离散数学课件 第9章 半群和群.docx
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离散数学课件第9章半群和群
第9章半群和群semigroupandgroup
§9.1二元运算复习binaryoperationrevisited
A上二元运算
f:
A×A→A
f处处有定义的函数。
Dom(f)=A×A,
对任意a,b∈A,f(a,b)∈A,唯一确定。
二元运算常记做+,-,×,*,◦,等等
对任意a,b∈A,a◦b∈A
说成A对◦封闭。
A={a1,a2,……,an}时,二元运算可以用运算表给出。
二元运算的性质
1可换commutative
a*b=b*a
2结合associative
a*(b*c)=(a*b)*c
3幂等idempotent
a*a=a
特殊元素
单位元
对任意a∈A,e*a=a*e=a.
单位元也叫恒等元
零元
对任意a∈A,0*a=a*0=0
逆元
对任意a,b∈A,a*b=b*a=e
a,b互为逆元
代数结构
(A,*)A上定义了二元运算满足
1)封闭性
2)结合律-----------半群
3)有单位元---------独异点
4)有逆元-----------群
5)可交换-----------交换群
例子:
1)(Zn+),(Zn,)
2)(A*,*)字符串的连接
HomeworkP323-324
16,20,22,24,25,26
§9.2半群semigroup
半群定义:
(S,*)*是S上乘法,满足结合律。
半群的例
(Z,+),(Z,×),
(N,×),(N,+),
(Q,+),(R,×),
(P(S),∪),(P(S),∩),
(Mn,+),(Mn,×),
S上全体映射,对于复合,
(L,∧),(L,∨),L是格
(A*,),
定理1.
半群中,n个元素的乘积与乘法的次序无关。
幂power:
设(S,*)是半群,a∈S,定义a的幂power:
a1=a,an=an-1*a.
a0=?
a-n=?
am*an=am+n
(am)n=amn.
子半群subsemigroup子独异点submonoid
设(S,*)是半群,TS,T对*封闭,则(T,*)也是半群,称为(S,*)的子半群。
设(S,*)是独异点,TS,T对*封闭,且e∈T,则(T,*)也是独异点,称为(S,*)的子独异点。
(N,+),(Z,+),(Q,+),(R,+)前一个是后一个的子半群,也是子独异点。
(N,×),(Z,×),(Q,×),(R,×)前一个是后一个的子半群,也是子独异点。
设(S,*)是半群,(S,*)是(S,*)的子半群。
设(S,*)是独异点,(S,*)是(S,*)的子独异点。
设(S,*)是独异点,({e},*)是(S,*)的子独异点。
同构isomorphism和同态homomorphism
同构
设(S,*)和(T,*’)是两个半群,
函数f:
S→T是一一对应,a,b∈S,
f(a*b)=f(a)*’f(b).
称(S,*)和(T,*’)同构,记做
(S,*)(T,*’).
验证两个半群(S,*)和(T,*’)同构的方法:
定义一个映射f:
S→T,证明
(1)f单,f(a)=f(b)a=b.
(2)f满,Ran(f)=T.
(3)f保持运算f(a*b)=f(a)*’f(b).
例.令T={2n|n∈Z},则且(Z,+)(T,×)。
证明.
令f:
Z→T,
对任意n∈Z,f(n)=2n.
(1)f处处有定义.
(2)f单:
f(m)=f(n),即
2m=2nm=n。
(3)f满.
(4)f保持运算:
f(m+n)=2m+n
=2m×2n=f(m)×f(n)
定理2.若S,T同构,则恒等元对应恒等元,零元对应零元,逆元对应逆元。
同态Homomorphisim
在同构的三个条件中,若仅满足(3)叫做同态。
若仅满足
(1)(3)称为同构嵌入。
若仅满足
(2)(3)叫做满同态。
例20.设A={0,1},则自由半群(A*,)与(A,+)同态,(A,+)的二元运算+由乘法表给出:
+
0
1
0
0
1
1
1
0
例.(Z,+)(Zn,+),
(Z,×)(Zn,×).
定理3.恒等元的满同态像是恒等元
设(S,*),(T,*)是独异点,恒等元分别是e和e’,同态f:
(S,*)(T,*’),则f(e)=e’.
定理4.子半群的同态像是子半群。
证明.
