中考函数应用专题.docx
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中考函数应用专题
中考之函数应用专题
知识精讲：
1．函数的应用主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用．
2．利用函数知识解应用题的一般步骤：
（1）设定实际问题中的变量；
（2）建立变量与变量之间的函数关系，如：
一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；
（3）确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；
（4）利用函数的性质解决问题；
（5）写出答案．
3．利用函数并与方程（组）、不等式（组）联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．
例题精讲
考点典例一、一次函数相关应用题
【例1】（2019山东滨州第22题）星期天，李玉刚同学随爸爸妈妈会老家探望爷爷奶奶，爸爸8：
30骑自行车先走，平均每小时骑行20km；李玉刚同学和妈妈9：
30乘公交车后行，公交车平均速度是40km/h．爸爸的骑行路线与李玉刚同学和妈妈的乘车路线相同，路程均为40km/h．设爸爸骑行时间为x（h）．
（1）请分别写出爸爸的骑行路程y1（km）、李玉刚同学和妈妈的乘车路程y2（km）与x（h）之间的函数解析式，并注明自变量的取值范围；
（2）请在同一个平面直角坐标系中画出
（1）中两个函数的图象；
（3）请回答谁先到达老家．
【答案】
（1）y1=20x（0≤x≤2），y2=40（x﹣1）（1≤x≤2）；
（2）详见解析；（3）同时到达老家．
【点睛】本题根据实际问题考查了一次函数的运用．解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，画出图像，进而计算出临界点x的取值，再进一步解决问题即可．
【举一反三】
（2019新疆生产建设兵团第20题）暑假期间，小刚一家乘车去离家380公里的某景区旅游，他们离家的距离y（km）与汽车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示．
（1）从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间？
（2）求线段AB对应的函数解析式；
（3）小刚一家出发2.5小时时离目的地多远？
【答案】
（1）4h；
（2）y=120x﹣40（1≤x≤3）；（3）小刚一家出发2.5小时时离目的地120km远．
【解析】
考
考点典例二、反比例函数相关应用题
【例2】某地计划用120～180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万立方米．
（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：
天）与平均每天的工作量x（单位：
万立方米）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000立方米，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万立方米？
【答案】
（1）y=
（2≤x≤3）；
（2）原计划每天运送2.5万米3，实际每天运送3万米3．
【解析】
试题分析：
（1）利用“每天的工作量×天数=土方总量”可以得到两个变量之间的函数关系；
（2）根据“工期比原计划减少了24天”找到等量关系并列出方程求解即可；
试题解析：
（1）由题意得，y=
把y=120代入y=
，得x=3
考
【点睛】本题考查了反比例函数的应用及分式方程的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
【举一反三】
（2019海南省第9题）某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y（单位：
公顷/人）与总人口x（单位：
人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多
B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比例
C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人
D．当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷
【答案】D.
【解析】
试题分析：
由图像可知，该村人均耕地面积随总人口的增多而减少，故A错误；此函数为反比例函数，故B错误；设y=
，把（50，1）代入，得k=50，∴y=
，当x=2时，y=25，故C错误；由图可知当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷，故D正确.
考点典例三、二次函数相关应用题
【例3】（2019湖北襄阳第23题）（本小题满分10分）
襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元／件，且年销售量y（万件）关于售价x（元／件）的函数解析式为：
（1）若企业销售该产品获得自睥利润为W（万元），请直接写出年利润W（万元）关于售价（元/件）的函数解析式；
（2）当该产品的售价x（元/件）为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大?
最大年利润是多少?
（3）若企业销售该产品的年利澜不少于750万元，试确定该产品的售价x（元/件）的取值范围．
【答案】
（1）
（2）当该产品的售价定为50元／件时，销售该产品的年利润最大，最大利润为800万元．（3）要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，该产品的销售价x（元/件）的取值范围为45≤x≤55.
-2（x-50）2+800=750,解之，得
由函数W=-2（x-50）2+800的性质可知，
当45≤x≤55时，W≥750．
当60≤x≤70时，W最大值为600＜750.
所以，要使企业销售该产品的年利润不少于750万元，该产品的销售价x（元/件）的取值范围为45≤x≤55.
【点睛】根据题意，建立二次函数模型，将实际问题转化为数学问题．根据二次函数的性质解决即可.
