从数与字母的联结与思考看代数思维的培养.docx
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从数与字母的联结与思考看代数思维的培养
从“数与字母”的联结与思考看代数思维的培养
【摘要】本文以人民教育出版社“义务教育教科书”小学数学五年级上册第五单元“简易方程”的若干内容为范本，以《用字母表示数》等为课例，根据教学中、作业中等学生出现的一系列与“数与字母”教学相关的问题，结合本人的教学实践与听课感悟，探讨并介绍相应的教学尝试、感悟及其策略。
【关键词】数字母字母表示数代数思维
引子：
数与代数是义务教育阶段数学课程的重要内容。
作为数学“核心思想”的代数思维，最早是以“简易方程”的内容呈现在学生面前，而此阶段学生正从算术思维向代数思维过渡，对他们来说代数思维是思维认知上的一次飞跃和挑战，存在着一定的困难。
这个阶段主要是让学生体会代数思维的特点，熟悉代数处理问题的方法，促进学生逻辑思维能力的发展，更好地培养学生代数思维的能力。
一、对“数”与“字母”学与教的理解概述
“数”对于学生来说，经过生活经验的积累和近四年多的学习，学生已经有了一定的认识，孩子们对于数的概念的理解是从具体的实物开始的：
比如1个布娃娃用数字“1”表示，5只小牛用数字“5”表示。
虽然具体的实物的多少已经用抽象的数字来表示，但是在头脑中，孩子们对于数的理解还是停留在具体的数、是可知的、可以确定数量的数。
教学中，很多老师认为学生已经学习过各类运算定律和各类面积用字母表示的方法，也认为学生已经有了一定的抽象思维的能力，所以在教学中我们经常采用教材中的关于年龄的素材来建立数与字母之间的联系，构建学生对数与字母的思维方式。
这种强化式的记忆一时来说达到了效果，但是后面的问题接踵而至，特别是让学生解方程和用方程解决问题时，学生的代数思维能力大打折扣。
这就要求我们来寻找产生问题的“根”？
这或许就是我们没有找准当初的“因”，才产生了如今尴尬的“果”，也就是我们必须在学生学习第一堂课《用字母表示数》时让学生扎好“数与字母”联结的“根”。
二、对“数与字母”教学的思考与实践
我们知道学生经过四年多的数学学习，大量地进行了算术思维的训练。
而代数思维具有高度的抽象性，运用代数知识解决问题，需要颠覆他们以前的一些观念，寻找一种与原先思维逆向思考的方式进行思考，可谓困难重重。
但是很多教学“重结果，轻过程；重形式，轻思维”，自认为已经经历了过程，其实过程留于形式，导致学生“知其然，却不知其所以然，模模糊糊”。
问题的根源在课堂，回归课堂，深思慎教，寻“因”找“根”。
以下是笔者在实践中由若干问题引发的一系列思考与实践，以触类旁通，找寻教学的真谛。
思考1：
教材的年龄素材，找准了学生的最近发展区了吗？
在教学中我们经常会使用这样的类似年龄的素材或者情境（见下图）来展开教学。
在这样的教学中会有学生提出问题：
“a+30到底等于多少？
”
分析：
这是因为学生对于运算客体的扩充无所适从。
如代数式中的a+30即可被视为a和30相加的运算过程，也可被视为一个运算结果，但是学生无法理解这个可以表示结果，也表示他们之间的关系。
这样的教学，我们是否应该思考教学素材的问题：
小红的年龄、爸爸的年龄是可知的吗？
爸爸与小红之间的年龄之差是确定的吗？
