244弧和扇形面积.docx

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244弧和扇形面积

24.4弧长和扇形面积

一、内容和内容解析

1、内容

弧长和扇形面积公式

2、内容解析

弧长和扇形面积公式是与圆有关的计算中的两个常用公式.应用弧长和扇形面积公式可以计算一些与圆有关的图形的周长和面积，也可以解决一些简单的实际问题.学习这两个公式也为圆锥侧面积公式的推导打下了基础.

弧长公式是在圆周长公式的基础上，借助部分整体之间的联系推导出来的.运用相同的研究方法，可以在圆面积公式的基础上推导出扇形面积公式，进而通过弧长公式表示扇形面积.

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：

弧长和扇形面积公式的推导及运用.通过计算弧长和扇形面积来突出重点

二、目标和目标解析

1、目标

（1）理解弧长和扇形面积公式，并会计算弧长、扇形面积.

（2）在弧长和扇形面积计算公式的探究过程中，感受转化、类比的数学思想.

2、目标解析

达成目标

（1）的标志是：

学生能够理解10的圆心角所对的弧长等于圆周长的

，所对的扇形面积等于圆面积的

；能够发现n0的圆心角所对的弧长和扇形面积都是10的圆心角所对的弧长和扇形面积的n倍；能利用弧长表示扇形面积，并能利用公式计算弧长和扇形面积.

达成目标

（1）的标志是：

在弧长和扇形面积公式的推导过程中，发现弧长与圆周长、扇形面积与圆面积都是部分与整体之间的关系，从而将计算弧长和扇形面积的问题转化为求圆周长和圆面积的一部分来解决，体会转化、类比的数学思想.

三、教学问题诊断分析

圆的周长和面积公式都是学生已经掌握的内容，学生能够感知到弧长和扇形面积分别与圆周长和面积有关，但是对于公式推导过程中圆心角的作用不易理解.教师可以利用特殊情况进行引导：

先知道的3600的圆心角所对的弧长即圆的周长；然后求10的圆心角所对的弧长；再通过求20，50的圆心角所对的弧长，逐渐认识弧长；最后探索n0的圆心角所对的弧长；并通n0圆心角与10圆心角的倍数关系得出弧长公式.扇形面积公式的推导过程也类似.

基于以上分析，本节课的教学难点是：

弧长和扇形面积的推导及运用.通过利用弧长和扇形面积解答实际问题来突破难点

四、教学过程设计

1、创设情景，揭示课题（时间约3分钟）

出示问题：

如图，AC是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果AO=45cm，CO=5cm，当AC绕点O顺时针旋转90°到达BD时，则雨刷器AC扫过的面积为多少平方厘米？

（结果保留π）．

设计意图：

从学生熟悉的问题情景引入课题，从而吸引学生的注意，激发学生的学习兴趣，感受数学来源于生活。

直观教学，引出课题，从而确立学习目标.

2、推导并应用弧长公式（时间约13分钟）

问题1：

我们知道，弧长是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分，如何计算圆周长？

如何计算弧长？

师生活动：

面对这样的问题，学生能够感知弧长与半径和圆心角有关，但不易推导出弧长公式.此时教师可继续追问.

教师追问1：

（1）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？

（2）在同圆或等圆中，每一个10的圆心角所对的弧长有怎样的关系？

（3）10的圆心角所对的弧长是多少？

（4）n0的圆心角所对的弧长是多少？

师生活动：

教师引导学生回答问题

（1）～（4）：

（1）360°，

（2）相等，（3）圆周长的

，（4）1°的圆心角对弧长的n倍，若学生不能顺利解决问题（4），教师可通过实例再引导.

