你能得出什么结论？
（5）若解方程0.5x+1=0呢？
它有什么特殊的几何意义？
（6）何时y>0，y=0，y<0?
解：
列表得
x
0
2
y=0.5x+1
1
2
描点、连线得函数图象：
（1）由图象可知：
当
时，相应的y值分别为-1、1、2.
（2）由图象可知：
当
时，相应的x值分别为-3、0、4.
（3）三个方程的解分别为x=-3、x=0、x=4.
（4）当一次函数y=0.5x+1的函数值为
时，相应的自变量的值即为方程
的解。
（5）当一次函数y=0.5x+1的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程0.5x+1=0的解。
它的几何意义是：
直线y=0.5x+1与x轴交点的横坐标即为方程0.5x+1=0的解。
（6）由图象可知，当x<-2时，y<0；当x=-2时，y=0；当x>-2时，y>0。
说明：
要注意一次函数与相应的一元一次方程的关系。
事实上，利用一次函数图象可解决许多实际问题。
例3一根弹簧长15cm，它能挂的物体质量不能超过18kg，并且每挂1kg就伸长0.5cm。
写出挂上物体后的弹簧长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数关系式，并且画出它的图象。
解：
（0≤x≤18）
经过点A（0，15）、B（18，24）作函数图象
说明：
要注意函数自变量的取值范围。
本题图象为线段AB，而不是直线。
例4某医药研究所开发了一种新药，在实验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（时）的变化情况如图所示，当成人按规定服药后：
（1）服药后时，血液中含药量最高为每升微克，接着逐步衰减；
（2）服药后5小时，血液中含药量为每升微克；
（3）当x≤2时，y与x之间的函数关系式是；
（4）当x≥2时，y与x之间的函数关系式是；
（5）如果每毫升血液中含药量3微克或3微克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间范围是时。
解：
由图象可知：
（1）服药后2时，血液中含药量最高为每升6微克，接着逐步衰减。
（2）服药后5小时，血液中含药量为每升3微克。
（3）当x≤2时，设y=kx，
∵（0，0）、（1，3）在图象上，
∴解得k=3，
∴y与x之间的函数关系式是y=3x。
（4）当x≥2时，设y=kx+b
∵（2，6）、（5，3）在图象上，
∴
解得
∴y与x之间的函数关系式是y=8-x。
（5）如果每毫升血液中含药量3微克或3微克以上时，治疗疾病最有效，那么由图象可知这个有效时间范围是1～5时。
说明：
由函数图象写函数关系式及由函数图象获取相关信息是本讲的重点内容。
例5若一次函数y=kx-3的图象与x轴、y轴的交点之间的距离为5，求此函数的表达式。
解：
由题意k
0,且直线y=kx-3与x轴、y轴的交点分别为（
）、（
）
由勾股定理得，
解得
说明：
直线y=kx+b与x、y轴的交点分别是（
）、（
），这在解题时经常用到。
例6知a为任意实数，且y=ax+1-2a的图象经过一个与a无关的定点，试求该定点的坐标。
解：
不妨令a=1，得y=x-1；再令a=2，得y=2x-3
联立得，x=2、y=1
即它俩都过点（2，1）
又因为y=ax+1-2a中，当x=2时，y=2a+1-2a=1
因此其图象必过定点（2，1）
说明：
事实上，随着a的变化，直线y=ax+1-2a也不相同，但它们都经过定点（2，1）。
这里，先在特殊情形下求交点，再验证一般情形也符合，进而得到一般情形下的结论。
中考试题点拨
例1对于气温，有的地方用摄氏温度表示，有的地方用华氏温度表示，摄氏温度与华氏温度之间存在着某种函数关系．从温度计上的刻度可以看出，摄氏（℃）温度x与华氏（°F）温度y有如下的对应关系：
x（℃）
…
－10
0
10
20
30
…
y（°F）
…
14
32
50
68
86
…
（1）通过①描点；②猜测y与x之间的函数关系；③求解；④验证等几个步骤，试确定y与x之间的函数关系式．
（2）某天，南昌的最高气温是8℃，澳大利亚悉尼的最高气温是91°F，问这一天悉尼的最高气温比南昌的最高气温高多少摄氏度（结果保留整数）？
思路分析
本题主要考查用待定系数法求一次函数的关系式．但结论未定，要求根据点的坐标描点连线，探索，求解并验证．本题既考查了一次函数的基础知识和技能，又考查了能力．
解：
（1）①描点连线，如图6－9所示；
②通过观察可猜测：
y是x的一次函数；
③设y=kx+b．（由于图象是线段，因此猜测是一次函数）
将两对数值
分别代入y=kx+b，
得
（待定系数法求函数关系式）
解得
∴y=1.8x+32；
④验证：
将其余三对数值
