立体几何中的截面解析版.docx
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立体几何中的截面解析版
专题13立体几何中的截面
【基本知识】
1・截面定义：
在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。
其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。
最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。
2.正六面体的基本斜截面:
横截
竖截
斜戳
正六面休
正方形
正方形丿矩形
如上图所示
3、圆柱体的基本截面：
正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：
直角三角形、钝角三角形、直角梯
形、正五边形。
（1）
（2）（3）
（1）（5）
竖越
斜裁
囲柱休
国形
矩形
如图（3）、⑷、（5）
【基本技能】
技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题；
技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；
技能3.猜想法求最值问题：
要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征动中找静八如正三角形、正六边形、正三棱锥等；技能4.建立函数模型求最值问题：
①设元②建立二次函数模型③求最值。
例1—个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是
分析考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D。
例2如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD-AiBxCiDi容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：
1水的部分始终呈棱柱状；
2水面EFGH的面积不改变；
3棱AQ丄始终与水面EFGH平行；
4当容器倾斜到如图5
（2）时,BE-BF是定值；
其中正确的命题序号是
分析当长方体容器绕BC边转动时.一盛水部分的几何体始终满足棱柱定义.故1正确；在转动过程中EH//FG.但EH与FG的距离EF在变.所以水面EFGH的面积在改变，故2错误；在转动过程中，始终有BC//FG//AQ-所以AiDi//面EFGH,3正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5
（2）,因为V爪弓BEBFBC是定值，又BC是定值，所以BEBF是定值，即4正确：
所以正确的序号为134.例3有一容积为1立方单位的正方体容器ABCD-AiBiCiDx,在棱AB、BB’及对角线BiC的中点各有一小孔E、F、G,若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是（）
分析本题很容易认为当水面是过E、F、G三点的截面时容器可装水的容积最大图
（1）,最大值为
1117
V=l=-立方单位，这是一种错误的解法，错误原因是对题中"容器是可以任意放置“的理解不
2228
够，其实，当水平面调整为图
（2）AEBxC时容器的容积最大，最大容积为V=llll=故
32212
选C。
例4正四棱锥P-ABCD的底面正方形边长是3,0是P在底面上的射影，PO=6,Q是AC上的一点,过0且与P43D都平行的截面为五边形EFGHL、求该截面面积的最大值.
解如图，连接AC•设截面与正四棱锥P-ABCD的底面相交于ELAC与EL相交于0点，由BD//
截面EFGHL得LE//BD,AP//截面EFGHL.得AP//0G,那么，EL必定分别与AB.AD相交于
E丄否则，截面将是三角形，则APIIEF、AP//LH9在正四棱锥P—ABCD中，BD丄AP,由
LE//BD,AP//QG,ZGQE是异面直线BD与Pl所成角、则0G丄£厶所以，GFEQ和GMQ是两个全等的直角梯形.
372-—由AP//EF得竽=耳，故EF=^=（3-x）,而AQ=^,由AP//QG得卑=飞咅7?
227?
所以，当x=2时，截面EFGH厶的面积取得最大值9
基本方法介绍
1公理法：
用平面基本性质中的公理来作平面；
2侧面展开法：
将立体图形展开为平面图形进行研究；
例5能否用一个平面去截一个正方体，使得截面为五边形？
进一步，截面能否为正五边形呢？
解：
如图所示，我们可以用一个平面截一个正方体ABCD-A^C}DX，使得截面为一个凸五边形.
1AT1
点/是延长线上一点，使得=E为人卩的中点，F为上的点，使得—=截面
2A{F3
GEFGH为过直线EF与CJ（这里EF//C}I）的平面与正方体ABCD^A}B{C}D}相截所得的凸五边形截面.
用一个平面去截一个正方体所得截面不能是一个正五边形•事实上，若截面可以为一个正五边形，则此
五边形的五条边分属于此正方体的五个不同的面.