【举一反三】
（2019湖北鄂州第23题）（本题满分10分）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。
如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加10x元（x为整数）。
⑴（2分）直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式。
⑵（4分）设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获
利润最大，最大利润是多少？
⑶（4分）某日，宾馆了解当天的住宿的情况，得到以下信息：
①当日所获利润不低于5000元，②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元，③每个房间刚好住满2人。
问：
这天宾馆入住的游客人数最少有多少人？
【答案】
（1）y=－x＋50;
（2）每间房价定价为320元时，每天利润最大，最大利润为9000元.（3）20.
所以当x＝20，即每间房价定价为10×20＋120=320元时，每天利润最大，最大利润为9000元.
⑶由
解得20≦x≦40）
当x=40时，这天宾馆入住的游客人数最少有:
2y=2（－x＋50）=2（－40＋50）=20（人）
例题精讲
1、（2019浙江台州第16题）竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t=．
【答案】1.6．
2、（2019重庆A卷第17题）甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间x（秒）之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是米．
【答案】175．
【解析】
试题分析：
根据题意得，甲的速度为：
75÷30=2.5米/秒，设乙的速度为m米/秒，则（m﹣2.5）×150=75，解得：
m=3米/秒，则乙的速度为3米/秒，乙到终点时所用的时间为：
1500÷3=500（秒），此时甲走的路程是：
2.5×（500+30）=1325（米），甲距终点的距离是1500﹣1325=175（米）．故答案为：
175．
3.（2019内蒙古巴彦淖尔第10题）小刚家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小刚家、学校到这条公路的距离忽略不计）一天，小刚从家出发去上学，沿这条公路步行到公交站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小刚下车时发现还有4分钟上课，于是他沿着这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计），小刚与学校的距离s（单位：
米）与他所用的时间t（单位：
分钟）之间的函数关系如图所示．已知小刚从家出发7分钟时与家的距离是1200米，从上公交车到他到达学校公用10分钟．下列说法：
①公交车的速度为400米/分钟；
②小刚从家出发5分钟时乘上公交车；
③小刚下公交车后跑向学校的速度是100米/分钟；
④小刚上课迟到了1分钟．
其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B．
∵小刚从下车至到达学校所用时间为5+10﹣12=3分钟，而小刚下车时发现还有4分钟上课，∴小刚下车较上课提前1分钟，故④错误；
故选B．
4.（2019辽宁葫芦岛第10题）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，汽车离开A城的距离y（km）与行驶时间t（h）的函数图象如图所示，下列说法正确的有（ ）
①甲车的速度为50km/h②乙车用了3h到达B城
③甲车出发4h时，乙车追上甲车④乙车出发后经过1h或3h两车相距50km．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D．
考
5.（2019辽宁沈阳第15题）在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲，乙两车分别从A，B两地出发，沿这条公路匀速行驶至C地停止．从甲车出发至甲车到达C地的过程，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图表示，当甲车出发 h时，两车相距350km．
【答案】
.
6．（2019年福建龙岩第23题）某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后，经过统计得到此商品单价在第x天（x为正整数）销售的相关信息，如表所示：
销售量n（件）
n=50﹣x
销售单价m（元/件）
当1≤x≤20时，m=20+
x
当21≤x≤30时，
m=10+
（1）请计算第几天该商品单价为25元/件？
（2）求网店销售该商品30天里所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；
（3）这30天中第几天获得的利润最大？
最大利润是多少？
【答案】
（1）10或28天;
（2）
;（3）15天时，最大利润为612.5元.
【解析】
试题分析：
（1）分别把m=25代入m=20+
x、
求的x值即可；
（2）分两种情形写出所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式即可．（3）分别计算两种情况下最大值问题即可．
试题解析：
（1）①当1≤x≤20时，将m=25代入m=20+x，解得x=10；②当21≤x≤30时，
，解得x=28.经检验x=28是方程的解.答：
第10天或第28天时该商品为25元
/件．
（2）①当1≤x≤20时，y=（m﹣10）n=（20+x﹣10）（50﹣x）=﹣
x2+15x+500，②当21≤x≤30时，
.综上所述：
.