设f:
(S,*)(T,*’)是半群同态,S’是(S,*)的子半群,
则f(S’)是(T,*’)的子半群。
只要证f(S’)对运算封闭。
设t1,t2∈f(S’),要证t1*’t2∈f(S’).
存在s1,s2∈S’,
f(s1)=t1,f(s2)=t2,
t1*’t2=f(s1)*’f(s2)
=f(s1*’s2)∈f(S’).
定理5.交换半群的同态像是交换半群。
设f:
(S,*)(T,*’)是到上半群同态,(S,*)是交换半群,
则(T,*’)的交换半群。
证明.任意t1,t2∈T,
要证t1*’t2=t2*’t1.
存在s1,s2∈S,
f(s1)=t1,f(s2)=t2,
t1*’t2=f(s1)*’f(s2)=f(s1*’s2)
=f(s2*’s1)=f(s2)*’f(s1)=t2*’t1.
HomeworkP330-331
13,16,18,19,23,26,28,31
§9.3乘积半群和商半群ProductsandQuotiensSemigroup
定理1.乘积半群
设(S,*)和(T,*’)是两个半群,则(S×T,*”)也是半群。
(s1,t1)*”(s2,t2)=(s1*s2,t1*’t2).
设(S,*)和(T,*’)是两个独异点,则(S×T,*”)也是独异点,恒等元是(e,e’)。
同余关系(合同关系)congruencerelation
设(S,*)是半群,R是S上等价关系。
R称为S上同余关系:
aRa’,bRb’(a*b)R(a’*b’).
例1.Z上剩余关系是(Z,+)上同余关系:
ab(mod2)2|a-b。
证明.ab(mod2)是等价关系。
ab(mod2),2|a-b,a-b=2k.
cd(mod2),2|c-d,c-d=2t.
(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)=2(k+t)
a+cb+d(mod2)
ab(mod2)是(Z,+)上同余关系。
Z上剩余关系是(Z,×)上同余关系.
例2.令A={0,1},自由半群(A*,)上关系R:
αRβα,β含有同样多个1。
则R是(A*,)上同余关系。
例3.设f(x)=x2-x-2,令(Z,+)上关系R:
aRbf(a)=f(b).
R是Z上等价关系,但不是同余关系。
-1R2,f(-1)=f
(2)=0
-2R3,f(-2)=f(3)=4
-1+-2=-3,2+3=5
f(-3)=10,f(5)=18
-1+-2与2+3不满足R。
定理2.设R是半群(S,*)上同余关系。
定义商集S/R上二元运算*:
[a]*[b]=[a*b]。
则(S/R,*)是半群。
证明.设[a]=[a’],[b]=[b’],
要证[a*b]=[a’*b’]
aRa’,bRb’,由*是同余关系
a*bRa’*b’,因此[a*b]=[a’*b’],*是映射,二元运算。
还要证*满足结合律:
[a]*([b]*[c])=[a]*[b*c]
=[a*(b*c)]=[(a*b)*c]
=[a*b]*[c]=([a]*[b])*[c]
因此(S/R,*)是半群。
称S/R为商半群。
推论1.设R是独异点(S,*)上同余关系,则(S/R,*)是独异点。
证明.恒等元e∈S,只要证明[e]是S/R,的恒等元。
任何a∈S,
[a]*[e]=[a*e]=[a]
[e]*[a]=[e*a]=[a].
例5.(Zn,+),(Zn,×)都是半群,独异点。
Zn={[0],[1],[2],……,[n-1]}
[m]+[n]=[m+n]
定理3.令R是半群(S,*)上同余关系,(S/R,*)是商半群。
f:
S→S/R,
f(a)=[a],
则f是满同态,称f为自然同态。
定理4.同态基本定理
设f:
(S,*)→(T,*’)
是两个半群间的满同态映射,令R是S上二元关系:
a,b∈S,aRbf(a)=f(b).
则
(a)R是(S,*)上同余关系。
(b)(T,*’)(S/R,*).
HomeworkP337-338
4,10,14,16,22,24
§9.4群Group
群的定义
群(G,*)是一个代数系统,
1)封闭
2)结合律,
2)有单位元e,a*e=e*a=a,
3)对每个a∈G,存在a’∈G,a*a’=a’*a=e,
称a’为a的逆元。
群(G,*)是一个有单位元的独异点,对每个a∈G,存在逆元a’∈G,使a*a’=a’*a=e.