我们将正方体的每两个相对的面作为一个抽屉，则上述包含正五边形的边的五个面中，必有两个面为
相对的平面，它们是平行的，利用平行平面的性质，可知此五边形中有两条边是平行的.但是正五边形的五条边是彼此不平行的，矛盾.
例6已知一个平面截一个棱长为1的正方体所得的截面是一个六边形（如图所示），证明：
此六边形的周
证明：
如图，我们将正方形的各个面依次展开，从正方形PQQP出发，依次为
PPQQ、QQRR,QRSP\RSSR、SSPP、PSRQ.
从上述展开图可知截面六边形的周长大于等于AA,而必‘=732+32=3迈这就是要证的结论.
【针对训练厂
一、单选题
1-【江西省吉安市2019-2020学年高二上学期期末数学】
在正方体ABCD-A^C^中，F为AD的中点，E为棱上的动点（不包括端点），过点B、E,F的平面截正方体所得的截面的形状不可能是（）
A.四边形B.等腰梯形C.五边形D•六边形
【答案】D
【解析】不妨设正方体的棱长为1,当0vDE<-,截面为四边形BMEF；
2
故选：
D
2.【2020届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三上学期期末】
如图圆锥PO,轴截面少3是边长为2的等边三角形，过底面圆心O作平行于母线少的平面，与圆锥侧面
的交线是以F为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其顶点F的距离为（）
P
A"B冷
【答案】D
【解析】
D
过底面圆心O作平行于母线少的平面，与圆锥侧面的交线是以F为顶点的抛物线的一部分，PAy平面
PAB,平面PAB与圆锥的侧面交于0E所以OE||PA.
因为0A二0B,所以0E二1二0C,
因为0P丄底面ABC,所以0P1OC,
因为0C丄0EOPQEU平面PABQPCOE二0,
所以OC丄平面PAB,所以OC丄OB.
在平面CED内建立直角坐标系•设抛物线的方程为y2=2px（p>0）,
vC（l,l）,.\1=2/?
/.p=,
所以该拋物线的焦点到其顶点F的距离为丄.
4
故选：
D
3•—个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则该截面的面积是（）
A・AB.V10C・y/\5D•yfj
【答案】A
【解析】由三视图可知几何体是正方体在一个角上截去一个三棱锥，其截面是等腰三角形ABC.如下图：
由于正方体的棱长为2,所以AC=BC=y/5,AB=2迈,所以AB边上高为所以
>/3x2^2=>/6
故选:
A•4•如图，在正方体ABCD^A^C^中，点£F、G分别是棱AB.BC、的中点，过£尸G三点作该正方体的截面，则下列说法错误的是（）
A.在平面BDD且内存在直线与平面EFG平行
B・在平面BDDb内存在直线与平面EFG垂直
C・平面AB}C〃平面EFG
D.直线A耳与巧所成角为45。
【答案】D
【解析】由线面平行判定定理可得：
当O为3D的中点时，B]O//平面EFG
由线面垂直判定定理可得，3"丄平面EFG,选项A：
B都对.
因为EG//AB^FG//B、C,所以平面EFG〃平面AB}C,选项C正确,易得：
EF\\ACSAB}C为等边三角形，故直线AQ与AC所成角为60。
、即直线人色与防所成角为60。
、故D不正确.
故选：
D.
5•【云南省昆明市2019-2020学年高三下学期1月月考数学】
某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个
棱长为4“的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为
【答案】B
4心则该球的半径是（）
C•2>/6
【解析】设截面圆半径为匚球的半径为R,则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即2根据截面圆的周长可得4兀=2龙「得r=2,
故由题意知/?
2=尸2+（2血）2,即r2=22+（2Q2=6所以R=4
故选：
B.
