勾股定理培优专项练习.docx
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勾股定理培优专项练习
勾股定理练习
一、(根据对称求最小值)基本模型:
如下图1(自己作图)
已知点A、B为直线m同侧的两个点,请在直线刃上找一点M,使得AM+BM有最小值。
1、已知边长为4的正三角形ABC上一点E,AE=1,AD丄BC于D,请在AD上找一点N,使得EN+BN有最小值,并求出最小值。
2、已知边长为4的正方形ABCD上一点E,AE=1,请在对角线AC上找一点N,使得EN+BN有最小值,并求出最小值。
3、如图,已知直线a//b,且力与方之间的距离为4,点A到直线0的距离为2,点B到直
线b的距离为3,AB二2、丽.试在直线d上找一点M,在直线b上找一点N,满足MN丄2且AM+MN+NB的长度和最短,则此时AM+NB二()
A.6B.8C.10D.12
4、已知AB=20,DA丄AB于点A,CB丄AB于点B,DA=10,CB=5.
(1)在AB上找一点E,使EC=ED,并求出EA的长;
(2)在AB上找一点F,使FC+FD最小,并求出这个最小值
5、如图,在梯形ABCD中,ZC=45°,ZBAD=ZB=90°,AD=3,CD=2<2,
为BC上一动点,则Z\AMD周长的最小值为.
6、如图,等边AABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AB边上一点,
7、如图ZAOB=45°,卩是ZAOB-点,P0=10,Q、R分别是OA.OB上的动点,求Z\PQR周长的最小值•
8.如图所示,正方形ABCD的面积为12,AABE是等边三角形,点E在正方形ABCD,在对角
线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为()
A.2B.2y.16C.3D・v6
点P为对角线AC上一动点,连
9、在边长为2皿的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,
接PB、PQ,则Z\PBQ周长的最小值为cm
10、在长方形ABCD中,AB=4fBC=8,E为CD边的中点,若卩、Q是BC边上的两动点,且PQ二2,当四边形APQE的周长最小时,求BP的长.(在AD上截取AF二PQ=2,作A关于BC的对称点G,连GE交BC与点Q,作AP/7AQ,作RtAGHE,可求结果为4)
二、几何体展开求最短路径
1、如图,是一个三级台阶■它的每一级的长、宽.髙分别为20力3力2dm.A和B是这个
台阶两相对的端点,A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物,则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是多少dm2
2、如图:
一圆柱体的底面周长为20皿,高AB为4皿BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.
3、如图,一个高18m,周长5m的圆柱形水塔,现制造一个螺族形登梯,为了减小坡度,要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端,问登梯至少多长?
4、如图,一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发,沿长方体的表面爬到对角顶点G处(三条棱长如图所示),问怎样走路线最短?
最短路线长为多少?
5、如图,圆柱形容器中,高为1.2m,底面周长为lm,在容器壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁,离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处,求壁虎捕捉蚊子的最短距离。
三、折叠问题
1、如图所示,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8⑵,BC=10⑵,
求EF的长。
2、如图,把矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点B'处,点A落在点
A'处;
(1)求证:
BrE=BF;
(2)设AE=a,AB",BF二c,试猜想爪b、c之问的一种关系,并给予证明
3、如图,有一直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,将ZkABC折叠,
使点B与点A重合,折痕为DE,则CD=。
4、如图,折叠长方形ABCD的一边AD,点D落在BC边的D'处,AE是折痕,已知CD=6皿,CD'=2⑵,则AD的长为
点C落在BA上的点C',折痕为BE,则EC的长度是()
6、如图,把矩形ABCD沿直线BD向上折叠,使点C落在C'的位置上,已知AB二口3,BC二7,求重合部分AEBD的面积。
四、弦图有关问题
1、如图,直线1上有三个正方形a、b、c,若a、c的面积分别为5和11,则b的面积
B.
7、在直线1上依次摆放着七个正方形(如图).已知斜放置的三个正方形的面积分别
是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S】、S?
、S3、S„则Si+Sz+Sj+Sf.
8、我国汉代数学家爽为了证明勾股定理,创制了一幅''弦图”,后人称其为"爽弦图如
图是由弦图变化得到,它是用八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S,,S2,S;l.若S^S.+S:
^10,则S2的值是。
9、如图,已知ZXABC中,ZABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线
厶、J厶上,且厶、厶之间的距离为2,厶、厶之间的距离为3,求AC的长。
五、勾股定理的证明
1、将直角边长分别为爪b,斜边长为c的四个直角三角形拼成一个边长为c的正方形,请利用该图形证明勾股定理。
2、将直角边长分别为爪方,斜边长为c的四个直角三角形拼成一个边长为M方的正方形,请利用该图形证明勾股定理。
3、以$、方为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上.请利用该图形证明勾股定理。
4、已知,如图所示,正方形ABCD的边长为1,G为CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF,连接DE交BG的延长线于点H.
(1)求证:
①厶BCG9ADCE②HB丄DE
(2)试问当G点运动到什么位置时,BH垂直平分DE?
请说明理由.