群(G,*)常简记为G,
a*b常简记为ab。
可换群叫Abel群AbelianGroup
群的例
(Z,+),
(Q,+),(Q\{0},×),
(R,+),(R\{0},×),
(Zn,+),
(Mn,+),
S上全体一一对应,对于复合,
最后一个不是Abel群。
例(R,*):
a*b=ab/2是Abel群。
群的性质
定理1.群的逆元唯一:
设G是群,任意a∈G,a只有一个逆元,记做a-1。
证明.
设a’,a”都是a的逆,
a’=a’aa”=a”.
定理2.群有消去律:
设G是群,a,b,c∈G,则
(a)ab=acb=c,
(b)ba=cab=c。
设G={a1,a2,……,an}任意a∈G,aG=G.
定理3.逆律
设G是群,a,b∈G,则
(a)(a-1)-1=a,
(b)(ab)-1=b-1a-1.
(c)(an)-1=(a-1)n
定理4.方程有唯一解
设G是群,a,b∈G,则
(a)方程ax=b在G中有唯一解。
(b)方程ya=b在G中有唯一解。
群G的阶:
|G|.
|G|有限时称G为有限群。
元素的阶
a∈G,a的阶:
使ak=e的最小的k。
如无这样的k,称a为无限阶。
a无限阶,任意n∈Z+,an≠e.
子群subgroup
HG,H对于G的运算*构成群。
H是G的子群当且仅当
(1)e∈H
(2)a,b∈Hab∈H
(3)a∈Ha-1∈H
H是G的子群当且仅当
a,b∈Hab-1∈H.
子群的例
设G是群,H={e}是子群。
G是群,a∈G,H={ak|k∈Z}是子群,叫做a生成的子群。
命题.一个群的任意两个子群的交仍是子群。
循环群cyclegroup
存在a∈G,任意x∈G,
x=ak,k∈Z。
a的阶是n,G={e,a,a2,……,an-1}
ak的逆是an-k。
a无限阶,
G={……,a-2,a-1,e,a,a2,……}
Z是无限循环群,Zn是n阶循环群。
有限群G是循环群当且仅当存在a∈G,a的阶=|G|.
(Zn,+),(Zp*,)
置换群Sn
三角形的自同构群?
A={1,2,3},A的所有置换对复合运算构成群:
=
(1)单位元
=(123)3阶元
=(132)
=(23)2阶元
=(13)
=(12)
S3={f1,f2,f3,g1,g2,g3}
称(S3,*)为对称群,Groupofsymeriesofatriangle。
S3的乘法表:
f1
f2
f3
g1
g2
g3
f1
f1
f2
f3
g1
g2
g3
f2
f2
f3
f1
g3
g1
g2
f3
f3
f1
f2
g2
g3
g1
g1
g1
g2
g3
f1
f2
F3
g2
g2
g3
g1
f3
f1
F2
g3
g3
g1
g2
f2
f3
F1
S4四元对称群,是四个元素的置换组成的对称群,共有4!
=24个置换。
Snn元对称群,是n个元素的置换组成的对称群,有n!
个元素。
Cayley定理:
任意的群都同构与某个对称群的子群。
自由群
群的同构与同态isomorphismandhomomorphismofgroups
同构f:
(G1,*)(G2,*),
f一一对应,保持运算。
|G1|=|G2|,对应元素有相同的阶。
同态f:
(G1,*)(G2,*),
f多一到上,保持运算。
ZZn
Z6≌Z7*
例16.S3与Z6都是6阶群,不同构。
定理5.单位元,逆元,子群在同态下保持
设f:
(G,*)(G’,*’)是同态,
则(a)f(e)=e’,
(b)f(a-1)=f(a)-1,
(c)H是G的子群f(H)是G’的子群。
共轭对应是群的自同态
a∈G,f:
G→G,f(x)=axa-1,f是同态。
HomeworkPP348-349
6,12,19,22,24,28,30,32,33
§9.5乘积群和商群
定理4.设G1,G2是群,则G1×G2是群,乘法定义(a1,b1)(a1,b1)=(a1a2,b1b2).
乘积群的例
Z2×Z3Z6,
Z2×Z2V(Klein四元群)
Zm×ZnZmniff(m,n)=1.
a≡1(modm)
b≡1(modn)
ab≡1(modmn)
B={0,1}
Bn=B×B×……×B。
定理5.设R是群(G,*)的同余关系,则商(G/R,*)是群。
群的同态定理
(a)设R是群(G,*)的同余关系,则fR:
G→G/R是群同态映射。
(b)设f:
(S,*)→(T,*’)
是两个群间的同态映射,令R是S上二元关系:
a,b∈S,aRbf(a)=f(b).