分别代入y=1.8x+32，得
1.8×（－10）+32=14，
1.8×20+32=68，
1.8×30+32=86，
（验证是为了看猜测是否正确，让尽可能多的点符合函数关系式）
结果都成立．
∴y与x之间的函数关系式是y=1.8x+32；
（2）当y=91时，由91=1.8x+32，解得
x≈32.8
32.8－8=24.8≈25（℃）．
（注意：
不是91－8，应在同一单位制下进行运算）
答：
这一天悉尼的最高温度比南昌的最高温度高约25℃．
例2某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y（元）是行李重量x（千克）的一次函数，其图象如图6－10所示．求：
（1）y与x之间的函数关系式；
（2）旅客可免费携带的行李的重量．
思路分析
本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，同时考查了在直角坐标系中的读图能力．
解：
（1）设一次函数的关系式为y=kx+b．
∵当x=60时，y=6，当x=80时，y=10，
（这是一个二元一次方程组）
解得
（学会读图）
∴所求函数关系式为
（x≥30）．
（2）当y=0时，
，（注意自变量的取值范围不能遗漏）
∴x=30．
故旅客最多可免费携带30公斤行李．
例3A市和B市各有机床12台和6台，现运往C市10台，D市8台．若从A市运1台到C市、D市各需要4万元和8万元，从B市运1台到C市、D市各需要3万元和5万元．
（1）设B市运往C市x台，求总费用y关于x的函数关系式；
（2）若总费用不超过90万元，问共有多少种调运方法？
（3）求总费用最低的调运方法，最低费用是多少万元？
（总费用y是从A市、B市运往C市和D市的费用和，现将A市、B市运往C市和D市的费用分别表示成为含x的代数式，再求费用和）
解：
（1）设B市运往C市x台，
∴B市运往D市（6－x）台，A市运往C市（10－x）台，A市运往D市[12－（10－x）]台，根据题意，得
y=3x+5（6－x）+4（10－x）+8（2+x），
即y=2x+86．
（2）由题意
2x+86≤90，x≤2．
∵B市最多可运往C市6台，∴0≤x≤6，
∴0≤x≤2，
∴x的取值可为0、1、2共三个数，
∴总费用不超过90万元的调运方法有3种．
（这是一次函数的应用题，自变量x的取值范围应由实际问题决定）
（3）由一次函数y=2x+86知，y随x的增大而增大，
又∵0≤x≤2，
（要学会用一次函数的性质解决问题）
∴当x=0时，y取最小值86．
∴最低费用是86万元，调运方法是B市运往D市6台，A市运往C市10台，运往D市2台．
例4如图6－11，公路上有A、B、C三站，一辆汽车在上午8时从离A站10千米的P地出发向C站匀速前进，15分钟后离A站20千米．
（1）设出发x小时后，汽车离A站y千米，写出y与x之间的函数关系式；
（2）当汽车行驶到离A站150千米的B站时，接到通知要在中午12点前赶到离B站30千米的C处．汽车若按原速能否按时到达？
若能，是在几点几分到达？
若不能，车速最少应提高到多少？
思路分析
这是一道实际问题的应用题，主要考查建立一次函数关系式的能力，求函数值的技能，同时还考查列方程解应用题的能力．
解：
（1）汽车匀速前进的速度为
，
∴y=40x+10．
（2）当y=150+30=180时，
（认真阅读题目，理解题意是解答应用题的关键）
40x+10=180．
解得x=4.25（时），4.25+8=12.25（点）
因此汽车若按原速不能按时到达．
当y=150时，40x+10=150，（理解如何判断能否按时到达）
解得x=3.5．
设汽车按时到达C处，车速至少提高到v千米/小时，则
[（12－8）－3.5]·v=30，
解得v=60．
答：
车速至少提高到60千米/小时．
例5科学家通过实验探究出一定质量的某气体在体积不变的情况下，压强P（千帕）随温度t（℃）变化的函数关系式是P=kt+b，其图象如图6－11所示的射线AB．
（1）根据图象求出上述气体的压强P与温度t的函数关系式；
（2）求出当压强P为200千帕时，上述气体的温度．
解：
（1）∵函数P=kt+b的图象过点（0，100），（25，110），
∴
解之，得
故所求函数关系是
．
（2）当P=200时，由
（1）得
．
解之，得t=250．
即当压强为200千帕时，气体的温度是250℃．
例6如图6－12所示，是某学校一电热淋浴器水箱的水量y（升）与供水时间x（分）的函数关系．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）在
（1）的条件下，求在30分钟时水箱有多少升水？
解：
（1）由图可知y与x的函数关系是一次函数，
（将实际问题转化为数学问题）