6-美学四大构件是：
史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某中学2018级某同学在画“切面圆柱体"（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面“是一个椭圆，若“切面''所在平面与底面成45°角，则该椭圆的离心率为（）
A-I
C.Q
【答案】B
【解析】设圆柱的底面半径为r，椭圆的长轴为2/短轴为2b,
则动=2八cos45°=^=^=匹，即纟=返,故离心率e=-==.1^=—故选B
2a2a2a2a\{a）\22
A.12
7•如图，已知三棱锥V-ABC，点P是K4的中点，且AC=2,VB=4.过点P作一个截面，使截面平行于皿和AC.则截面的周长为（）
B・10
【答案】D
【解析】
如图所示，设AB、BC、VC的中点分别为D.E.F,连接PD,DE,EF,PF.由题得PD||VB,Dq|AC.
因为PD、DE匸平面DEFP,VB,AC不在平面DEFP内，
所以VB||平面DEFP?
AC||平面DEFP,
所以截面DEFP就是所作的平面.
由于PDIIVB,EFIIVB.PD=-VB、EF=-VBt
22
所以四边形DEFP是平行四边形，
因为VB=4,AC=2,所以PD二FE二2,DE二PF二
所以截面DEFP的周长为2+2+1+1二6.
故选：
D
8・【2020届广东省东莞市高三期末调研测试理科数学试题】
截面、则所得截面圆面积的最小值是（
）
C・—71
12
已知球O是正四面体A-BCD的外接球，BC=2,点E在线段上，且BD=3BE,过点E■作球O的
1\n
IF
【答案】A
【解析】由题,设平面a为过E的球O的截面、则当OE丄平面◎时,截面积最小,设截面半径为r，球的半径为R厕r2=F
因为正四面体棱长为，设过点A垂直于平面BCD的直线交平面咙于点皿则吩与令
AM=hOM=x.则x=—
解得/伞侧乎“徐在Rt/\OED^tOE2=OM1+EM1,
因为点E在线段BD上BD=3BE，设BC中点为W，则DM=2MN
211
所以EM=—BN=-BC=-a
333
在RtZXOED中,OE2=OM2+EM$,即〃？
=|“
12
所以『2=|-H.a2=la2,因为a=BC=2.
（4丿729
QQ
所以斥=-，所以截面面积为S==_兀
99
故选：
A
9.[2020届福建省福州市高三适应性练习卷数学理科试题】
在三棱锥P-ABC中，PA丄底面ABC,A3丄AC,AB=6,AC=S,Q是线段AC1.—点，且AD=3DC.三棱锥P—ABC的各个顶点都在球O表面上，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16兀，则球O的表面积为（）
A.72tcB.86^-C.112龙D.128^
【答案】C
【解析】将三棱锥P-ABC补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O,
记三角形ABC的中心为0],设球的半径为R,PA=2x,
则球心O到平面ABC的距离为兀，即Oq=x,
连接0}A,则0^=5,:
.r2=x2+25
在公ABC中，取AC的中点为E,连接qD.O.E,
则==DE=^AC=2,
所以q»=庐.在恥OOP中，0£）=厲帀，
由题意得到当截面与直线OD垂直时，截面面积最小.
设此时截面圆的半径为匚
则r2=疋一Of）：
=x2+25-（F+13）=12,
所以最小截面圆的面积为12心
当截面过球心时，截面面积最大为兀/?
2,所以皿?
2-12兀=16冗，/?
2=28.
球的表面积为4k/?
2=112n
故选C
10.[2020届重庆南开中学高三第五次教学质量检测考试数学文科试题】
正三棱锥P—ABC,。
为BC中点，PA=近、AB=2t过O的平面截三棱锥P-ABC的外接球所得
截面的面积范围为（）
■■
13
'1
■
2
A・
一71、一71
B・
—兀、一兀
45
2
3
C・[龙卫兀]D・兀巧兀
【答案】D
【解析】因为正三棱锥P-ABC,pb=PC=Pa2AC=BC=AB=2t所以PB2+PA2=AB2.即PB丄PA,同理PB丄PC,PC丄Q4,
因此正三棱锥P—ABC可看作正方体的一角，如图，
记正方体的体对角线的中点为O由正方体结构特征可得，O点即是正方体的外接球球心，所以点O也是
正三棱锥P—ABC外接球的球心，记外接球半径为7T则孕因为球的最大截面圆为过球心的圆'
3
所以过Q的平面截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积最大为S^=ttR2=-k；又Q为BC中点,
乙
由球的结构特征可知，当52垂直于过。
的截面时，截面圆半径最小为r=y]Rr^OQz=i所以因此，过。
的平面截三棱锥-磁的外接球所得截面的面积范围为勺故选：
D.
