届高三数学一轮复习第三章导数及其应用31.docx
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届高三数学一轮复习第三章导数及其应用31
第3章第1节
一、选择题
1．（文）2010·瑞安中学）函数y＝x2＋1在[1,1＋Δx]上的平均变化率是（ ）
A．2 B．2x
C．2＋ΔxD．2＋Δx2
[答案] C
[解析] ＝＝Δx＋2.
（理）二次函数y＝f（x）的图象过原点，且它的导函数y＝f′（x）的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f（x）的图象的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
[答案] C
[解析] 由题意可设f（x）＝ax2＋bx，f′（x）＝2ax＋b，由于f′（x）图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0，b>0，则f（x）＝a（x＋）2－，顶点（－，－）在第三象限，故选C.
2．（2010·江西文，4）若函数f（x）＝ax4＋bx2＋c满足f′
（1）＝2，则f′（－1）＝（ ）
A．－1B．－2
C．2D．0
[答案] B
[解析] f′（x）＝4ax3＋2bx，f′（－1）＝－4a－2b＝－（4a＋2b），f′
（1）＝4a＋2b，∴f′（－1）＝－f′
（1）＝－2
要善于观察，故选B.
[点评] 由f′（x）＝4ax3＋2bx知，f′（x）为奇函数，
∴f′（－1）＝－f′
（1）＝－2.
3．（2010·金华十校）曲线y＝x3上一点B处的切线l交x轴于点A，△OAB（O是原点）是以A为顶点的等腰三角形，则切线l的倾斜角为（ ）
A．30°B．45°
C．60°D．120°
[答案] C
[解析] 解法一：
设B（x0，x03），则kOB＝tan∠AOB＝x02，
∵AB＝AO，∴∠BAx＝2∠BOA，曲线y＝x3在B处切线斜率kAB＝3x02＝tan∠BAx＝tan2∠BOA＝，
∴x02＝，∴kAB＝，∴切线l倾斜角为60°.
解法二：
设B（x0，x03），由于y′＝3x2，故曲线l的方程为y－x03＝3x02（x－x0），令y＝0得点A，由|OA|＝|AB|得2＝2＋（x03－0）2，当x0＝0时，题目中的三角形不存在，故得x04＝，故x02＝，直线l的斜率k＝3x02＝，故直线l的倾斜角为60°.
4．已知f（x）＝logax（a>1）的导函数是f′（x），记A＝f′（a），B＝f（a＋1）－f（a），C＝f′（a＋1），则（ ）
A．A>B>CB．A>C>B
C．B>A>CD．C>B>A
[答案] A
[解析] 记M（a，f（a）），N（a＋1，f（a＋1）），则由于B＝f（a＋1）－f（a）＝，表示直线MN的斜率，A＝f′（a）表示函数f（x）＝logax在点M处的切线斜率；C＝f′（a＋1）表示函数f（x）＝logax在点N处的切线斜率．所以，A>B>C.
5．设函数f（x）＝sin－1（ω>0）的导函数f′（x）的最大值为3，则f（x）图象的一条对称轴方程是（ ）
A．x＝B．x＝
C．x＝D．x＝
[答案] A
[解析] f′（x）＝ωcos的最大值为3，
即ω＝3，
∴f（x）＝sin－1.
由3x＋＝＋kπ得，x＝＋ （k∈Z）．
故A正确．
6．（文）（2010·深圳市九校）下图是函数y＝f（x）的导函数f′（x）的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在区间（－2,1）上f（x）是增函数
B．在区间（1,3）上f（x）是减函数
C．在区间（4,5）上f（x）是增函数
D．当x＝4时，f（x）取极大值
[答案] C
[解析] 由图象可知，在区间（4,5）上，f′（x）>0，
∴f（x）在（4,5）上是增函数，故选C.
（理）（2010·厦门三中，2011·吉林省实验中学模拟）如图，函数y＝f（x）的图象在点P（5，f（5））处的切线方程是y＝－x＋8，则f（5）＋f′（5）＝（ ）
A.B．1
C．2D．0
[答案] C
[解析] 由条件知f′（5）＝－1，又在点P处切线方程为y－f（5）＝－（x－5），∴y＝－x＋5＋f（5），即y＝－x＋8，∴5＋f（5）＝8，∴f（5）＝3，∴f（5）＋f′（5）＝2.