设这个函数的关系式为y=kx+b（k≠0），
根据题意得
解得
∴水箱的水量y（升）与时间x（分）的函数关系式是
（10≤x≤50）．
（2）当x=30时，
（升）
（将实际问题转化为求函数值）
∴在30分钟时水箱有100升水．
巩固练习
1、选择
（1）汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内剩余油量Q（升）与行驶时间t（时）的函数关系用图象表示应为（）
（2）某厂今年前五个月生产某种产品的月产量Q（件）关于时间t（月）的函数图象如图所示，则对这种产品来说，下列说法中，正确的是（）
（A）1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月每月产量逐月减少。
（B）1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月每月产量与3月持平。
（C）1月至3月每月产量逐月增加，4、5两月停止生产。
（D）1月至3月每月产量不变，4、5两月停止生产。
（3）如图，一次函数y=kx=b中，若y随x的增大而减小，且kb<0，，则它的图象大致为（）
（4）若点P为y轴上的一点，且点P到点A（4，3）、点B（-2，-1）的距离和最小，则点P的坐标为（）
（A）（0，
）（B）（0，
）（C）（0，
）（D）（0，0）
2、填空
（3）函数y=6－2x的图象经过点（0，）和（，0）。
（4）函数y=5x的图象经过象限。
（5）函数的图象
不经过象限。
（6）当k时，函数y=（2k－1）x+1中y的值随x值的增大而减小？
（7）若y+3与x+2成正比例，且x=3时,y=7，则：
①y与x之间的函数关系式为；
②当x=—1时，y的值为；
③当y=0时，x的值为。
（8）已知一次函数y=kx+3和y=3x+b的图象都经过点A（3，6），且它们分别与x轴交于点B、C，则：
k=；b=；点B坐标为；点C坐标为；△ABC的面积为。
3、
解答
（1）如图，分别求图中直线的函数表达式：
（2）小明将父母给的零用钱按每月相等的数额存放在储蓄盒内，准备捐给希望工程，盒内钱数y（元）与存钱月数x（月）之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题：
①盒内原来有多少钱？
②小明平均每月存多少钱？
③按此规律，小明经过几个月才能存够200元？
（3）全国每年都有大量土地被沙漠吞没，改造沙漠，保护土地资源已经成为一项十分紧迫的任务，某地区现有土地面积100万千米2，沙漠面积200万千米2，土地沙漠化的变化情况如图所示。
①若不采取任何措施，那么到第5年底，该地区沙漠面积将增加多少万千米2？
②若该地区沙漠的面积继续按此趋势扩大，那么从现在开始，第几年底后，该地区将丧失土地资源？
③若从现在开始采取植树造林措施，每年改造4万千米2沙漠，那么到第几年底，该地区的沙漠面积能减少到176万千米2？
（4）某机动车出发前油箱内有油42升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升。
油箱中剩余油量Q（升）与行驶时间t（时）的函数关系如图所示，根据图象回答问题：
①机动车行驶几小时后加油？
②机动车每小时耗油多少升？
③中途加油多少升？
④如果加油站距目的地还有230公里，机动车平均每小时行驶40公里，要到达目的地，油箱中的油是否够用？
（5）下图表示一骑自行车和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象，两地间距离是80千米，根据图象回答问题：
①谁出发的较早？
早多少时间？
谁到达乙地较早？
早多少时间？
②两人在途中行驶的速度分别是多少？
③两车何时相遇？
在什么时间段内两车均行驶在途中？
④分别求出自行车和摩托车行驶过程的函数表达式。
（6）已知一次函数
①求该函数的图象与坐标轴围成的图形的面积；
②求该函数与两坐标轴交点间的距离；
③求原点到直线
的距离。
参考答案
1.
（1）B
（2）B（3）D（4）C
2.
（1）6，3
（2）一、三
（3）三
（4）
（5）①y=2x+1②-1③
（6）1；-3；（-3，0）；（1，0）；12
3.
（1）
（2）40元，20元，8
（3）10，50，12．
（4）5，6，24，够用.
（5）①自行车早出发3小时；摩托车到达乙地较早，早了3小时。
②自行车速度为
10（km/h）；摩托车速度为
40（km/h）。
③两车在行驶4小时时相遇，并在3＜x＜5时间段内行驶在途中。
④由待定系数法可求得：
自行车y=10x；摩托车y=40x－120。
（6）①6②5③
.
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