基于Matlab和Mobius变换的图像处理.docx
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基于Matlab和Mobius变换的图像处理
泉州师范学院
毕业论文（设计）
题目基于Matlab和Mobius变换的图像处理
物理与信息工程学院电子信息科学与技术专业07级1班
学生姓名杨朝阳学号070303016
指导教师林顺达职称讲师
完成日期2011年4月14日
教务处制
基于Matlab和Mobius变换的图像处理
物理与信息工程学院电子信息科学与技术070303016杨朝阳
指导老师林顺达讲师
摘要：
把Mobius变换应用到一种新型的通信系统中，以数字图像作为原始的输入信号，经过调制之后，在接收端，用跟调制载波信号不同频同相的信号进行解调。
仿真结果表明，该新型的通信系统可以很好的恢复原始的数字图像信号。
接着对一张图片分割成四块处理，对分割后的不同模块用不同的调制解调函数在新型的通信系统中传输，并用Matlab软件在计算机上仿真。
关键词：
Matlab；数字图像；新型通信系统；仿真；
第一章：
引言
1.1本论文的来源
传统的通信系统中，两个正交的调制与解调的函数是同一个函数族，但在实际应用中也存在重重困难，特别是在保密方面。
在传统的通信传输系统中，信号在调制与解调过程中，载波只要满足同频同相，就可以把原始信号恢复出来，在科技高速腾飞的今天，有用的信息是很容易被人窃取，造成一些不必要的损失。
而Mobius变换的提出，大大改善了现有的通信系统[1]。
在通信方面Mobius变换就是把信号展开成非正交周期函数族的叠加，而这些信号可以选用数字通信中比较常用的方波信号、三角波信号、锯齿波信号等，同时也得到了与该非正交周期函数族正交的另一个非正交周期函数族，这给信号的解调奠定了基础[2-4]。
新型的通信系统就是在这两个非正交周期函数族基础上建立的，也叫做Chen-Mobius通信系统。
1.2本论文的方案设计
取一张256*256*3的图片，分别在无噪声和有噪声情况下通过传统通信系统和Chen_Mobius通信系统，然后对输出的图像信号波形进行性能分析。
接着对一张图片分割成四块，然后打乱重新组合，对分割后的各个图片模块作为原始输入信号通过新型的通信系统进行调制，在传输过程中，对不同模块应用不同的加密手段，比如对图像的涂黑、挖洞、以及水印技术的应用，并且不同模块采用不同的调制解调函数。
在Matlab仿真平台上面进行建模，并作仿真分析。
第二章：
Mobius变换的应用
2.1Chen-Mobius变换
众所周知，一般函数只要满足狄利赫里条件，就符合傅里叶级数的收敛性，即可以展开成线性组合的傅里叶级数。
对于如常见的方波信号、三角波信号、锯齿波信号等波形，它们的函数都可以展开为傅立叶级数的形式
，经过简单变换后可以写成：
或
的形式，其中
-G0,G0为常数项。
通过Mobius变换可以求出其正交函数族即为
或者
来，其中k为整数，m为k的整数因子[2]。
由表1、2知，经Mobius变换得到的正交函数族，只是有限个正、余弦函数的组合[1]。
由此可见，经Chen-Mobius变换的新型通信系统，实现起来非常简单方便，而与其正交的数字信号（方波信号、三角波信号、锯齿波信号等）也是很容易产生的，这样的调制与解调不难实现，新型的通信系统不会很复杂。
表1不同k值与奇对称方波正交的函数族
k
与奇对称方波正交的函数族
1
1/2/E*pi*sin（w*t）
3
1/2/E*pi*sin（3*w*t）-1/6/E*pi*sin（w*t）
5
1/2/E*pi*sin（5*w*t）-1/10/E*pi*sin（w*t）
15
1/2/E*pi*sin（15*w*t）-1/6/E*pi*sin（5*w*t）-1/10/E*pi*sin（3*w*t）+1/30/E*pi*sin（w*t）
21
1/2/E*pi*sin（21*w*t）-1/6/E*pi*sin（7*w*t）-1/14/E*pi*sin（3*w*t）+1/42/E*pi*sin（w*t）
31
1/2/E*pi*sin（31*w*t）-1/62/E*pi*sin（w*t）
47
1/2/E*pi*sin（47*w*t）-1/94/E*pi*sin（w*t）
55
1/2/E*pi*sin（55*w*t）-1/10/E*pi*sin（11*w*t）-1/22/E*pi*sin（5*w*t）+1/110/E*pi*sin（w*t）
