等腰三角形练习题及答案汇总.docx
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等腰三角形练习题及答案汇总
等腰三角形典型例题练习
一.选择题(共2小题)
1.如图,∠C=90°,AD均分∠BAC交
到AB的距离为()
BC于
D,若
BC=5cm,BD=3cm,则点
D
A.5cmB.3cmC.2cmD.不能确立
2.如图,已知C是线段AB上的随意一点(端点除外),分别以AC、BC为边而且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE,连结AE交CD于M,连结BD
交CE于N.给出以下三个结论:
①AE=BD
②CN=CM
③MN∥AB
此中正确结论的个数是()
A.0B.1C.2D.3
二.填空题(共1小题)
3.如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,DE⊥AC,
EF⊥AB,FD⊥BC,则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于_________.
三.解答题(共15小题)
4.在△ABC中,AD是∠BAC的均分线,E、F分别为AB、AC上的点,且
∠EDF+∠EAF=180°,求证DE=DF.
5.在△ABC中,∠ABC、∠ACB的均分线订交于点O,过点O作DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E.请说明DE=BD+EC.
6.>已知:
如图,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分
别为E,F,且DE=DF.请判断△ABC是什么三角形?
并说明原因.
优选
7.如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延伸BC至E,使CE=CD.连
接DE.
(1)∠E等于多少度?
(2)△DBE是什么三角形?
为何?
8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,∠A=30°.求证:
AB=4BD.
9.如图,△ABC中,AB=AC,点D、E分别在AB、AC的延伸线上,且BD=CE,DE与BC订交于点F.求证:
DF=EF.
10.已知等腰直角三角形ABC,BC是斜边.∠B的角均分线交AC于D,过C
作CE与BD垂直且交BD延伸线于E,
求证:
BD=2CE.
优选
11.(2012?
牡丹江)如图①,△ABC中.AB=AC,P为底边BC上一点,PE⊥AB,
PF⊥AC,CH⊥AB,垂足分别为E、F、H.易证PE+PF=CH.证明过程以下:
如图①,连结AP.
∵PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,
∴S△ABP=AB?
PE,S△ACP=AC?
PF,S△ABC=AB?
CH.
又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC,
∴AB?
PE+AC?
PF=AB?
CH.
∵AB=AC,
∴PE+PF=CH.
(1)如图②,P为BC延伸线上的点时,其余条件不变,PE、PF、CH又有怎
样的数目关系?
请写出你的猜想,并加以证明:
(2)填空:
若∠A=30°,△ABC的面积为49,点P在直线BC上,且P到直线AC的距离为PF,当PF=3时,则AB边上的高CH=_________.点P到
AB边的距离PE=_________.
12.数学课上,李老师出示了以下的题目:
优选
“在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延伸线上,且ED=EC,如图,试确立线段AE与DB的大小关系,并说明原因”.小敏与同桌小聪议论后,进行了以下解答:
(1)特别状况,探究结论
当点E为AB的中点时,如图1,确立线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:
AE_________DB(填“>”,“<”或“=”).
(2)特例启迪,解答题目
解:
题目中,AE与DB的大小关系是:
AE_________DB(填“>”,“<”
或“=”).原因以下:
如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请你达成以下解答过程)
(3)拓展结论,设计新题
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC.若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你直接写出结果).
13.已知:
如图,AF均分∠BAC,BC⊥AF于点E,点D在AF上,ED=EA,点P在CF上,连结PB交AF于点M.若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数目关系,并说明原因.
优选
14.如图,已知△ABC是等边三角形,点D、E分别在BC、AC边上,且AE=CD,AD与BE订交于点F.
(1)线段AD与BE有什么关系?
试证明你的结论.
(2)求∠BFD的度数.
15.如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,F为AB延伸线上一点,点E
在BC上,BE=BF,连结AE、EF和CF,求证:
AE=CF.
16.已知:
如图,在△OAB中,∠AOB=90°,OA=OB,在△EOF中,∠EOF=90°,OE=OF,连结AE、BF.问线段AE与BF之间有什么关系?
请说明原因.
优选
17.(2006?
郴州)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC上随意一点,过D分
别向AB,AC引垂线,垂足分别为E,F,CG是AB边上的高.
(1)DE,DF,CG的长之间存在着如何的等量关系?
并加以证明;
(2)若D在底边的延伸线上,
(1)中的结论还建立吗?
若不建立,又存在如何的关系?
请说明原因.
18.如图甲所示,在△ABC中,AB=AC,在底边BC上有随意一点P,则P点到两腰的距离之和等于定长(腰上的高),即PD+PE=CF,若P点在BC的延伸线上,那么请你猜想PD、PE和CF之间存在如何的等式关系?
