又因为＋≥＋＝
＝·≥，
当且仅当x＝2－1，y＝3－2时取等号．
答案：
4．若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，则的最大值为________．
详细分析：
2x2＋xy－y2＝（2x－y）（x＋y），
令2x－y＝m，x＋y＝n，则mn＝1，
当＝＝取得最大值时，必有m－n＞0，
则＝≤＝，
当且仅当m－n＝时取等号，
所以的最大值为.
答案：
[方法技巧]
利用基本不等式求最值的方法
（1）知和求积的最值：
“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：
①具备条件——正数；②验证等号成立．
（2）知积求和的最值：
“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．
（3）构造不等式求最值：
在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．
（4）“a＋b，a2＋b2，ab，＋”之间的互化也是基本等式常见处理方法.
考点（三）
线性规划问题
主要考查在约束条件下目标函数最值的求法，以及已知最优解或可行域的情况求参数的值或范围.
[题组练透]
1．（2018·全国卷Ⅱ）若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．
详细分析：
作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x＋y＝z过点A时z取得最大值．
由得点A（5,4），∴zmax＝5＋4＝9.
答案：
9
2．（2018·苏州模拟）设变量x，y满足则目标函数z＝2x＋y的最小值为________．
详细分析：
作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分所示．当直线y＝－2x＋z过点C时，在y轴上的截距最小，此时z最小，
由得所以C，
zmin＝2×＋＝.
答案：
3．（2018·福州四校联考）设x，y满足约束条件其中a>0，若的最大值为2，则a的值为________．
详细分析：
设z＝，则y＝x，当z＝2时，y＝－x，作出x，y满足的约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y＝－x，易知此直线与区域的边界线2x－2y－1＝0的交点为，当直线x＝a过点时a＝，又此时直线y＝x的斜率＝－1＋的最小值为－，即z的最大值为2，符合题意，所以a的值为.
答案：
4．已知a，b，c为正实数，且a＋2b≤8c，＋≤，则的取值范围为________．
详细分析：
因为a，b，c为正实数，且a＋2b≤8c，＋≤，
所以令＝x，＝y，
得则
作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．
令z＝＝3x＋8y，则y＝－x＋，由图知当直线y＝－x＋过点A时，截距最大，即z最大，当直线y＝－x＋与曲线y＝相切时，截距最小，即z最小．
解方程组得A（2,3），
∴zmax＝3×2＋8×3＝30，
设直线y＝－x＋与曲线y＝的切点为（x0，y0），
则′x＝x0＝－，
即＝－，解得x0＝3.
∴切点坐标为，
∴zmin＝3×3＋8×＝27，
∴27≤≤30.
答案：
[27,30]
[方法技巧]
解决线性规划问题的3步骤
[必备知能·自主补缺]
（一）主干知识要记牢
1．不等式的性质
（1）a＞b，b＞c⇒a＞c；
（2）a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；
（3）a＞b⇒a＋c＞b＋c；
（4）a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；
（5）a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
（6）a＞b＞0，n∈N，n＞1⇒an＞bn，＞.
2．简单分式不等式的解法
（1）＞0⇔f（x）g（x）＞0，＜0⇔f（x）g（x）＜0.
（2）≥0⇔≤0⇔
（3）对于形如＞a（≥a）的分式不等式要采取：
“移项—通分—化乘积”的方法转化为
（1）或
（2）的形式求解．
（二）二级结论要用好
1．一元二次不等式的恒成立问题
（1）ax2＋bx＋c>0（a≠0）恒成立的条件是
（2）ax2＋bx＋c<0（a≠0）恒成立的条件是
2．基本不等式的重要结论
（1）≥（a＞0，b＞0）．
（2）ab≤2（a，b∈R）．
（3）≥≥（a＞0，b＞0）．
3．线性规划中的两个重要结论
（1）点M（x0，y0）在直线l：
Ax＋By＋C＝0（B＞0）上方（或下方）⇔Ax0＋By0＋C＞0（或＜0）．
（2）点M（x1，y1），N（x2，y2）在直线l：
Ax＋By＋C＝0同侧（或异侧）⇔（Ax1＋By1＋C）（Ax2＋By2＋C）＞0（或＜0）．
[课时达标训练]
A组——抓牢中档小题
1．当x＞0时，f（x）＝的最大值为________．
详细分析：
因为x＞0，所以f（x）＝＝≤＝1，
当且仅当x＝，即x＝1时取等号．
答案：
1
2．若0详细分析：
因为0答案：
3．已知点A（a，b）在直线x＋2y－1＝0上，则2a＋4b的最小值为________．
详细分析：
由题意可知a＋2b＝1，则2a＋4b＝2a＋22b≥2＝2，当且仅当a＝2b＝，即a＝且b＝时等号成立．
答案：
2
4．若不等式（a－2）x2＋2（a－2）x－4<0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
详细分析：
当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－4<0，
所以a＝2时不等式恒成立，
当a－2≠0，即a≠2时，由题意得
即
解得－2综上所述，－2答案：
（－2,2]
5．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________．
详细分析：
设底面矩形的一边长为x.由容器的容积为4m3，高为1m，得另一边长为m.
记容器的总造价为y元，
则y＝4×20＋2×1×10
＝80＋20≥80＋20×2＝160，
当且仅当x＝，即x＝2时等号成立．
因此，当x＝2时，y取得最小值160，
即容器的最低总造价为160元．
答案：
160元
6．已知a>0,b>0，且＋＝，则ab的最小值是________．
详细分析：
因为＝＋≥2，所以ab≥2，当且仅当＝＝时取等号．
答案：
2
7．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈（a，＋∞）上恒成立，则实数a的最小值为________．
详细分析：
因为x∈（a，＋∞），所以2x＋＝2（x－a）＋＋2a≥2＋2a＝4＋2a，当且仅当x－a＝1时等号成立．
由题意可知4＋2a≥7，解得a≥，即实数a的最小值为.
答案：
8．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋详细分析：
由题可知，1＝＋≥2＝，即≥4，于是有m2－3m>x＋≥≥4，故m2－3m>4，化简得（m＋1）（m－4）>0，解得m<－1或m>4，即实数m的取值范围为（－∞，－1）∪（4，＋∞）．
答案：
（－∞，－1）∪（4，＋∞）
9．已知函数f（x）＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f（x）<0成立，则实数m的取值范围是________．
详细分析：
因为f（x）＝x2＋mx－1是开口向上的二次函数，所以函数的最大值只能在区间端点处取到，所以对于任意x∈[m，m＋1]，都有f（x）＜0，只需
即
解得所以－答案：
10．（2018·苏北四市期末）若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为______
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