7．（文）（2010·广东汕头一中）函数f（x）＝e2x的图象上的点到直线2x－y－4＝0的距离的最小值是（ ）
A.B.
C.D.
[答案] B
[解析] 设l为与直线2x－y－4＝0平行的函数f（x）＝e2x的图象的切线，切点为（x0，y0），则kl＝f′（x0）＝2e2x0＝2，∴x0＝0，y0＝1，∴切点（0,1）到直线2x－y－4＝0的距离d＝＝即为所求．
（理）（2010·海南五校联考）点P是曲线x2－y－2ln＝0上任意一点，则点P到直线4x＋4y＋1＝0的最小距离是（ ）
A.（1－ln2）B.（1＋ln2）
C.（＋ln2）D.（1＋ln2）
[答案] B
[解析] 将直线4x＋4y＋1＝0作平移后得直线l：
4x＋4y＋b＝0，直线l与曲线切于点P（x0，y0），由x2－y－2ln＝0得y′＝2x－，∴直线l的斜率k＝2x0－＝－1⇒x0＝或x0＝－1（舍去），∴P（，＋ln2），所求的最小距离即为点P（，＋ln2）到直线4x＋4y＋1＝0的距离：
d＝＝（1＋ln2）．
8．（文）（2010·广东检测）设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则（ ）
A．a<－1B．a>－1
C．a>－D．a<－
[答案] A
[解析] 由y′＝（ex＋ax）′＝ex＋a＝0得，ex＝－a，
即x＝ln（－a）>0⇒－a>1⇒a<－1.
（理）若函数f（x）＝x3－3bx＋b在区间（0,1）内有极小值，则b的取值范围是（ ）
A．（－∞，1）B．（0,1）
C．（1，＋∞）D．（－1,0）
[答案] B
[解析] 因为f′（x）＝3x2－3b.令f′（x）＝0，得x＝±，易知f（x）在（－∞，－）和（，＋∞）上单调增，在（－，）上单调减，因此函数f（x）在区间（0,1）内有极小值即∈（0,1），所以b∈（0,1）．
[点评] 函数和导数的复合问题能有效实现函数性质与导函数结构之间的相互转化，导函数在分析函数的单调性及单调区间、极值和最值方面有较强的优势；同时导数也可以在解释函数性质的基础上，解决诸如不等式的恒成立问题、实际问题的最优解问题、函数零点的判定问题等等；因此，导数与函数性质的结合始终是高考命题的重点．
9．（文）（2010·黑龙江省哈三中）已知y＝tanx，x∈，当y′＝2时，x等于（ ）
A.B.π
C.D.
[答案] C
[解析] y′＝（tanx）′＝′＝＝＝2，∴cos2x＝，∴cosx＝±，
∵x∈，∴x＝.
（理）（2010·东北师大附中模拟）定义方程f（x）＝f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）＝x，h（x）＝ln（x＋1），φ（x）＝x3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（ ）
A．α>β>γB．β>α>γ
C．γ>α>βD．β>γ>α
[答案] C
[解析] 由g（x）＝g′（x）得，x＝1，∴α＝1，由h（x）＝h′（x）得，ln（x＋1）＝，故知1由φ（x）＝φ′（x）得，x3－1＝3x2，∴x2（x－3）＝1，
∴x>3，故γ>3，∴γ>α>β.
[点评] 对于ln（x＋1）＝，假如01矛盾；假如x＋1≥2，则≤，即ln（x＋1）≤，∴x＋1≤，∴x≤－1与x≥1矛盾．
10．（文）函数f（x）＝xcosx的导函数f′（x）在区间[－π，π]上的图象大致为（ ）
[答案] A
[解析] ∵f（x）＝xcosx，
∴f′（x）＝cosx－xsinx，
∴f′（－x）＝f′（x），∴f′（x）为偶函数，排除C；
∵f′（0）＝1，排除D；
由f′＝－<0，f′（2π）＝1>0，排除B，故选A.