写出你的猜想并加以证明.
优选
等腰三角形典型例题练习
参照答案与试题分析
一.选择题(共2小题)
1.如图,∠C=90°,AD均分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D
到AB的距离为()
A.5cmB.3cmC.2cmD.不能确立
考点:
角均分线的性质.1418944
剖析:
由已知条件进行思虑,联合利用角均分线的性质可得点D到AB
的距离等于D到AC的距离即CD的长,问题可解.
解答:
解:
∵∠C=90°,AD均分∠BAC交BC于D
∴D到AB的距离即为CD长CD=5﹣3=2应选C.
2.如图,已知C是线段AB上的随意一点(端点除外),分别以AC、BC为边而且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE,连结AE交CD于M,连结BD交CE于N.给出以下三个结论:
①AE=BD②CN=CM③MN∥AB此中正确结论的个数是()
A.0B.1C.2D.3
优选
考点:
平行线分线段成比率;全等三角形的判断与性质;等边三角形的
性质.1418944
剖析:
由△ACD和△BCE是等边三角形,依据SAS易证得△ACE≌△DCB,
即可得①正确;由△ACE≌△DCB,可得∠EAC=∠NDC,又由
∠ACD=∠MCN=60°,利用ASA,可证得△ACM≌△DCN,即可得②正
确;又可证得△CMN是等边三角形,即可证得③正确.
解答:
解:
∵△ACD和△BCE是等边三角形,∴∠ACD=∠BCE=60°,AC=DC,
EC=BC,
∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB,即∠ACE=∠DCB,∴△ACE≌△DCB
(SAS),
∴AE=BD,故①正确;
∴∠EAC=∠NDC,∵∠ACD=∠BCE=60°,∴∠DCE=60°,
∴∠ACD=∠MCN=60°,
∵AC=DC,∴△ACM≌△DCN(ASA),∴CM=CN,故②正确;
又∠MCN=180°﹣∠MCA﹣∠NCB=180°﹣60°﹣60°=60°,
∴△CMN是等边三角形,∴∠NMC=∠ACD=60°,∴MN∥AB,故③正
确.应选D.
二.填空题(共1小题)
3.如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,DE⊥AC,
EF⊥AB,FD⊥BC,则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于
1:
3.
优选
考点:
相像三角形的判断与性质;全等三角形的判断与性质;等边三角
形的性质.1418944
剖析:
第一依据题意求得:
∠DFE=∠FED=∠EDF=60°,即可证得△DEF
是正三角形,又由直角三角形中,30°所对的直角边是斜边的一
半,获得边的关系,即可求得DF:
AB=1:
,又由相像三角形的
面积比等于相像比的平方,即可求得结果.
解答:
解:
∵△ABC是正三角形,∴∠B=∠C=∠A=60°,
∵DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,∴∠AFE=∠CED=∠BDF=90°,
∴∠BFD=∠CDE=∠AEF=30°,∴∠DFE=∠FED=∠EDF=60°,,
∴△DEF是正三角形,∴BD:
DF=1:
①,BD:
AB=1:
3②,
△DEF∽△ABC,
①÷②,=,∴DF:
AB=1:
,∴△DEF的面积与△ABC的面
积之比等于1:
3.
故答案为:
1:
3.
三.解答题(共15小题)
优选
4.在△ABC中,AD是∠BAC的均分线,E、F分别为AB、AC上的点,且
∠EDF+∠EAF=180°,求证DE=DF.
考点:
全等三角形的判断与性质;角均分线的定义.1418944
剖析:
过D作DM⊥AB,于M,DN⊥AC于N,依据角均分线性质求出DN=DM,
依据四边形的内角和定理和平角定义求出∠AED=∠CFD,依据全等
三角形的判断AAS推出△EMD≌△FND即可.
解答:
证明:
过D作DM⊥AB,于M,DN⊥AC于N,
即∠EMD=∠FND=90°,
∵AD均分∠BAC,DM⊥AB,DN⊥AC,∴DM=DN(角均分线性质),∠DME=∠DNF=90°,
∵∠EAF+∠EDF=180°,∴∠MED+∠AFD=360°﹣180°=180°,
∵∠AFD+∠NFD=180°,∴∠MED=∠NFD,
在△EMD和△FND中
,∴△EMD≌△FND,∴DE=DF.
5.在△ABC中,∠ABC、∠ACB的均分线订交于点O,过点O作DE∥BC,分别交AB、AC于点D、E.请说明DE=BD+EC.