教师追问2：

（1）你会计算半径为R，圆心角为1°的弧长吗？

（2）你会计算半径为R，圆心角为2°的弧长吗？

（3）你会计算半径为R，圆心角为5°的弧长吗？

师生活动：

教师引导学生获得

（1）～（3）的解答：

（1）1°的弧长是圆周长的

，为

；

（2）2°是1°的2倍，所以弧长也是1°的弧长的二倍，为

；（3）5°是1°的5倍，所以弧长也是1°的弧长的5倍，为5×

.

设计意图：

引导学生关注圆心角的大小，让学生体验弧长公式的推导过程.

教师追问3：

当半径为R，圆心角为n°时，你能计算出弧长是多少吗？

师生活动：

学生独立思考，n°的圆心角所对的弧长是1°的圆心角所对弧长的n倍，半径为R的圆周长为

，利用10的圆心角所对的弧长

，再乘n，就可以得到n0的圆心角所对的弧长为

.

此时教师还要强调公式中n的意义，n表示10的圆心角的倍数，它是不带单位的，公式中180也是不带单位的.

设计意图：

让学生经历从整体到部分的研究过程，从圆周长公式出发推导出弧长公式.

教师追问4：

弧长的大小由哪些量决定？

师生活动：

学生独立思考，在弧长公式中，180和

是常数，n和R是变量.弧的长度与圆心角的度数和圆的大小（半径）有关：

当圆的大小一定时，圆心角越大，弧的长度越大；当圆心角的度数一定时，圆越大，弧的长越大.

设计意图：

通过辨析弧长公式，让学和加深对公式的理解.

例1制造弯形管道时，经常要先按中心线计算（展直长度，再下料，试计算图所示的管道的展直长度L（结果取整数）.

师生活动：

（1）学生分析题中条件和解题思路：

管道由三个图形组成，要求展直长度L，需要知道两条线段长和弧长；其中线段长已知，要求弧长需要知道圆心角和半径；而圆心角和半径题目都已经给出了，由弧长公式即可求出，进而可求出展直长度L.

（2）学生独立完成解题过程，一名学生板书，师生共同交流.

设计意图：

通过实际问题，加深学生对弧长公式的认识.

练习一：

1、如图：

在△AOC中，∠AOC=900，∠C=150，

以O为圆心，AO为半径的圆交AC于B点，若OA=6，

求弧AB的长。

2、填空：

（1）已知圆的半径为10cm,半圆的弧长为（）

（2）已知圆的半径为9cm，60°圆心角所对的弧长为（）

（3）已知半径为3，则弧长为π的弧所对的圆心角为（）

（4）已知圆心角为150°，所对的弧长为20π，则圆的半径为（）

3、一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板沿水平线翻滚（如图）,那么B点从开始至B2结束所走过的路径长度_______.

4、边长为2的正方形木块在水平地面上翻滚两周（如图所示）后，顶点A所经过的路径总长为_______.

5.如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的弧长之和为．

6.如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外离,它们的半径都是1,顺次连接四个圆心得到四边形ABCD,则图形中四个扇形（空白部分）的弧长之和是___________.

师生活动：

学生分组讨论，解决问题，并选代表回答问题.

设计意图:

对弧长公式进行辨析，半径和圆心角的大小都对弧长的大小有影响.巩固弧长公式.

3.推导并应用扇形面积公式（时间约13分钟）

问题2同学们已经学习过扇形了，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做忘形.如何计算扇形面积？

你能否类比弧长公式的方法推导出扇形面积的公式？

师生活动：

学生独立思考并讨论.类比弧长公式的研究过程，可以发现在半径为R的圆中，3600圆心角所对的扇形面积就是圆的面积S=

R2,所以10的圆心角所对的扇形面积是圆面积的

，即

则n0的圆心角所对的扇形面积为S扇形=

.

设计意图：

类比弧长公式的发现过程，由学生独立思考、归纳出扇形面积公式.

问题3比较扇形面积公式和弧长公式，你能用弧长表示扇形面积吗？

师生活动：

学生独立思考并讨论.通过观察可以发现扇形面积公中，分子含有因式

，则分子

可写成

·R;分母360可写成180

2.所以可以用弧长来表示扇形面积，S扇形=

=

=L

所以S扇形=

.其中

为扇形的弧长，R为半径.