61
1/2/E*pi*sin（61*w*t）-1/122/E*pi*sin（w*t）
表2不同k值与锯齿波正交的函数族
k
与锯齿波正交的函数族
4
1/E*pi*sin（4*w*t）-1/2/E*pi*sin（2*w*t）
5
1/E*pi*sin（5*w*t）-1/5/E*pi*sin（w*t）
8
1/E*pi*sin（8*w*t）-1/2/E*pi*sin（4*w*t）
15
1/E*pi*sin（15*w*t）-1/3/E*pi*sin（5*w*t）-1/5/E*pi*sin（3*w*t）+1/15/E*pi*sin（w*t）
23
1/E*pi*sin（23*w*t）-1/23/E*pi*sin（w*t）
35
1/E*pi*sin（35*w*t）-1/5/E*pi*sin（7*w*t）-1/7/E*pi*sin（5*w*t）+1/35/E*pi*sin（w*t）
43
1/E*pi*sin（43*w*t）-1/43/E*pi*sin（w*t）
56
1/E*pi*sin（56*w*t）-1/2/E*pi*sin（28*w*t）-1/7/E*pi*sin（8*w*t）+1/14/E*pi*sin（4*w*t）
64
1/E*pi*sin（64*w*t）-1/2/E*pi*sin（32*w*t）
2.2Chen-Mobius通信系统
Chen-Mobius变换通信系统如图1所示。
其中信号
与
相乘：
×
=
；
与噪声相加：
；
与
相乘：
；经过低通滤波器：
，
为误差[5]。
其中
和
分别表示解调信号和它的Chen-Mobius变换。
图1Chen-Mobius通信系统
第三章数字图像的Chen-Mobius处理与仿真模型的建立
3.1数字图像处理以及Matlab简介
数字图像处理（DigitalImageProcessing）又称为计算机图像处理，它是指将图像信号转换成数字信号并利用现有的计算机对其进行处理的过程。
在日常生活中，图像是人类获取和交换信息的主要来源。
所以，图像处理的应用领域必然涉及到人类生活和工作的方方面面。
随着人类活动范围的不断扩大，图像处理的应用领域也将不断扩大。
Matlab软件的发展大大提高了计算机对数字图像处理的能力，在一张像素较高的彩色图像当中，图像所含的信息量很大，即使是一张256*256低分辨率的黑白图像，也要求大约64kbit的信息量。
而Matlab软件具有很强的计算处理数据的能力，里面包含了大量的算法，在一般情况下可以代替底层的编程语言，如C语言或C++，而编程更加简单，工作量却比较少。
它在数值计算、数据处理、自动控制、图像、信号处理、神经网络、优化计算等众多方面有着广泛的用途，特别是MATLAB的图像处理和分析工具箱支持索引图像、RGB图像、灰度图像、二进制图像，并能操作多种图像格式文件，使得它具有非常出色的图像处理功能。
Simulink是Matlab里最重要的组件之一，它提供一个动态系统建模、仿真和综合分析的集成环境。
在该环境中，通常只需要通过简单的操作，就可以构造出复杂的系统，只要灵活地运用Matlab提供的图像处理分析函数及simulink工具箱，通过不是很复杂的软件编程之后就可以完成一大串高级计算机语言才能完成的任务，简洁明快,大大简化工作量，充分体现它在图像处理和分析中的优越性。
3.2通信系统思想仿真模型的建立
数字图像在Matlab中是以矩阵的方式存储的，可以将数字图像变为双精度型，建立通信系统思想仿真模型，然后通过Simulink进行仿真。
仿真模型如图2所示。
图2通信系统思想仿真模型
3.3数字图像在传统通信系统模型思想下的仿真
取一张256*256*3图像，用传统的余弦载波，频率为12000Hz进行调制与解调,sampletime=0.0001s，低通滤波器取10000Hz。
通过计算知该图片的信号功率为0.3501。
3.3.1传统通信系统模型思想下无噪声的仿真波形如图3所示
图a原始输入图像波形
图b调制图像波形
图c解调图像波形
图d通过低通滤波器后的图像波形
图3传统通信系统模型思想下无噪声的仿真波形
还原成图像如图4所示：
图4传统通信系统模型思想下无噪声的图像还原
3.3.2传统通信系统模型思想下加高斯白噪声的仿真波形如图5所示
取sampletime=0.0001，noisepower=0.000001，通过计算知高斯白噪声功率为0.01。
图a加噪声图像波形
图b解调图像波形
图c通过低通滤波器后的图像波形
图5传统通信系统模型思想下加高斯白噪声的仿真波形
