最新高考数学总复习教案第十章 算法统计与概率第3课时 统计初步.docx
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最新高考数学总复习教案第十章算法统计与概率第3课时统计初步
第十章 算法、统计与概率第3课时统计初步
（2）
考情分析
考点新知
用样本的频率分布、特征数来估计总体的分布，在高考中常以填空题的形式出现，以实际问题为背景，综合考查学生对基础知识的掌握程度以及一定的读图能力．热点问题是频率分布直方图和用样本的数字特征估计总体的数字特征．
①了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.
②理解样本平均数的意义和作用，会计算样本平均数、方差和标准差.
③会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.
④会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题.
1.（必修3P55练习2改编）一个容量为20的样本数据，分组后，组别与频数如下：
组别
[10，20）
[20，30）
[30，40）
[40，50）
[50，60）
[60，70]
频数
2
3
4
5
4
2
则样本在（20，50]上的频率为________．
答案：
0.6
解析：
本题考查样本的频率运算．据表知样本分布在（20，50]的频数3＋4＋5＝12，故其频率为
＝0.6.
2.（必修3P61练习2改编）某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间（单位：
min）用茎叶图表示（如图），图中左列表示训练时间的十位数，右列表示训练时间的个位数，则该运动员这7天的平均训练时间为________min.
6
4
5
7
7
2
5
8
0
1
答案：
72
解析：
由茎叶图知平均训练时间为
＝
×（64＋65＋67＋72＋75＋80＋81）＝72.
3.（必修3P68练习4改编）下表是一个容量为20的样本数据分组后的频数分布，若利用组中值计算本组数据的平均值
，则
＝________．
数据
[10.5，13.5）
[13.5，16.5）
[16.5，19.5）
[19.5，22.5）
频数
4
6
6
4
答案：
16.5
解析：
＝
（12×4＋15×6＋18×6＋21×4）＝
×330＝16.5.
4.（必修3P71练习1改编）某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：
9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为________．
答案：
0.032
解析：
数据9.7，9.9，10.1，10.2，10.1的平均数＝
＝10，方差＝
（0.09＋0.01＋0.01＋0.04＋0.01）＝0.032.故答案为0.032.
5.小波一星期的总开支分布图如图①所示，一星期的食品开支如图②所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为________．
答案：
3%
解析：
由图②可知，鸡蛋占食品开支的比例为
＝10%，结合图①可知小波在一个星期的鸡蛋开支占总开支的比例为30%×10%＝3%.
1.绘制频率分布表的步骤
（1）求全距，决定组距和组数，组距＝
．
（2）分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间．
（3）登记频数，计算频率，列出频率分布表．
2.作频率分布直方图的方法
（1）先制作频率分布表，然后作直角坐标系；
（2）把横轴分成若干段，每一线段对应一个组的组距，然后以此线段为底作一矩形，它的高等于该组的
，这样得出一系列的矩形．
（3）每个矩形的面积恰好是该组的频率，这些矩形就构成了频率分布直方图．
3.茎叶图
茎相同者共用一个茎（如两位数中的十位数），茎按从小到大的顺序从上向下列出，共茎的叶（如两位数中的个位数），一般按从小到大（或从大到小）的顺序同行列出．这样将样本数据有条理地列出来的图形叫做茎叶图．其优点是要样本数据较少时，茎叶图可以保留样本数据的所有信息，直观反映出数据的水平状况、稳定程度，且便于记录和表示；缺点是对差异不大的两组数据不易分析，且样本数据很多时效果不好．
4.平均数、标准差和方差
设一组样本数据x1，x2，…，xn，其平均数为x－，则x－＝
，称s2＝
）2为这个样本的方差，称其算术平方根s＝
为这个样本的标准差．
[备课札记]
题型1频率分布直方图及其应用
例1（2013·南京二模）根据2012年初我国发布的《环境空气质量指数AQI技术规定（试行）》，AQI共分为六级：
（0，50]为优，（50，100]为良，（100，150]为轻度污染，（150，200]为中度污染，（200，300]为重度污染，300以上为严重污染.2012年12月1日出版的《A市早报》对A市2012年11月份中30天的AQI进行了统计，频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图，可以看出A市该月环境空气质量优、良的总天数为________．
答案：
12
解析：
空气质量优、良的AQI指数小于等于100，由频率分布直方图知，其频率为（0.002＋0.006）×50＝0.4，所以该市11月份中30天的空气质量优、良的总天数为0.4×30＝12.