六、勾股定理中考典型题目练习
1、图①所示的正方体木块棱长为6饱,沿其相邻三个面的对角线(图中虚线)剪掉一角,得
到如图②的几何体,一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短
距离为
2、我国古代有这样一道数学问题:
“枯木一根直立地上’高二丈周三尺,有藤自根缠绕而上,
五周而达其顶,问藤之长几何?
,题意是:
如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰
好到达点B处.则问题中藤的最短长度是尺.
3、如图,AABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上,BD丄AC于点D.则CD
4、如图,已知圆柱底面的周长为4血,圆柱高为2dm,在圆柱的侧面上,过点A和点C嵌有
一圈金属丝,则这圈金属丝的周长最小为()
A.4x''2dmB.2Q2dmC.2^5dmD.4y[5dm
5、如图,在等腰AABC中,AB=AC,BC边上的高AD二6⑵,腰AB上的高CE=8m,则Z\ABC的
周长等于cm.
6、如图,RtAABC中,AB=9,BC=6,ZB=90°,将AABC折叠,使A点与BC的中点D重合,
折痕为MN,则线段BN的长为。
7、如图①是一个直角三角形纸片,ZA=30°,BC二4cnb将其折叠,使点C落在斜边上的点
C'处,折痕为BD,如图②,再将②沿DE折叠,使点A落在DC'的延长线上的点A'处如图
③,则折痕DE的长o
9.如图,RtAABC中,ZACB二90°,ZABC二60°,BC二2cm,D为BC中点,若动点E以lcm/s
的速度从A点出发,沿着A-B-A的方向运动,设E点的运动时间为t秒(0WtV6),连接DE,当ABDE是直角三角形时,t的值为()
A.2B.2.5或3・5C.3.5或4・5D.2或3.5或4.5
10.如图,已知直线a〃方,且2与方之间的距离为4,点A到直线刀的距离为2,点B到直
线b的距离为3,AB=2V30.试在直线d上找一点M,在直线方上找一点N,满足MN丄$且AM+MN+NB的长度和最短,则此时AM+NB二()A.6B.8C.10D.2
11.如图,AAOB中,ZA0B=90°,AO=3,B0=6,AA0B绕顶点0逆时针旋转到△ArOBf处,
此时线段A'B■与B0的交点E为B0的中点,则线段B'E的长度为
12、如图,四边形ABCD中,ZBAD-ZBCD-900,AB二AD,若四边形ABCD的面积是24血,则
AC长是cm.
13、一个正方体物体沿斜坡向下滑动,其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米,
坡角ZA=30°,ZB=90°,BC=6米.当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE=米时,
有DC2=AE2+BC2.
14、如上图4所示,四边形ABCD中,DC〃AB,BC=1,AB二AC二AD二2.则BD的长为()
A.B.V15C.341D.2^3
15、如图,由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形,连接小正方形的三个顶点,可得
到ZXABC,则ZXABC中BC边上的高是。
16、已知AABC是边长为1的等腰直角三角形,以RtAABC的斜边AC为直角边,画第二个等
腰RtAACD,再以RtAACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰RtAADE,…,依此类推,第a个等腰直角三角形的斜边长是.
17、1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票•所谓勾股图是指以直角三角形的三边为
边向外作正方形构成,它可以验证勾股定理.在右图的勾股图中,已知ZACB二90°,ZBAC=30°,AB=4.作△卩QR使得ZR=90°,点H在边QR上,点D,E在边PR上,点G、F在边PQ上,那么APQR的周长等于.
18、如图,长方体的底面边长分别为和3cm、高为6s.如果用一根细线从点A开始经
过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要cm;如果从点A开始经过4个
侧面缠绕〃圈到达点B,那么所用细线最短需要cm.
19、如图,将矩形ABCD的四个角向折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,EH=12
厘米,EF=16厘米,则边AD的长是()
A.12厘米B.16厘米C.20厘米D.28厘米
20、如图,正方形纸片ABCD的边长为3,
点E、F分别在边BC、CD上,将AB、AD分别和AE、
AF折叠,点B、D恰好都将在点G处,已知BE=1,则EF的长为(
359
A.二B・二C.-D・3
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21、在ZXABC中,已知AB=20,AC=15,BC边上的高AD为12,AABC的面积为。
22、如图,公路跟和公路PQ在点P处交汇,且ZQPN=30°,点A处有一所中学,AP=160仏假设拖拉机行驶时,周围100刃以会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?
请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18如必,那么学校受影响的时间为多少秒?
23、如图,将边长为8cm的正方形ABCD折叠,使点落在BC边的中点E处,点A落在F处,折痕为MN,求折痕HN的长度。
2、我国古代数学家爽的《勾股圆方图》,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼
成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较短直角边为a,较长直角边为b,那么@+方)2的值为()
A、13B、19C、25D、169
3、如图,直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作,、S2、S3,则,、S2、S3之
间的关系是()A、S.+S2>S3B、S(+S24、如上图2,由4个全等的直角三角形拼合而成,若图小正方形的面积分别为52和4,则
直角三角形的两条直角边的长分别为。
5、已知:
如图,以RtAABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB=3,则图中阴影部分的面积为