优选
考点:
等腰三角形的判断与性质;平行线的性质.1418944
剖析:
依据OB和OC分别均分∠ABC和∠ACB,和DE∥BC,利用两直线平
行,内错角相等和等量代换,求证出
DB=DO,OE=EC.而后即可得
出答案.
解答:
解:
∵在△ABC中,OB和OC分别均分∠ABC和∠ACB,
∴∠DBO=∠OBC,∠ECO=∠OCB,
∵DE∥BC,∴∠DOB=∠OBC=∠DBO,∠EOC=∠OCB=∠ECO,
∴DB=DO,OE=EC,∵DE=DO+OE,∴DE=BD+EC.
6.>已知:
如图,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF.请判断△ABC是什么三角形?
并说明原因.
考点:
等腰三角形的判断;全等三角形的判断与性质.1418944
剖析:
用(HL)证明△EBD≌△FCD,进而得出∠EBD=∠FCD,即可证明
△ABC是等腰三角形.
解答:
△ABC是等腰三角形.
优选
证明:
连结AD,∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°,且
DE=DF,
∵D是△ABC的BC边上的中点,∴BD=DC,
∴Rt△EBD≌Rt△FCD(HL),∴∠EBD=∠FCD,∴△ABC是等腰三角形.
7.如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延伸BC至E,使CE=CD.连
接DE.
(1)∠E等于多少度?
(2)△DBE是什么三角形?
为何?
考点:
等边三角形的性质;等腰三角形的判断.1418944
剖析:
(1)由题意可推出∠ACB=60°,∠E=∠CDE,而后依据三角形外
角的性质可知:
∠ACB=∠E+∠CDE,即可推出∠E的度数;
(2)依据等边三角形的性质可知,BD不只为AC边上的高,也是
∠ABC的角均分线,即得:
∠DBC=30°,而后再联合
(1)中求得
的结论,即可推出△DBE是等腰三角形.
解答:
解:
(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,
优选
∵CD=CE,∴∠E=∠CDE,∵∠ACB=∠E+∠CDE,
∴,
(2)∵△ABC是等边三角形,BD⊥AC,∴∠ABC=60°,
∴,
∵∠E=30°,∴∠DBC=∠E,∴△DBE是等腰三角形.
8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,∠A=30°.求证:
AB=4BD.
考点:
含30度角的直角三角形.1418944
剖析:
由△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°能够推出AB=2BC,同理可得
BC=2BD,则结论即可证明.
解答:
解:
∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴AB=2BC,∠B=60°.
又∵CD⊥AB,∴∠DCB=30°,∴BC=2BD.∴AB=2BC=4BD.
9.如图,△ABC中,AB=AC,点D、E分别在AB、AC的延伸线上,且BD=CE,DE与BC订交于点F.求证:
DF=EF.
优选
考点:
全等三角形的判断与性质;等腰三角形的性质.
1418944
剖析:
过D点作DG∥AE交BC于G点,由平行线的性质得∠1=∠2,
∠4=∠3,再依据等腰三角形的性质可得∠
B=∠2,则∠B=∠1,于
是有DB=DG,依据全等三角形的判断易得△
DFG≌△EFC,即可得
到结论.
解答:
证明:
过D点作DG∥AE交BC于G点,如图,
∴∠1=∠2,∠4=∠3,
∵AB=AC,∴∠B=∠2,∴∠B=∠1,∴DB=DG,而
BD=CE,∴DG=CE,
在△DFG和△EFC中
,∴△DFG≌△EFC,∴DF=EF.
10.已知等腰直角三角形ABC,BC是斜边.∠B的角均分线交AC于D,过C
作CE与BD垂直且交BD延伸线于E,
求证:
BD=2CE.
考点:
全等三角形的判断与性质.1418944
剖析:
延伸CE,BA交于一点F,由已知条件可证得△BFE全≌△BEC,所
优选
以FE=EC,即CF=2CE,再经过证明△ADB≌△FAC可得FC=BD,所
以BD=2CE.
解答:
证明:
如图,分别延伸CE,BA交于一点F.
∵BE⊥EC,∴∠FEB=∠CEB=90°,∵BE均分∠ABC,∴∠FBE=∠CBE,
又∵BE=BE,∴△BFE≌△BCE(ASA).∴FE=CE.∴CF=2CE.
∵AB=AC,∠BAC=90°,∠ABD+∠ADB=90°,∠ADB=∠EDC,
∴∠ABD+∠EDC=90°.
又∵∠DEC=90°,∠EDC+∠ECD=90°,∴∠FCA=∠DBC=∠ABD.
∴△ADB≌△AFC.∴FC=DB,∴BD=2EC.
11.(2012?