而我们教学所要达到的效果是让学生建立当小红的年龄是a岁时，爸爸的年龄是a+30岁，a+30既要表示爸爸的年龄，又体现爸爸的年龄与小红的年龄之间的关系，也就是a+30既要表示一个数，也要表示一种关系，即要建立用字母来表示数的一种形式，同时建立数与字母的联结。
那么这样的教学能真正达到所要表达的效果吗？
答案是值得商榷的。
【对策】在“丰富感知”中，找准最近发展区
小学生的思维以形象为主，逐步向抽象过渡。
笔者认为教师应以直观形象的教学为起点，在具体事物、用数来表示具体可确定事物、用字母来表示不确定事物间的沟通联系中架设学习的桥梁，在具体可知、可确定的状态下逐步向不可确定的状态下过渡，同时建立数与字母的联结。
通过多种途径丰富学生的感知，帮助学生建立清晰、深刻的“数与字母”的联结，唤醒、激活学生的已有知识经验和思维，从而成功实现建立“数与字母”的关系表象，培养学生的代数思维。
1、关注“数”的起点
学生的生活经验和四年的数学学习经验给了学生很多的关于“数”的强化熏陶。
许多孩子认为，“数”是一个表示具体事物有多少，是可确定的和已知的，让他们头脑中一下子建立字母也表示数的多少，对孩子们来说简直是不可思议的，于是就出现了思维上的偏差和混乱。
如教学《用字母表示数》一位教师采用了出示儿歌：
“1只青蛙1张嘴；2只青蛙2张嘴；3只青蛙3张嘴……”
师：
同学们读一读，能接着说下去吗？
说得完吗？
那能不能用一句话来概括呢？
生：
有多少只青蛙就有多少张嘴。
师：
还可以用字母来表示，比如，（n）只青蛙（）张嘴，怎么填？
生：
（n）只青蛙（n）张嘴。
师：
很好，那么如果让你继续填下去，（n）只青蛙（n）张嘴，（）只眼睛（）条腿。
应该怎样填？
生：
（n）只青蛙（n）张嘴，（n）只眼睛（n）条腿。
师：
还有吗？
生：
（n）只青蛙（n）张嘴，（a）只眼睛（b）条腿。
到这里为止，学生的代数思维有了向前发展，但是孩子们的这种思维还是比较混沌的，搞不清里面所存在的关系。
如果能够梳理清楚让孩子们建立“数”→“字母”（即已知确定→未知不确定）的思维联系，那么学生的思维就清晰了。
比如一位特级教师是这样上的：
师：
（出示一个空的信封）这个可以用什么表示？
生：
0
师：
（放入一支粉笔）现在可以怎么表示？
生：
1。
师：
（再放入两支粉笔）现在可以怎么表示？
生：
3。
师：
（将信封放到讲台底下躲起来放若干粉笔，再把信封拿上来）现在可以怎么表示？
生：
5
生：
6
生：
4
生：
8
生：
10
生：
n
生：
不知道
师：
为什么会有这么多答案？
他们说的都对吗？
你真的知道现在里面放了几只粉笔了吗？
生：
无法确定
师：
对了，确定的我们用数字表示，不确定的我们用字母表示，可以用a来表示，也可以用b来表示。
这样的教学找准了学生“数”的起点，找准了学生思维发展的路径，为建立“数与字母”的关系奠定了基础，并渗透了代数思维。
2、重视“字母”内涵
学生对于“字母”的理解很多是生活经验和其他学习经验（比如数学运算定律、面积计算公式，英语26个字母等），对孩子们来说用字母表示数，一下子几乎难于接受，字母怎么就是数呢？
为此笔者做了一个学前问卷。
（见下图）
从学生的问卷我们可以看出学生的思维还带有形象思维的特征，生活经验和已有的数学认知使孩子们对“字母”的理解还很肤浅，这就要求我们帮助孩子建立用“字母”来表示数的内涵。