此时教师可以引导学生，扇形面积的另一个计算公式

与三角形面积公式类似，只要把扇形看作是一个曲边三角形，把弧长看成底，半径R看成高就可以了.

设计意图：

通过对比弧长和扇形面积公式，让学生发现可以通过弧长表示扇形面积，为圆锥侧面积公式的推导做准备.

练习二：

1、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积

S扇形=.

2、已知扇形面积为，圆心角为60°，则这个扇形的半径R=____．

3、已知半径为2cm的扇形，其弧长为，则这个扇形的面积，S扇形=

师生活动：

学生分组讨论，解决问题，并选代表回答问题.

设计意图:

对扇形面积公式进行辨析，半径和圆心角的大小都对扇形面积的大小有影响.巩固扇形面积公式.

4、规律提升（时间约13分钟）

例2如图水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）

变式：

如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01cm）.

教师追问：

（1）你能否在图中标出截面半径和水高？

（2）分析截面上有水部分图形的形状，如何求它的面积？

师生活动：

（1）教师通过问题引导学生分析解题思路，并画出相应的图形，然后分析有水部分的形状为弓形，从而确定了弓形面积的计算方法（扇形面积减或加三角形面积）.进而通过已知求出相应线段和圆心角即可解决本题.

（2）学生独立完成解题过程.

（3）师生共同分析板书学生的解题过程.

设计意图：

结合具体例子介绍弓形的面积，加深学生对扇形面积公式的认识.同时小结不规则图形的解法：

若图形为不规则图形时，要把它转化为规则图形来解决.

练习三：

1、如图，AC是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果AO=45cm，CO=5cm，当AC绕点O顺时针旋转90°到达BD时，则雨刷器AC扫过的面积为多少平方厘米？

（结果保留π）．

2、如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D两两不相交，且半径都是2cm，求图中阴影部分的面积.

3、如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为个平方单位．

4、.如图，正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、C为圆心，以为半径的圆相切于点D、E、F，求图中阴影部分的面积．

5、如图，A是半径为1的圆O外一点，且OA=2，AB是⊙O的切线，BC//OA，连结AC，则阴影部分面积等于多少？

师生活动：

学生分组讨论，解决问题，并选代表回答问题.

设计意图:

利用所学知识解决实际问题，计算平面图形的面积问题是常见题型，求平面阴影部分的面积是这类问题的难点。

不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分解和组合图形。

5、小结（时间约3分钟）

教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：

（1）弧长和扇形公式是什么？

你是如何得到这两个公式的？

如何运用?

（2）弧长与圆周长，扇形面积与圆面积之间有什么联系？

设计意图：

通过小结，使学生梳理本节课所学内容，把握本节课的核心-----弧长和扇形面积公式，并体会部分与整体之间的联系和类比、转化的数学思想.

6、布置作业

教科书115页习题第1、2、3、5、6题

五、目标检测设计

1、已知扇形AOB的半径为10cm，∠AOB=60°，求弧AB的长和扇形AOB的面积？

2.如果一个扇形面积是它所在圆的面积的，则此扇形的圆心角是_________

3、已知扇形的半径为6cm,扇形的弧长为πcm,则该扇形的面积是______cm2,扇形的圆心角为______°.

4、如图，等边△ABC的边长为12cm，内切⊙O切边BC于D点，则图中阴影部分的面积为_________.

5、如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为_________.

6、如图，从P点引⊙O的两切线PA、PB，A、B为切点，已知⊙O的半径为2，∠P＝60°，则图中阴影部分的面积为_________.

设计意图：

考查学生对弧长及扇形面积公式的掌握，考查学生综合应用所学知识的能力.

24.4弧长和扇形面积

教学设计

牡丹江市大团逸夫学校李晶