11.—个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三梭锥的各面均相切（球在三棱锥的内部,且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的
【答案】C
【解析】其空间结构体如下图所示:
易知截面是一个非等边的等腰三角形，排除A・D；
等腰三角形的底边是正三棱锥的一条，这条棱不可能与内切球有交点，所以排除B；
截面所得等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线，且经过内切球在两个面上的切点，所以正确答案是C-
故选:
C
12.【2020届湖北省部分重点中学高三第二次联考数学试卷理科试题】
如图，已知四面体ABCD的各条棱长均等于4,E,戶分别是棱/W、3C的中点•若用一个与直线FF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面Q去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（）
A・3逅B・4C・4、任D.6
【答案】B
【解析】将正四面体补成正方体如图，
可得EF丄平面CHBG且正方形边长为2
由于EF丄故截面为平行四边形MNK厶且KL+KN=4、
又KL//BC,KN//AD且AD丄BC,
・•・KNLKL
••-SaUNKL=KNKL<=4
当且仅当KZ,=KN=2时取等号，
故选：
B.
13.【2020届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三上学期期末】仿照“少/?
呢仞双球“模型，人们借助圆柱内的两个内切球完美的证明了平面截圆柱的截面为椭圆面•如图.底面半径为1的圆柱内两个内切球球心距离为4,现用与两球都相切的平面截圆柱所得到的截面边缘线是一椭圆，则该椭圆的离心率为（）
【答案】D
【解析】画出图形的轴截面如图所示，则CD为椭圆的长轴，圆柱的底面直径为椭圆的短轴；依题意AB=4
CG=2AE=BF=\l则AO=-AB=2
2
AE1
・•・sinZAOE=——=—.・•ZAOE=30°/.AGCO=60°
AO2
CG|
在RtACDG中有cosAGCO=-
JX-XZr
:
.CD=4即椭圆中，2d=4,2b=2
:
a=2.b=i
•.*c2=a2-b2:
.c=j3：
.e=—=—咬选：
D
14•已知正方体ABCD-的边长为2,边43的中点为M,过M且垂直3®的平面被正方体所
截的截面面积为（）
A•fB.^3C.2>/3D.3>/3
2
【答案】A
【解析】如图，连结AC,CB\、AB\,BC_
易知Cd丄BC,,CQ丄DG、又%cDC=G,则CB】丄平面BCQ、故CB】丄BD,,同理可证明
C4丄平面BDD-则CA丄BD，
又CAflCB,=C,故〃q丄平面AC耳
取BC的中点E,的中点尸，易知平面MEF//平面ACB,,
所以丄平面M£F,即aMEF为所求截面.
易知△MEF为正三角形，边长MEuJbmUBE?
=迈、故S&m防=£%血xa/Jx£=£•
故选:
A.
7G
15•在棱长为2的正方体ABCD-A^D.中，p,Q,R分别是AB,AD.的中点，设过几Q,
/?