则
(1)R是(S,*)上同余关系。
(2)
:
(S/R,*)(T,*’).
子群的陪集coset
左陪集leftcoset
设H是G的一个子群,a∈G,
令aH={ah|h∈H}称为a确定的H的一个左陪集。
右陪集rightcoset
设H是G的一个子群,a∈G,
令Ha={ha|h∈H}称为a确定的H的一个右陪集。
例H1={0,3},H2={0,2,4}都是Z6的子群。
H1在Z6中的左陪集有
0+H1={0,3}=H1
1+H1={1,4}
2+H1={2,5}
3+H1={3,6}={0,3}=H1
4+H1={4,7}={1,4}
5+H1={5,8}={2,5}
陪集的性质,设H是G的子群,
命题1.a∈G,aH=Ha∈H.
证明.
设a∈H,任意h∈H,
由H是G的子群
ah∈H,aHH,
a-1∈H,a-1h∈H,
h=aa-1h∈aH,HaH。
因此aH=H
设aH=H,由H是G的子群
e∈H,a=ae∈aH=H,a∈H。
例3.H={f1,g2},是S3的子群,
求H的所有左陪集。
解.
f1H=g2H=H,
f2H=g1H={f2,g1}
f3H=g2H={f3,g2}
例4.Hf2={f2,g3}≠f2H
H不是正规子群。
命题2.a,b∈G则aH∩bH=或aH=bH.
证明.设aH∩bH≠。
存在h’,h”∈H,ah’=bh”.
任意h∈H,
ah=ah’h’-1h=bh”h’-1h∈bH,
aHbH.
同理bHaH.因此aH=bH.
H的所有左陪集组成G的一个划分,G=∪a∈GaH。
命题3.任a∈G,f:
aH→H,f(ah)=h是一一对应。
命题4.|G|=n,则|H||n.
命题5.|G|=n,a∈G,a的阶=k,则k|n.
推论设p是素数,a∈Z,~(p|a),则ap-1≡1.
证明.由~(p|a),~(a≡0).a∈Zp*,
设a的阶是k,ak≡1.
Zp*的阶是p-1.
由命题5,k|(p-1).
ap-1≡1.
正规子群Normalsubgroup
设H是G的一个子群,对任意a∈G,
aH=Ha,就称H是G的正规子群。
注意
aH=Ha并不是h∈H,ah=ha
而是存在h’∈H,ah=h’a.
命题6.
设G是Abel群,H是G的任意子群,则H是G的正规子群。
证明.任取a∈G,证明aH=Ha:
任意h∈H,ah=ha,aHHa,
aHHa,aH=Ha。
定理1.
设N是G的正规子群,在G上定义一个关系,a,b∈G,
aRba-1b∈N.
则
R是G的同余关系。
N=[e].
证明.(a)
R是等价关系:
1)a-1a=e∈N,aRa;
2)设aRb,a-1b∈N.
b-1a=(a-1b)-1∈N.
bRa;
3)设aRb,bRc,
a-1b∈N,b-1c∈N,
a-1c=(a-1b)(b-1c)∈N
aRc;
R是同余关系:
设aRb,cRd,
a-1b∈N,c-1d∈N,
c-1a-1b∈c-1N=Nc-1,
存在h∈N,c-1a-1b=hc-1
(ac)-1bd=c-1a-1bd=hc-1d∈N,
acRbd。
(b)任意x∈N,x-1e=x-1∈N,
xRe,x∈[e].N[e].
任意x∈[e],xRe,x-1e=x-1∈N,
x∈N,[e]N.
N=[e].
定理2.
令R是群G的同余关系,H=[e],则H是正规子群,任意a∈G,aH=Ha=[a]。
证明
H=[e]是G的子群。
任取a,b∈[e],有aRe,bRe,
R是同余关系,abRe,ab∈[e],
R是等价关系a-1Ra-1,eRa,
a-1eRa-1a,即a-1Re,a-1∈[e]
R是等价关系,eRe,e∈[e],
任取a∈G,aH=[a],
任取h∈H,hRe,aRa,
ahRae,ahRa,ah∈[a].
aH[a],
任取b∈[a],bRa,a-1Ra-1
a-1bRa-1a,a-1bRe,a-1b∈[e]=H
b=aa-1b∈aH。
[a]aH。
aH=[a].