（2013·常州高级中学模拟）根据国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》（GB19522—2004）中规定车辆驾驶人员血液酒精含量：
“饮酒驾车非醉酒驾车”的临界值为20mg/100mL；“醉酒驾车”的临界值为80mg/100mL.某地区交通执法部门统计了5月份的执法记录数据：
血液酒精含量
（单位：
mg/100mL）
0～20
20～40
40～60
60～80
80～100
人数
180
11
5
2
2
根据此数据，可估计该地区5月份“饮酒驾车非醉酒驾车”发生的频率为________．
答案：
0.09
解析：
由统计表可知，“饮酒驾车非醉酒驾车”发生的频数为11＋5＋2＝18，所以“饮酒驾车非醉酒驾车”发生的频率为
＝0.09.
题型2样本的数字特征
例2（2013·江苏）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：
环），结果如下：
运动员
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为________．
答案：
2
解析：
易得乙较为稳定，乙的平均值为：
＝
＝90.方差为：
S2＝[（89－90）2＋（90－90）2＋（91－90）2＋（88－90）2＋（92－90）2]/5＝2.
已知2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，…，2xn＋1的方差是3，则x1，x2，x3，…，xn的标准差为________．
答案：
解析：
设x1，x2，x3，…，xn的标准差为s，则x1，x2，x3，…，xn的方差是s2，所以2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，…，2xn＋1的方差是4s2，由题意，4s2＝3，所以s＝
.
题型3统计知识的综合应用
例3（2013·辽宁）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．
答案：
10
解析：
由已知可设5个班级参加的人数分别为x1，x2，x3，x4，x5，又s2＝4，
＝7，所以[（x1－7）2＋（x2－7）2＋（x3－7）2＋（x4－7）2＋（x5－7）2]/5＝4，所以（x1－7）2＋（x2－7）2＋（x3－7）2＋（x4－7）2＋（x5－7）2＝20，即五个完全平方数之和为20，要使其中一个达到最大，这五个数必须是关于0对称分布的，而9＋1＋0＋1＋9＝20，也就是（－3）2＋（－1）2＋02＋12＋32＝20，所以五个班级参加的人数分别为4，6，7，8，10，最大数字为10.
（2013·启东中学训练）在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1600，则中间一组（即第五组）的频数为_______．
答案：
360
解析：
设前五个长方形的面积成等差数列的公差为d，则9个小长方形的面积分别为0.02，0.02＋d，0.02＋2d，0.02＋3d，0.02＋4d，0.02＋3d，0.02＋2d，0.02＋d，0.02，而小长方形的面积就是该组数据的频率，从而有9个小长方形的面积和为1，可得2（4×0.02＋
d）＋0.02＋4d＝1，解得d＝
.所以第5组的频率为0.02＋4×
＝
，故第5组的频数为1600×
＝360.
1.（2013·盐城三模）下图是7位评委给某作品打出的分数的茎叶图，那么这组数据的方差是________．
8
8
9
9
9
0
1
1
2
答案：
解析：
将茎叶图中的每个数据减去90，得7个数据为－2，－1，－1，0，1，1，2，易得平均数
＝－2－1－1＋0＋1＋1＋2＝0，所以它们的方差为s2＝
[（－2）2＋（－1）2＋（－1）2＋02＋12＋12＋22]＝
.这也是原数据的方差．
2.某市高三数学抽样考试中，对90分及其以上的成绩情况进行统计，其频率分布直方图如右下图所示，若（130，140]分数段的人数为90人，则（90，100]分数段的人数为________．
答案：
810
解析：
根据直方图，组距为10，在（130，140]内的
＝0.005，所以频率为0.05，因为此区间上的频数为90，所以这次抽考的总人数为1800人．因为（90，100]内的
＝0.045，所以频率为0.45，设该区间的人数为x，则由
＝0.45，得x＝810，即（90，100]分数段的人数为810.