的截面与面ADD^t以及面ABB.A.的交线分别为I—则/，加所成的角为（）
A.90°B.30。
C.45°D.60°
【答案】D
【解析】因为，在正方体ABCD-AQCQ中，p,QR分别是AB.AD.BXC｛的中点，取CQ,DDlt
BQ的中点分别为G,F.E，连接FG,FQ,QP,pe,ER,RG,根据正方体的特征，易知，若连接PG,EFRQ,则这三条线必相交于正方体的中心，又GRHEFHQP、所以厂QR,G,FE六点必共面，即为过P,QR的截面；所以EP即为直线川，F0即为直线/；
因此ZB"=60。
故选：
D-
连接ABltAD-BQ,因为EP//AB.,FQHAD.,所以ZB.AD,即为异面直线EP与FQ所成的角,又因为正方体的各面对角线都相等，所以"B口为等边三角形,
16•在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体ABCD-ARCQ、
中，点C尸分别是棱必3、忆C中点，点G是棱CG的中点，则过线段SG且平行于平面4FF的截面图形
A・矩形B・三角形C・正方形D・等腰梯形
【答案】D
【解析】取的中点乩如图连接AHGH、0G、ADlt由题意得：
GHHEF,AHUA.F9•:
GH不在平面A]EFEF匸平面EF,/.GHII平面A^EF
•/AH不在平面\EF,AjFc平面A{EFAHII平面A}EF
・・・GHp|AH=HGH、AHu平面AHGD{
平面AHGp//平面AjEF
过线段AG且平行于平面AEF的截面图形为等腰梯形AS
故选：
D
17・【2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题】
如图四面体A-BCD中，AD=BC=2,AD丄BC,截面四边形EFGH满足EF//BC,FG//AD,则
下列结论正确的个数为（）
1四边形EFGH的周长为定值
2四边形EFGH的面积为定值
3四边形EFGH为矩形
4四边形EFGH的面积有最大值1
【答案】D
【解析】因为EF//BC,EFu平面BCD,所以EF〃平面BCD,又平面EFGHQ平面BDC=GH所
以EFHGH同理FG//EH,所以四边形EFGH为平行四边形,又AD丄所以四边形为矩形•所以3是正确的；
由相似三角形的性质得
EFAFFCFG
所以斜第浇+缶B—g所以亦+心2
所以四边形EFGH的周长为定值4：
所以1是正确的；
Seh.h=EFxFG<\EFxFG\=1,所以四边形EFGH的面积有最大值1,所以4是正确的.因为13
④正确.故选：
D
18.[2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷）】
已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面Q所成的角都相等，则&截此正方体所得截面面积的最大值为
【答案】A
【解析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.
【解析】
根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，
所以在正方体ABCD-ABd中，
平面与线AA,4目,人口所成的角是相等的，
所以平面Ad®与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面C/D也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等,要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面A晌与GBD中间的,且过棱的中点的正六边形，且边长为渥
所以其面积为S=6x
19•【四川省内江市2019-2020学年高二上学期期末数学（文）试题】已知正三棱锥A-BCD的外接球是球O,正三棱锥底边BC=3,侧棱AB=2頁，点F在线段3D上且
BE
=DE,过点F作球O的截面，
则所得截面圆面积的取值范围是（
）
A・
■■
9龙
—,3龙
.4
B・[2龙,3龙]
■卩皿
D.
——，4龙
’4
【答案】D
【解析】如图,
A
由题，设△BCD的中心为:
球O的半径为R，连接OpODQEQE厕
OQ=3sin彳x彳=点AO、=yjAD-OXD~=3,
所以OO}=AO{-R=\t
3因为=所以DE=-
在△DEO】中0占=
过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积量小，此时截面的半径为y/R1-OE2=-，则截面面
积为=-^,
（2丿4
当截面过球心时,截面面积最大，最大面积为4兀,
故选:
D
20.【云南省曲靖市2019-2020学年高三第一次教学质量检测数学文科试题】
在四面体ABCD中，AB=BD=AD=CD=3,AC=BC=4.用平行于AB.CQ的平面截此四面体,得到截面四边形则四边形EFGH面积的最大值为（）
499
A.—B.—C-—D.3
342
【答案】B
【解析】设截面分别与棱AD.BD.BC.AC交于点E,F、G,H由直线AB//平面EFGH.
且平面ABCQ平面EFGH=GH、平面ABDc平面EFGH=EF
得GH//ABEF//AB所以GH//EF,
同理可证EH//FG,所以四边形EFGH为平行四边形，
又AB=BD=A
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