同理可证Ha=[a].
aH=[a]=Ha,H是正规子群。
定理3.
设f:
GG’是满同态,令ker(f)={a|a∈G,f(a)=e’}.
则
ker(f)是G的正规子群,
G/ker(f)G’.
aRbf(a)=f(b)a-1b∈ker(f).
HomeworkPP353-354
1,3,6,12,16,18,22,24,29,30,31
习题
1.除单位元外只有二阶元的群是Abel群.
2.有左右消去率的有限半群是群.
3.偶数阶群中有奇数多个二阶元.
4.证明定理3.
5.有多少个8阶群?
§9.6BurnsideLemma伯恩赛德引理,Pόlya定理
9.7.1置换的类型
定义一个n次置换p可以分解为
互不相交的λ1个1轮换,
λ2个2轮换,……,λn个n轮换,
p称为(λ1,λ2,……,λn)型置换,
也称p是1λ12λ2……nλn型置换.
显然有
.
例如p1=
(1)(2,3)(4,5,6,7),p2=(1,2,3)(4,5)(6,7)
则p1属于11213041506070型
简写为(112141)型
p2属于10223140506070型
简写为(2231)型
3次对称群S3种置换可能的类型
1λ1+2λ2+3λ3=3
(λ1,λ2,λ3)
=(3,0,0),(1,1,0),(0,0,1)
(1)
(2)(3)∈(3,0,0)
(1,2)(3),
(1)(2,3),(1,3)
(2)∈(1,1,0)
(1,2,3)∈(0,0,1)
一个置换群G中,用
D(λ1,λ2,……,λn)表示
(λ1,λ2,……,λn)型置换的个数
定理9.7.1n元对称群Sn中
D(λ1,λ2,……,λn)
=
计算S3,S4中各种类型的置换个数。
以λk(p)表示p的k阶(不相交)轮换的个数,λ(p)表示p的所有(不相交)轮换的个数。
λ(p)=
λ1(p1)=1,λ2(p1)=1,λ4(p1)=1.
λ1(p2)=0,λ2(p1)=2,λ3(p1)=1.
9.7.2置换群的轨道
设G是S={1,2,……,n}的置换群,pG,iS
不动点和不动置换类
不动点
如果p(i)=i,称i是p的一个不动点。
P可以有不止一个不动点。
G中可以有不止一个置换以i为不动点。
p的不动点数=λ1(p).
不动置换类
G中以i为不动点的所有置换称为i的不动置换类,记为Zi。
例子G是4次对称群S4的子群
G={e,(1,2),(3,4),(1,2)(3,4)}
G中
Z1=Z2={e,(3,4)}
Z3=Z4={e,(1,2)}
定理9.7.2
群G中,对任意i,1in,
Zi构成G的子群,|Zi|||G|.
G的轨道
设G是S={1,2,……,n}的置换群,i,jS,如果存在pG,使p(i)=j,就称i,j相连,记做i~j。
所有与i相连的元素的集合记做Ei,Ei也称为i的轨道
~是S上等价关系,Ei是i所在的等价类。
G={e,(1,2),(3,4),(1,2)(3,4)}
G中E1=E2={1,2},E3=E4={3,4}.
S中每个元素都有一个轨道,
不同的轨道是互不相交的。
定理9.7.3对任意i,1in,
|Ei||Zi|=|G|.
证明
设pG,pZi是Zi的一个左陪集,如果p(i)=j,则对任意qZi,pq(i)=j,即陪集pZi中任意元素都把i变到j.
Zi的任意一个陪集把i变到一个元素,
Zi不同的陪集把i变到不同的元素。
Zi陪集的个数与Ei中元素个数一样多,因此有
|Ei|=|G|/|Zi|,
|Ei||Zi|=|G|.
9.7.3BurnsideLemma伯恩赛德引理
定理9.7.4(BurnsideLemma伯恩赛德引理)
设G={p1,p2,……,pr}是S={1,2,……,n}的置换群,
L表示G的轨道的个数。
则
L=
证明
记G的置换下不动点的总数为N,
依置换逐个计算
N=
=
.
依S中元素逐个计算
.
于是得到
L|G|=
L=
.
例1
对正方形的4个格子用两种颜色着色,有多少种不同的着