牡丹江)如图①,△ABC中.AB=AC,P为底边BC上一点,PE⊥AB,
PF⊥AC,CH⊥AB,垂足分别为E、F、H.易证PE+PF=CH.证明过程以下:
如图①,连结AP.
∵PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,∴S△ABP=AB?
PE,S△ACP=AC?
PF,S△ABC=AB?
CH.
又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC,∴AB?
PE+AC?
PF=AB?
CH.
∵AB=AC,∴PE+PF=CH.
(1)如图②,P为BC延伸线上的点时,其余条件不变,PE、PF、CH又有怎
样的数目关系?
请写出你的猜想,并加以证明:
优选
(
2)填空:
若∠A=30°,△ABC的面积为49,点P在直线BC上,且P到直线AC的距离为PF,当PF=3时,则AB边上的高CH=7.点P到AB边的距离PE=4或10.
考点:
等腰三角形的性质;三角形的面积.1418944
剖析:
(1)连结AP.先依据三角形的面积公式分别表示出S△ABP,S△ACP,
S△ABC,再由S△ABP=S△ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH;
(2)先依据直角三角形的性质得出AC=2CH,再由△ABC的面积为
49,求出CH=7,因为CH>PF,则可分两种状况进行议论:
①P为
底边BC上一点,运用结论PE+PF=CH;②P为BC延伸线上的点时,
运用结论PE=PF+CH.
解答:
解:
(1)如图②,PE=PF+CH.证明以下:
∵PE⊥AB,PF⊥AC,CH⊥AB,∴S△ABP=AB?
PE,S△ACP=AC?
PF,
S△ABC=AB?
CH,
∵S△ABP=S△ACP+S△ABC,∴AB?
PE=AC?
PF+AB?
CH,又∵AB=AC,
∴PE=PF+CH;
(2)∵在△ACH中,∠A=30°,∴AC=2CH.
∵S△ABC=AB?
CH,AB=AC,∴×2CH?
CH=49,∴CH=7.
分两种状况:
优选
①P为底边BC上一点,如图①.
∵PE+PF=CH,∴PE=CH﹣PF=7﹣3=4;
②P为BC延伸线上的点时,如图②.
∵PE=PF+CH,∴PE=3+7=10.故答案为
7;4或10.
12.数学课上,李老师出示了以下的题目:
“在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延伸线上,且ED=EC,
如图,试确立线段AE与DB的大小关系,并说明原因”.
小敏与同桌小聪议论后,进行了以下解答:
(1)特别状况,探究结论
当点E为AB的中点时,如图1,确立线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:
AE=DB(填“>”,“<”或“=”).
(2)特例启迪,解答题目
解:
题目中,AE与DB的大小关系是:
AE=DB(填“>”,“<”或
“=”).原因以下:
如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请你达成以
下解答过程)
(3)拓展结论,设计新题
优选
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC.若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你直接写出结
果).
考点:
等边三角形的判断与性质;三角形的外角性质;全等三角形的判
定与性质;等腰三角形的性质.1418944
剖析:
(1)依据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出
∠D=∠ECB=30°,求出∠DEB=30°,求出BD=BE即可;
(2)过E作EF∥BC交AC于F,求出等边三角形AEF,证△DEB
和△ECF全等,求出BD=EF即可;
(3)当D在CB的延伸线上,E在AB的延伸线式时,由
(2)求出
CD=3,当E在BA的延伸线上,D在BC的延伸线上时,求出CD=1.
解答:
解:
(1)故答案为:
=.
(2)过E作EF∥BC交AC于F,
∵等边三角形ABC,∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC=BC,∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,即∠AEF=∠AFE=∠A=60°,
∴△AEF是等边三角形,∴AE=EF=AF,
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°,∴∠DBE=∠EFC=120°,
∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°,
优选
∵DE=EC,∴∠D=∠ECD,∴∠BED=∠ECF,
在△DEB和△ECF中
,∴△DEB≌△ECF,∴BD=EF=AE,即AE=BD,故答案为:
=.
(3)解:
CD=1或3,
原因是:
分为两种状况:
①如图1
过A作AM⊥BC于M,过E作EN⊥BC于N,则AM∥EM,
∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC=1,
∵AM⊥BC,∴BM=CM=BC=,∵DE=CE,EN⊥BC,∴CD=2CN,
∵AM∥EN,∴△AMB∽△ENB,∴=,∴=,
∴BN=,∴CN=1+=,∴CD=2CN=3;
②如图2,作AM⊥BC于M,过E作EN⊥BC于N,
则AM∥EM,
∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC=1,
∵AM⊥BC,∴BM=CM=BC=,∵DE=CE,EN⊥BC,∴CD=2CN,
优选
∵AM∥EN,∴=,∴=,∴MN=1,∴CN