傅里叶级数与傅里叶变换.docx

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傅里叶级数与傅里叶积分变换整理

1基本概念

首先理清下面的概念：

三角函数形式傅里叶级数（系数含1/T）

三角函数形式傅里叶级数改写为复指数形式傅里叶级数（系数含1/T）

复指数形式傅里叶积分，系数1/T变为1/（2π）

三角函数形式傅里叶积分（将复指数核函数改写为三角函数形式，利用奇偶性变为余弦核函数）.

复指数形式傅里叶积分与更一般的积分变换：

象函数，象原函数和核

三角函数形式傅里叶级数,

系数1/T

复指数形式傅里叶级数,系数1/T

复指数形式傅里叶积分,系数1/（2π）

上述四种形式都包括了傅里叶正变换和逆变换的过程f（t）=F-1（F（f（t）））

更一般的积分变换形式

三角函数形式傅里叶积分,系数1/（2π）

2基本公式和变换过程

欧拉公式，是连接复指数和三角函数，频域和时域的桥梁

三角函数改写为复指数形式：

，

2.1三角函数形式的傅里叶级数

“级数”就是对数列求和。

其中

注意这里的系数含1/T

2.2复指数形式的傅里叶级数

我们可以把三角函数形式的傅里叶级数改写为复指数形式，最后甚至合并成一个简单的式子：

其中，

即

2.3复指数形式的傅里叶积分

要知道傅里叶级数最初是用于周期函数的。

对于非周期函数，工程中通过延拓非周期函数得到周期函数。

而当T趋于+∞时，非周期函数可视为周期函数。

对于，，当时，改写为，（成为变量）

那么累加形式改写为积分形式：

由于，，并结合一定的书写习惯，上式表示为

2.4三角函数形式的傅里叶积分

利用欧拉公式，上式也可以改写为三角函数形式

考虑到函数奇偶性，可以简化为：

2.5傅里叶变换过程

傅里叶级数和傅里叶积分都可以看作一个函数历经一次傅里叶正变换加一次逆变换的过程。

即：

2.6更一般的积分变换形式

无论正变换还是逆变换，都可以用更一般的形式来表示：

称为象函数，称为象原函数，二元函数称为积分变换的核函数。

常用的核函数：

，积分域[a,b],如果是[-∞,∞]称为傅氏变换，如果是[0,∞]，并且将iω视为变量，则称为拉氏变换。

3框图概要

欧拉公式

欧拉公式

累加à积分，1/T=dω/2π

三角函数形式傅里叶级数,

系数含有积分运算和1/T

复指数形式傅里叶级数,系数含有积分运算和1/T

复指数形式傅里叶积分,两重积分，系数1/（2π）

傅里叶级数（积分）包含了正变换和逆变换两个过程f（t）=F-1（F（f（t）））。

上面四种形式，被积函数是F（f（t））eiωt

一般的积分变换形式

傅氏变换：

正变换：

核函数为e-iωt

逆变换：

核函数为eiωt并且乘上1/（2π）

拉氏变换：

正变换：

核函数为e-st

逆变换：

核函数为est并且乘上1/（2πi）

三角函数形式傅里叶积分,两重积分，系数1/（2π）