（理）（2010·胶州三中）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0,0<φ<π），其导函数f′（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）＝4sin
B．f（x）＝2sin
C．f（x）＝2sin
D．f（x）＝4sin
[答案] A
[解析] f′（x）＝Aωcos（ωx＋φ），由f′（x）的图象知，Aω＝2，设周期为T，则＝－＝2π，
∴T＝＝4π，∴ω＝，∴A＝4，
∵f′（x）的图象过点，∴2cos＝0，∴＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，
∵0<φ<π，∴φ＝.故选A.
二、填空题
11．（文）若曲线f（x）＝x4－x在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为________．
[答案] （1,0）
[解析] ∵f′（x）＝4x3－1，由题意4x3－1＝3，
∴x＝1.故切点P（1,0）．
（理）（2010·广东实华梧州联考）已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，则x0的值为________．
[答案] 0或－
[解析] 由条件知，
2x0＝－3x02，∴x0＝0或－.
12．（文）（2010·湖北黄冈模拟）已知函数f（x）的导数为f′（x），且满足f（x）＝3x2＋2xf′
（2），则f′（5）＝________.
[答案] 6
[解析] f′（x）＝6x＋2f′
（2），令x＝2得，
f′
（2）＝12＋2f′
（2），∴f′
（2）＝－12，
∴f（x）＝3x2－24x，∴f′（x）＝6x－24，∴f′（5）＝6.
（理）（2010·山东省实验中学模拟）若f（x）在R上可导，f（x）＝x2＋2f′
（2）x＋3，则f（x）dx＝________.
[答案] －18
[解析] ∵f（x）＝x2＋2f′
（2）x＋3，
∴f′（x）＝2x＋2f′
（2），∴f′
（2）＝4＋2f′
（2），
∴f′
（2）＝－4，∴f（x）＝x2－8x＋3，
∴f（x）dx＝03＝－18.
[点评] 注意f′
（2）是一个常数．
13．曲线y＝x3在点（a，a3）（a≠0）处的切线与x轴，直线x＝a所围成的三角形的面积为，则a＝________.
[答案] ±1
[解析] 因为y′＝3x2，所以曲线在（a，a3）处切线斜率为3a2，
切线方程为：
y－a3＝3a2（x－a）所围成三角形如右图所示的阴影部分．
设切线与x轴交于A点，则A；x＝a与x轴交于点B（a,0）；设切线与x＝a交于M（a，a3），
S△ABM＝·a3＝，得a＝±1.
14．（文）已知f（x）＝x＋lnx，g（x）＝x3＋x2－x（x>0），h（x）＝ex－x，p（x）＝cos2x,0[答案] x1[解析] 由f′（x）＝1＋＝0得x＝－1；由g′（x）＝3x2＋2x－1＝0得x＝－1或x＝，
∵x>0，∴x＝；由h′（x）＝ex－1＝0得，x＝0；
由p′（x）＝－2sin2x＝0得，2x＝kπ，k∈Z，∴x＝，
∵0（理）设函数f（x）＝cos（x＋φ）（0<φ<π），若f（x）＋f′（x）为奇函数，则φ＝________.
[答案]
[解析] f′（x）＝－sin（x＋φ），
由条件知cos（x＋φ）－sin（x＋φ）
＝2sin＝－2sin为奇函数，且0<φ<π，∴φ＝.
三、解答题
15．（文）（2010·吉林市质检）定义在R上的函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋3同时满足以下条件：
①f（x）在（－∞，－1）上是增函数，在（－1,0）上是减函数；
②f（x）的导函数是偶函数；
③f（x）在x＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直．
求函数y＝f（x）的解析式．
[解析] f′（x）＝3ax2＋2bx＋c，
∵f（x）在（－∞，－1）上是增函数，在（－1,0）上是减函数，
∴f′（－1）＝3a－2b＋c＝0①
由f（x）的导函数是偶函数得：
b＝0②
又f（x）在x＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直，
∴f′（0）＝c＝－1③
由①②③得：
a＝，b＝0，c＝－1，
即f（x）＝x3－x＋3.