一位特级老师是这样来解决这个问题的。
师：
（出示第二个信封，将信封放到讲台底下躲起来放若干粉笔，再把信封拿上来）现在有几根粉笔？
生：
a根
师：
怎么又是a根呢？
（拿出第一个信封）难道和它一样吗？
生：
b根
师：
你们觉得用a表示好还是用b表示好？
生：
b
师：
对，不同的情况可以用不同的字母表示，那么a和b谁大呢？
生：
a大
生：
b大
生：
一样大
生：
不知道
师：
遇到这样的情况，以后不要说不知道，你可以说有三种可能分别是a＞b、a＜b、a＝b
师：
下面我来考考大家（请一位学生上来），你有几根头发？
生：
a根
师：
我有几根头发（指着自己半秃的头问）？
生：
a根
师：
是a根吗？
生（马上改口）：
b根
师：
现在你能告诉我a和b谁大吗？
生：
有三种情况，分别是a＞b、a＜b、a＝b
师：
真是这样子的吗？
（全班哄堂大笑）
师：
你们为什么大笑啊？
生：
应该是a＞b
师：
对，不同的情况用不同的字母表示，不同的字母表示的时候在不同的情况下是有大小的。
这样的教学让孩子们经历了字母表示数所诠释的内涵。
不同的情况要用不同的字母表示，不同的字母在不同的情况下表示数是有大小的，真正沟通了数的大小和字母表示多少之间的内在联系，培养了学生的代数思想。
思考2：
为什么学生解方程时仍旧会出现算术思维呢？
学生经过多年的数学学习，头脑中已经非常多的强化了算术思维，对一下子转换到用代数思维去解方程非常得不适应，即使老师更多地有意强化它，但学生对于利用等式性质来解方程还是存在着模式化痕迹，对等式的意义理解还很肤浅。
下面是笔者在教学《方程的意义》和《解方程》后一位学生的作业。
这位学生采用递等式做计算题的方式来解方程，可以让我们看出他已经掌握了一点方程的意义和解方程的方法，但还是模模糊糊。
在他的头脑中或许已经有这样的意识：
就是要利用等式的性质来解方程。
但是，他对解方程的方法还是模式化的，没有真正掌握利用等式的性质来解方程，还带有算术思维的较强痕迹。
学生用这种算术形式解方程，让我们感到我们的教学肯定存在着问题。
【对策】在“不断浸泡”中，理解等式的性质
等式的性质是解方程的重要知识支撑，学生只有真正掌握了、吃透了等式的性质，才能真正采用代数的思维来解方程。
之所以会出现这种形式化的和算术形式的解方程，是因为孩子们对等式的性质、意义没有理解透彻，只是建立了肤浅的，表面化的、形式化和模式化的方法，喜欢去套格式。
这就要求我们把孩子们的思维在等式的性质中“泡”透，“吃饱喝足”方能“正确赶路”。
1、做厚等式性质
教材中关于等式性质的教学例题比较简单，且只安排1个课时，加上练习最多也就2个课时，这样的素材和课时要想扭转长期以来学生建立的算术思维，难度是非常大的。
这就要求我们需要借助多种手段和方法，深挖教材，沟通“数与字母”在等式性质中的内在联系，让学生真正吃透等式的性质。
比如一位老师在教学等式的性质是这样的：
师：
（出示天平图，如右下图）如果把平衡中的天平看成一个等式，可以用什么来描述天平现在的状况？
生：
20=20
师：
如果左边加10克，要使天平继续平衡，你准备怎么办?
在这个过程中你用什么来描述刚才发生的情况？
生：
在右边也加上10克，可以写成20+10=20+10
师：
如果在天平右边继续加50克，要使天平继续平衡，你怎么办?