还原成图像如图6所示：
图6传统通信系统模型思想下加高斯白噪声的图像还原
恢复图像与原始图像的均方误差为0.1357。
3.4数字图像在Chen-Mobius变换处理模型下的仿真
调制信号取1阶Mobius变换与奇对称方波正交的函数族，解调信号取方波频率为12000Hz的信号，sampletime=0.0001s，低通滤波器取10000Hz。
3.4.1Chen-Mobius变换处理模型下的无噪声的仿真波形如图7所示
图a原始输入图像波形
图b调制图像波形
图c解调图像波形
图d通过低通滤波器后的图像波形
图7Chen-Mobius变换处理模型下的无噪声的仿真波形
还原成图像如图8所示：
图8Chen-Mobius变换处理模型下的无噪声的图像还原
从图8可以看到当图像通过低通滤波器后，图像底部的一些信号跑到了顶部，这是一张图片经过低通滤波器所特有的，经过调整之后即为恢复图像，图片没有出现突变。
3.4.2Chen-Mobius变换处理模型下加高斯白噪声的仿真波形如图9所示
取sampletime=0.0001，noisepower=0.000001，高斯白噪声功率为0.01。
图a加噪声图像波形
图b解调图像波形
图c通过低通滤波器后的图像波形
图9Chen-Mobius变换处理模型下加高斯白噪声的仿真波形
还原成图像如图10所示：
图10Chen-Mobius变换处理模型下加高斯白噪声的图像还原
恢复图像与原始图像的均方误差为0.0090。
3.5仿真结果分析
无噪声情况下传统通信系统模型思想与Chen-Mobius变换处理模型下恢复图像对比如图11所示，加噪声情况下传统通信系统模型思想与Chen-Mobius变换处理模型下恢复图像对比如图12所示。
恢复图像a恢复图像b
图11无噪声情况下传统通信系统模型思想与Chen-Mobius变换处理模型下恢复图像对比
恢复图像a恢复图像b
图12加噪声情况下传统通信系统模型思想与Chen-Mobius变换处理模型下恢复图像对比
从以上的仿真结果可以知道，新型的通信系统在经过一系列的调制解调之后恢复出来的原始图像信号要优于传统的通信系统，在噪声方面，传统通信系统恢复出来的图像信号的均方误差MSE=0.1357,而Chen-Mobius通信系统恢复出来的图像信号的均方误差仅为MSE=0.0090，要比传统的通信系统好的多。
Chen-Mobius通信系统之所以具有强的抗干扰能力，是因为调制与解调的两个函数族是正交的，但各自函数族本身却是非正交的，或叫斜正交的，这样一般的噪声是不可能与调制载波相正交的，就可以使信号高保真的恢复出来，满足了通信的需求。
在保密方面，新型的通信系统中两个正交的函数族理论上还要满足不同波形的变化，并且调制波函数又有很多表达式，而对应的正交波形也会变化，要窃取到有用信号很难，保密得到了很大的提高。
因此，新型的通信系统有很大的发展前景。
第四章数字图像处理的应用与仿真
把一张256*256*3的图像分割成a,b,c,d四块，在组合方面，可以随机打乱重组成24张不同的图片。
在本实验中将图片打乱重组成cbda如图13所示，对分割图像c采用5阶Mobius变换与奇对称方波正交的函数族调制，分割图像b采用4阶Mobius变换与锯齿波正交的函数族调制，分割图像d,c应用了水印技术，采用3阶Mobius变换与奇对称方波正交的函数族调制。
图13分割重组图像
4.1分割图像c的仿真
分割图像c的调制信号取5阶Mobius变换与奇对称方波正交的函数族，解调信号取方波频率为12000Hz的信号，sampletime=0.0001s，低通滤波器取10000Hz。
在调制过程中把图像涂黑传输，在接收端对图像进行恢复，分割图像c的信号功率为0.1709。
4.1.1分割图像c无噪声的仿真波形如图14所示
图a分割图像c的波形
图b分割图像c的涂黑图像波形
图c分割图像c的解调图像波形
图d分割图像c的低通滤波后的图像波形
图14分割图像c无噪声的仿真波形
还原成图像如图15所示：
图15分割图像c无噪声图像的还原
恢复图像c与分割图像c的均方误差MSE=0.0057。
4.1.2分割图像c加高斯白噪声的仿真波形如图16所示
取sampletime=0.0001，noisepower=0.000001，高斯白噪声功率为0.01。
图a分割图像c的加噪图像波形
图b分割图像c的低通滤波后的图像波形
图16分割图像c加高斯白噪声的仿真波形
还原成图像如图17所示：
图17分割图像c加高斯白噪声图像的还原