（3）①当1≤x≤20时，由y=﹣
x2+15x+500=-
（x-15）2+
.∵a=
＜0，∴当x=15时，y最大值=
，②当21≤x≤30时，由
，可知y随x的增大而减小，∴当x=21时，y最大值=580元.∴第15天时获得利润最大，最大利润为612.5元．
7.（2019黑龙江大庆第26题）由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少，已知原有蓄水量y1（万m3）与干旱持续时间x（天）的关系如图中线段l1所示，针对这种干旱情况，从第20天开始向水库注水，注水量y2（万m3）与时间x（天）的关系如图中线段l2所示（不考虑其它因素）．
（1）求原有蓄水量y1（万m3）与时间x（天）的函数关系式，并求当x=20时的水库总蓄水量．
（2）求当0≤x≤60时，水库的总蓄水量y（万m3）与时间x（天）的函数关系式（注明x的范围），若总蓄水量不多于900万m3为严重干旱，直接写出发生严重干旱时x的范围．
【答案】
（1）y1=﹣20x+1200，x=20时，y1=800；
（2）当0≤x≤20时，y=﹣20x+1200，当20＜x≤60时，y=5x+700.
15≤x≤40.
试题解析：
（1）设y1=kx+b，把（0，1200）和（60，0）代入到y1=kx+b得：
，解得
，
∴y1=﹣20x+1200，当x=20时，y1=﹣20×20+1200=800，
（2）设y2=kx+b，把（20，0）和（60，1000）代入到y2=kx+b中得：
，解得
，∴y2=25x﹣500，当0≤x≤20时，y=﹣20x+1200，
当20＜x≤60时，y=y1+y2=﹣20x+1200+25x﹣500=5x+700，y≤900，则5x+700≤900，x≤40，
当y1=900时，900=﹣20x+1200，x=15，∴发生严重干旱时x的范围为：
15≤x≤40．
8.（2019山东潍坊第23题）旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：
当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．
（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？
（注：
净收入=租车收入﹣管理费）
（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？
【答案】
（1）每辆车的日租金至少应为25元；
（2）当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．
当x＞100时，
y2=（50﹣
）x﹣1100
=﹣
x2+70x﹣1100
=﹣
（x﹣175）2+5025，
当x=175时，y2的最大值为50
25，
5025＞3900，
故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．
9.（2019内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第25题）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．
（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．
（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？
【答案】
（1）血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y=2x（0≤x≤4），下降阶段的函数关系式为y=
（4≤x≤10）；
（2）血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间6小时．
将（4，8）代入得：
8=
，
解得：
a=32，
故反比例函数解析式为：
y=
；
因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y=2x（0≤x≤4），下降阶段的函数关系式为y=
（4≤x≤10）．
（2）当y=4，则4=2x，解得：
x=2，
当y=4，则4=
，解得：
x=8，
∵8﹣2=6（小时），
∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间6小时．
10.（2019湖北武汉第22题）（本题10分）某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生
产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如下表：
产品
每件售价（万元）
每件成本（万元）
每年其他费用（万元）
每年最大产销量（件）
甲
6
a
20
200
乙
20
10
40＋0.05x2
80
其中a为常数，且3≤a≤5．
（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；
（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；
（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？
请说明理由．
【答案】
（1）y1=（6-a）x-20（0＜x≤200），y2=-0.05x²+10x-40（0＜x≤80）；
（2）产销甲种产品的最大年利润为（1180-200a）万元，产销乙种产品的最大年利润为440万元；（3）当3≤a＜3.7时，选择甲产品；当
a=3.7时，选择甲乙产品；当3.7＜a≤5时，选择乙产品.
乙产品：
y2=-0.05x²+10x-40（0＜x≤80）
∴当0＜x≤80时，y2随x的增大而增大．
当x＝80时，y2max＝440（万元）．
∴产销甲种产品的最大年利润为（1180-200a）万元，产销乙种产品的最大年利润为440万元；
（3）1180－200＞440，解得3≤a＜3.7时，此时选择甲产品；
1180－200＝440，解得a=3.7时，此时选择甲乙产品；
1180－200＜440，解得3.7＜a≤5时，此时选择乙产品．
∴当3≤a＜3.7时，生产甲产品的利润高；
当a=3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同；
当3.7＜a≤5时，上产乙产品的利润高．
11、（2019四川南充第23题）小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发．家到公园的距离为2500m，如图是小明和爸爸所走的路程s（m）与步行时间t（min）的函数图象．
（1）直接写出小明所走路程s与时间t的函数关系式；
（2）小明出发多少时间与爸爸第三次相遇？
（3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早20min到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需作怎样的调整？
【答案】
（1）s=
；
（2）37.5min；（3）小明在步行过程中停留的时间需减少5min．
12.（2019贵州铜仁第23题）2019年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：
蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：
（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；
（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？
（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？
【答案】
（1）y=﹣10x+300（12≤x≤30）；
（2）16；（3）当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元．
考点：
二次函数的应用；一元二次方程的应用；二次函数的最值；最值问题．
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