在这个过程中你准备怎样描述？
生：
在左边也加上50克，可以写成20+10+50=20+10+50
师：
现在天平两边都有80克了，现在同时拿掉20克，你怎么表示这个过程和结果？
生：
80-20=80-20
师：
再同时拿掉10克呢？
生：
80-20-10=80-20-10
师：
观察20=20，20+10=20+10，20+10+50=20+10+50，80-20=80-20，80-20-10=80-20-10，你发现了什么？
生：
等式的两边只要同时加上或者减去同一个数，大小是不变的
这一环节中等式的性质仍需借助天平来帮助理解，所以通过天平直观演示活动，让学生体会到天平左右两边同时加上或减去相同质量，天平保持平衡，初步体会等式的性质。
天平只是个载体，目的是通过直观去感受变化特点，让学生较快地从天平走向等式，培养学生的代数思想。
师：
（出示另一个天平图，如右下图）请你用一个等式来表示天平现在的状况？
生：
x+20=10+20+20
师：
如果左边再加上10克，要使两边平衡，该怎么办？
你怎么表示这个过程和结果？
生：
x+20+10=10+20+20+10
师：
如果这时候左边再加上x克，要使天平继续平衡，你怎么办？
请写出你的等式。
生：
右边也加上x克，可以写成x+20+10+x=10+20+20+10+x
师：
左边如拿掉20克，继续平衡该怎么办？
该怎么表示？
生：
右边也拿掉20克，表示为x+20+10+x-20=10+20+20+10+x-20
师：
如果右边现在拿掉x克，该怎么办？
该怎么表示？
生：
左边也拿掉x克，可以写成x+20+10+x-20-x=10+20+20+10+x-20-x
生：
就是变成了x+20+10-20=10+20+20+10-20
师：
如果左边继续拿掉x克呢？
生：
右边也要拿掉x克，可以这样表示x+20+10-20-x=10+20+20+10-20-x
生：
太复杂了，可以写的简单点就是10=40-x
师：
请同学们观察刚才所有的等式，你发现了什么？
生：
等式的左右两边可以同时加上或者减去同一个数。
生：
还可以同时加上或减去一个相等质量的物体，比如我们同时加上了x克，减去了x克。
师：
对，我们可以在等式的两边同时加上或者减去同一个数，这个数可以是具体的数字，也可以是未知的数字，如字母x或者字母a等，还可以是符号☆、△等，只要两边加上或者减去的是同一个就行。
借助天平让学生列出等式，围绕“在这个等式中怎么变化？
但变化后等式仍然成立。
”这个问题，促使学生利用前面的学习经验探索应用，引导学生在比较、分析、抽象、概括等思维活动中进一步发现等式的一般规律，培养学生的代数思维。
这样的教学巧妙地沟通了“数与字母”在等式性质中的联系，为学生利用等式的性质来解方程打下了良好的基础。
2、做薄解题技巧
教材中和作业中关于解方程的类型和技巧都是分散的、凌乱的，即使在复习与练习中也没有进行归纳和小结，孩子们解方程往往很“散”（即胡乱套用），形式也很散乱，有递等式形式的、有递等式和方程一起出现形式的，没有形成统一的格式、方法和技巧，造成了“神”散“形”散的现状，这就要求我们要在教学中善于给孩子们归纳总结，找到共性的方法和技巧。
第一，聚“神”散为“神”不散，归纳类型。
根据本册课本和作业本出现的方程，将解方程归纳为以下几类：
（1）5+x=20；
（2）5x=20；（3）20÷x=5；（4）5x±5＝20；（5）5（x±5）=40；（6）5x±4x＝90；（7）5x±6×10＝90；（8）（20+2x）×5=500；（9）（200-2x）×5=500；（10）（20+2x）÷5=100、（200-2x）÷5=20等方程。
不管怎样类型的方程，都要让孩子们进行尝试解答，在解答过程中反思归纳，无论哪种类型的解方程，都要把一个未知数或未知数所在式子看成一个整体，采用等式的性质，逐步消去已知数，最后求出X的值。
第二，聚“形”散为“形”不散，统一格式。
每次解方程要先写“解”；“=”要对齐，每个等式占一行；根据等式的性质，使方程左边只剩下x;最后检验，把x值代入原方程，看看左右两边是否相等。
思考3：
本该用方程来解决的问题，学生为什么喜欢用算术思维来解决？