恢复图像c与分割图像c的均方误差MSE=0.0092
4.2分割图像b的仿真
分割图像b的调制信号取4阶Mobius变换与锯齿波正交的函数族，解调信号取锯齿波频率为12000Hz的信号，sampletime=0.0001s，低通滤波器取10000Hz。
在调制过程中把图像挖个洞进行传输，在接收端对图像进行恢复，分割图像b的信号功率为0.3211。
4.2.1分割图像b无噪声的仿真波形如图18所示
图a分割图像b的波形
图b分割图像b的调制图像波形
图c分割图像b的解调图像波形
图d分割图像b的低通滤波后的图像波形
图18分割图像b无噪声的仿真波形
还原成图像如图19所示：
恢复图像b与分割图像b的均方误差MSE=0.0053
图19分割图像b无噪声的图像还原
4.2.2分割图像b加高斯白噪声的仿真波形如图20所示
取sampletime=0.0001，noisepower=0.000001，高斯白噪声功率为0.01。
图a分割图像b的加噪图像波形
图b分割图像b的解调图像波形
图c分割图像b的低通滤波后的图像波形
图20分割图像b加高斯白噪声的仿真波形
还原成图像如图21所示：
图21分割图像b加高斯白噪声的图像还原
恢复图像b与分割图像b的均方误差MSE=0.0059。
4.3水印的应用与仿真
4.3.1数字水印的简介
所谓数字水印（DigitalWatermarking）是向多媒体数据（如图像、声音、视频信号等）中添加某些数字信息以达到文件真伪鉴别、版权保护等功能。
嵌入的水印信息隐藏于宿主文件中，不影响原始文件的可观性和完整性。
通过相应的算法可以把嵌入在多媒体数据里面的水印提取出来，从而可以辨别真伪。
数字水印可以解决现实生活中的一系列问题，比如可以防止人民币造假，避免一些版权的争议。
4.3.2水印技术在新型通信系统中的应用
分割图像d作为宿主图像，水印图像采用分割图像a，在分割图像d中嵌入分割图像a进行调制传输，调制信号取3阶Mobius变换与奇对称方波正交的函数族，接收端通过相应的技术可以从恢复的图像信号中提出出水印信息，通信系统模型的建立如图22所示。
图22水印仿真系统的模型
4.3.3水印无噪声的仿真波形如图23所示
图a分割图像d的波形
图b水印图像a的波形
图c水印的调制波形
图d加水印的波形
图e图像的调制波形
图f图像的解调波形
图g图像的低通滤波波形
图h水印的解调波形
图I水印的低通滤波波形
图j图像的恢复波形
图23水印无噪声的仿真波形
还原成图像如图24所示：
图24水印图像的还原
其中分割图像d的功率为0.3184，嵌入的水印图像a的功率为0.2484，从图中可以看出图像的恢复很完美，该图像中嵌入了一张水印图像，而肉眼通常是不能直接看到的，在视觉上基本上与原始的分割图像d一模一样，在接收端可以从图像中对水印的恢复。
图像的均方误差为0.0799，水印的均方误差为0.0664。
4.3.4水印加高斯白噪声的仿真波形如图25所示
取sampletime=0.0001，noisepower=0.000001，高斯白噪声功率为0.01。
图a加噪声波形
图b图像的解调波形
图c图像的低通滤波波形
图d水印的解调波形
图e水印的低通滤波波形
图f图像的恢复波形
图25水印加高斯白噪声的仿真波形
还原成图像如图26所示：
图26水印在加高斯白噪声中的图像还原
通过计算知图像的均方误差为0.0844，水印的均方误差为0.0681。
4.4原始图像的复原
在无噪声情况下，经过了对不同模块做不同的处理之后，接收端对模块进行重新组合，如图27所示，组合后调整恢复为原始图像如图28所示。
图27模块的重组图28无噪声中原始图像的恢复
在加高斯白噪声的情况下，原始图像的恢复如图29所示：
图29高斯白噪声中原始图像的恢复
4.5仿真小结
从以上的仿真可以看出，对一张图片进行分割做不同的处理后，在这种新型的通信系统中，图像可以很好的恢复出来，在无噪声或有噪声环境下，恢复出来图像的均方误差都不是很大，效果较好如表3所示，这在信号加密方面很有好处，并且不同的调制解调函数，恢复出来的图像效果相差不大。
在抗强噪声方面新型通信系统也有不错的效果，以该图像信号为例，采用4阶Mobius变换与锯齿波正交的函数族为调制信号，如表4所示。
表3数字图像处理的仿真结果
信号类型
信号功率
无噪下的MSE
有噪下的MSE
无噪MSE/信号功率
有噪MSE/信号功率
分割图像c
0.1709
0.0057
0.0092
0.033
0.053
分割图像b