（理）（2010·湖南考试院调研）已知函数f（x）＝，m∈R.
（1）求f（x）的极值；
（2）若lnx－ax<0在（0，＋∞）上恒成立，求a的取值范围．
[解析]
（1）由导数运算法则知，f′（x）＝.
令f′（x）＝0，得x＝em.
当x∈（0，em）时，f′（x）>0，f（x）单调递增；
当x∈（em，＋∞）时，f′（x）<0，f（x）单调递减．
故当x＝em时，f（x）有极大值，且极大值为f（em）＝e－m.
（2）欲使lnx－ax<0在（0，＋∞）上恒成立，只需设g（x）＝（x>0），由
（1）知，g（x）在x＝e处取得极大值.
所以a>，即a的取值范围为.
16．（2010·北京市延庆县模考）已知函数f（x）＝x3－（a＋b）x2＋abx，（0（1）若函数f（x）在点（1,0）处的切线的倾斜角为，求a，b的值；
（2）在
（1）的条件下，求f（x）在区间[0,3]上的最值；
（3）设f（x）在x＝s与x＝t处取得极值，其中s求证：
0[解析]
（1）f′（x）＝3x2－2（a＋b）x＋ab，tan＝－1.
由条件得，即，
解得a＝1，b＝2或a＝2，b＝1，
因为a（2）由
（1）知f（x）＝x3－3x2＋2x，f′（x）＝3x2－6x＋2，
令f′（x）＝3x2－6x＋2＝0，解得x1＝1－，x2＝1＋.
在区间[0,3]上，x，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
0
（0，x1）
x1
（x1，x2）
x2
（x2,3）
3
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
0
递增
递减
－
递增
6
所以f（x）max＝6；f（x）min＝－.
（3）证明：
f′（x）＝3x2－2（a＋b）x＋ab，
依据题意知s，t为二次方程f′（x）＝0的两根．
∵f′（0）＝ab>0，f′（a）＝a2－ab＝a（a－b）<0，
f′（b）＝b2－ab＝b（b－a）>0，
∴f′（x）＝0在区间（0，a）与（a，b）内分别有一个根．
∵s17．（文）（2010·北京东城区）已知函数f（x）＝ax2＋blnx在x＝1处有极值.
（1）求a，b的值；
（2）判断函数y＝f（x）的单调性并求出单调区间．
[解析]
（1）因为函数f（x）＝ax2＋blnx，
所以f′（x）＝2ax＋.
又函数f（x）在x＝1处有极值，
所以，即，
可得a＝，b＝－1.
（2）由
（1）可知f（x）＝x2－lnx，其定义域是（0，＋∞），
且f′（x）＝x－＝.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
所以函数y＝f（x）的单调减区间是（0,1），单调增区间是（1，＋∞）．
（理）（2010·北京东城区）已知函数f（x）＝aln（x＋1）＋（x＋1）2在x＝1处有极值．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）令g（x）＝f′（x），若曲线g（x）在（1，g
（1））处的切线与两坐标轴分别交于A、B两点（O为坐标原点），求△AOB的面积．
[解析]
（1）因为f（x）＝aln（x＋1）＋（x＋1）2，
所以f′（x）＝＋2x＋2.
由f′
（1）＝0，可得＋2＋2＝0，∴a＝－8.
经检验a＝－8时，函数f（x）在x＝1处取得极值，
所以a＝－8.
（2）f（x）＝－8ln（x＋1）＋（x＋1）2，
f′（x）＝＋2x＋2＝.
而函数f（x）的定义域为（－1，＋∞），
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
由表可知，f（x）的单调减区间为（－1,1）单调增区间为（1，＋∞）．
（3）由于g（x）＝f′（x）＝＋2x＋2，
所以g′（x）＝＋2，
当x＝1时，g′
（1）＝4，g
（1）＝0.
所以切线斜率为4，切点为（1,0），
所以切线方程为y＝4（x－1），即4x－y－4＝0.
令x＝0，得y＝－4，令y＝0，得x＝1.
所以△AOB的面积S＝×|－4|×1＝2.
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