在教学中我们经常发现，学生学习了《用字母表示数》、《方程的意义》、《解方程》、《用方程解决问题》等后还是喜欢用算术思维来解决问题，这究竟是什么原因导致的呢？
为此笔者在学习简易方程这个单元之前，对学生进行了学前问卷，发现孩子们算术思维非常明显。
（见下图）
通过问卷，发现孩子们喜欢用算术思维来列方程。
（见左图）产生这种状况的主要原因，笔者认为主要是教学上出了问题，没有真正把“数与字母”的内在联结让学生吃透，学生只浮在知识的表面，只有让学生真正理解、浸润吃透了“数与字母”的内在联结，搞清数量关系，才能用代数的思维来列方程。
【对策】在“不断感悟”中，建立数量关系
孩子们经过多年的学习，已经强化和习惯了采用算术思维来解决问题，要一下子用代数的思维来解决问题，需要经历一个感悟、发现的过程，在未知和已知之间逼出和建立联系，制造联结，这样才能让学生真正学会用方程解决问题。
1、理解式子意义
教材中在学习《用字母表示数》时其实已经孕伏着方程的意义。
如果在教学第一课时《用字母表示数》时，渗透孕伏方程的意义，逼出数与字母的关系，学生理解起来就水到渠成了。
一位特级教师在《用字母表示数》时是这样教学的：
师：
孩子们，现在会场里有多少人啊？
生：
a人。
师：
学生有多少人啊？
生：
56人。
师：
老师有多少人啊？
生：
b人。
师：
是b人吗？
生：
c人。
师：
现在不能用b人、c人或者其他字母来表示老师的人数，那你怎么来表示老师的人数啊？
生：
可以用a-56表示老师人数。
师：
那你从a-56中看出了什么啊？
生：
a-56可以表示老师的人数
生：
a-56还可以表示老师人数和总人数相差56人。
生：
还可以看出学生人数是56人。
通过这样的教学，在理解式子的意义中，吃透未知和已知的关系，建立“数与字母”的联结，培养学生的代数思维，从而为真正理解方程作好蛰伏。
2、吃透数量关系
在列方程的教学中，我们最感到束手无策的是学生的方程问题列不出来，其关键是数量关系无法梳理，等量关系建立不起来。
如“故宫面积是72万平方米，比天安门广场面积的2倍少16万平方米。
天安门广场面积是多少万平方米？
”。
我们老师认为数量关系非常明确“天安门广场的面积×2－16=72”，而有相当部分的学生就是找不到，往往是列出“2X=72-16”对于这样的问题，我们该怎么解决呢？
第一：
数形结合，帮助学生建立数量关系。
对于这样的问题，学生思路是混乱的，如果把这些文字信息画成线段图，从分析线段图中吃透数量关系，我想学生解决起来旧容易多了。
如果达到一定的量的练习了，也可以让学生看到这些文字信息想象头脑中应该有怎样的图，据图列方程，问题自然迎刃而解。
第二，掌握技巧，帮助学生理清思路。
在教学时具体可以分这样几步：
（1）明确条件和问题；
（2）分析问题中已知量和未知量的相等关系；（3）把数量间的相等关系“翻译”成未知数X和已知数之间相等关系的方程。
这样的过程就是为学生建立数学模型的过程，学生也容易掌握这个解题技巧。
结语：
学生对“数与字母“的联结是以丰富的生活经验和数学经验为基础，在活动、感悟、体验的不断“浸泡”中逐步建立、形成、强化和发展起来的，非一朝一夕就能成就的。
只要教师抓住学生的起点，找准学生的发展点，聚焦关键问题，坚持沿着“形象→表象→抽象→表象→形象”的轨迹不断循环，学生对于“数与字母”的联结就会从无到有，由少到多，由模糊走向清晰，由清晰走向深刻；学生的代数思维也会由弱到强，由低到高，不断提升。
参考文献
1．中华人民共和国教育部制订《义务教育数学课程标准（2011年版）》人民教育出版社
2.《义务教育数学课程标准（2011版）解读》北京师范大学出版社
3.张丹《小学数学教学策略》北京师范大学出版社
4．义务教育教科书五年级上册数学人民教育出版社
5．汤卫红《培养学生代数思维意识的途径》《教学月刊小学版》2011.4
6．曹一鸣王竹婷《数学“核心思想”代数思维教学研究》《数学教育学报》2007年2月
7．李静刘志扬宋乃庆《基于多元表征发展代数思维的教学模式研究》西南师范大学学报（自然科学版）2011年6月
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