0.3211
0.0053
0.0059
0.016
0.018
分割图像d
0.3184
0.0799
0.0844
0.250
0.265
水印图像a
0.2484
0.0664
0.0681
0.267
0.274
表4新型通信系统抗强噪声的效果
信号功率
噪声功率
信噪比
均方误差
MSE/信号功率
0.2647
0.1
2.647
0.0122
0.046
0.2647
0.2
1.3235
0.0179
0.067
0.2647
0.3
0.88233
0.0237
0.089
0.2647
0.4
0.66175
0.0294
0.111
0.2647
0.5
0.5294
0.0352
0.132
0.2647
0.6
0.441166
0.0409
0.154
0.2647
0.7
0.378143
0.0467
0.176
0.2647
0.8
0.330875
0.0524
0.197
0.2647
0.9
0.29411
0.0581
0.219
0.2647
1.0
0.2647
0.0639
0.241
0.2647
1.1
0.240636
0.0696
0.262
0.2647
1.2
0.22058
0.0754
0.284
0.2647
1.3
0.2036154
0.0811
0.306
0.2647
1.4
0.18907
0.0869
0.328
0.2647
1.5
0.176467
0.0926
0.349
从以上的表格知道随着信噪比的增加，信号的均方误差越小，信号的保真度得到了加强，符合通信系统中信号传输的特点，并且在这种新型的通信系统中，抗噪声干扰能力很强，信号在强噪声环境下，恢复的图像信号效果很好。
第五章本文总结
传统的通信系统只要接收端知道了调制载波的频率，信号就很容易解调出来，这在信号保密方面大打折扣。
而本文打破了传统的做法，在新型的通信系统上面实现了信号的传输并作结果分析，该新型的通信系统具有很强的抗噪声干扰能力，而且信号在传输过程中保密效果更好，恢复出来的原始信号优于传统的通信系统，具有很好的发展前景。
通过本次的设计对图像处理以及通信方面的有关知识了解的更深，扩充了课外的知识，提高了自己的能力。
在本次设计中也遇到了许多问题，但通过上网找资料，这些问题最后都得到了解决。
在这里还要感谢我的导师林顺达老师，在选题和毕业设计过程中，都给我提供了宝贵的意见，还经常给我们开会，关心我们的进展情况以及所遇到的问题，在林老师的帮助下，本次的毕业设计最终才得以完成。
参考文献
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自然科学版,2006,2
（1）:
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[3]苏武浔,张渭滨,王建成.几种常见信号波形的逆变换计算（I）——奇偶对称三角波与锯齿波和整流余弦波的逆变换[J].华侨大学学报:
自然科学版,2005,26
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[4]苏武浔,张渭滨,王建成.几种常见信号波形的逆变换计算（II）——矩形脉冲与奇偶对称方波的逆变换[J].华侨大学学报：
自然科学版,2005，26（4）：
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[5]林顺达，新型Mobius模拟通信系统的比较研究[J]，泉州师范学院学报，2006，24（4）：
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ImageProcessingbasedonMatlabandMobiustransformation
CollegeofPhysicsandInformationEngineering
Electronicinformationscienceandtechnologymajor070303016YANGChao-yang
LINShun-dalecturer
Abstract:
TheMobiustransformationisappliedtoanewtypeofcommunicationsystem,thedigitalimageservesast
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