3.某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分数为70，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是________．
答案：
70，50
解析：
易得
没有改变，
＝70，而s2＝
·[（x
＋x
＋…＋502＋1002＋…＋x
）－48
2]＝75，s′2＝
[（x
＋x
＋…＋802＋702＋…＋x
）－48
2]＝
[（75×48＋48
2－12500＋11300）－48
2]＝75－
＝75－25＝50.
4.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：
[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（1）求图中a的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数.
分数段
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
x∶y
1∶1
2∶1
3∶4
4∶5
解：
（1）依题意，得10×（2a＋0.02＋0.03＋0.04）＝1，解得a＝0.005.
（2）这100名学生语文成绩的平均分为55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73分．
（3）数学成绩在[50，60）的人数为100×0.05＝5，数学成绩在[60，70）的人数为100×0.4×
＝20，数学成绩在[70，80）的人数为100×0.3×
＝40，数学成绩在[80，90）的人数为100×0.2×
＝25，所以数学成绩在[50，90）之外的人数为100－5－20－40－25＝10.
1.（2013·淮安一模）已知某同学五次数学成绩分别是：
121，127，123，a，125，若其平均成绩是124，则这组数据的方差是________．
答案：
4
解析：
由题意，
（121＋127＋123＋a＋125）＝124，解得a＝124，故方差为s2＝
[（－3）2＋32＋（－1）2＋02＋12]＝4.
2.（2013·上海文）某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中，男、女生平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为________．
答案：
78
解析：
平均成绩＝
·75＋
·80＝78.
3.（2013·山东文）将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：
8
7
7
9
4
0
1
0
x
9
1
则7个剩余分数的方差为________．
答案：
解析：
由题意，0≤x≤9，故去掉的一个最低分为87，最高分为99，则有
（87＋94＋90＋91＋90＋90＋x＋91）＝91，解得x＝4.所以剩余7个数的方差s2＝
[（87－91）2＋2（90－91）2＋2（91－91）2＋2（94－91）2]＝
.
4.（2013·新课标全国卷Ⅰ）为了比较两种治疗失眠症的药（分别称为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：
h）．试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6
1.2
2.7
1.5
2.8
1.8
2.2
2.3
3.2
3.5
2.5
2.6
1.2
2.7
1.5
2.9
3.0
3.1
2.3
2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2
1.7
1.9
0.8
0.9
2.4
1.2
2.6
1.3
1.4
1.6
0.5
1.8
0.6
2.1
1.1
2.5
1.2
2.7
0.5
（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
（2）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
A药
B药
0.
1.
2.
3.
解：
（1）设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y.由观测结果可得
＝
（0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5）＝2.3，
＝
（0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2）＝1.6.
由以上计算结果可得x>y,因此可看出A药的疗效更好．
（2）由观测结果可绘制如下茎叶图：
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有
的叶集中在茎2、3上，而B药疗效的试验结果有
的叶集中在茎0、1上，由此可看出A药的疗效更好．
1.总体分布反映的是总体在各个范围内取值的比例情况，而这种分布一般是不清晰的，所以用样本的分布估计总体分布，解频率分布表问题的关键是正确理解频率分布表，注意区分频数、频率的意义．
2.对于每个个体所取不同数值较少的个体，常用条形图表示其样本分布，而对于每个个体所取不同数值较多或无限的总体，常用频率分布直方图表示其样本分布．解频率分布直方图问题，识图掌握信息是解决问题的关键，特别要注意纵、横坐标代表的意义及单位．
3.描述数据的数字特征的有平均数、众数、中位数、方差等，其中平均数、众数、中位数描述其集中趋势，方差反映各个数据与其平均数的离散程度．解题时重在理解概念、公式并正确进行计算．
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