江苏专版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用练习 文doc.docx

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（江苏专版）2019高考数学大一轮复习第三章导数及其应用练习文

第16课　导数的概念及运算

A　应知应会

1.已知函数f（x）=x2+2xf'

（1）,那么f'（-1）=　　　　. 

2.某汽车的路程函数是s（t）=2t3-gt2（g=10m/s2）,则当t=2s时,汽车的加速度为　　　　. 

3.已知函数f（x）=在x=1处的导数为-2,那么实数a的值为　　　　. 

4.（2015·盐城中学模拟）若f（x）=x2-2x-4lnx,则f'（x）>0的解集是　　　　. 

5.求下列函数的导数:

（1）y=xnex;

（2）y=;

（3）y=exlnx;

（4）y=（x+1）2（x-1）.

6.在F1赛车中,赛车位移与比赛时间t间满足函数关系s=10t+5t2（s的单位为m,t的单位为s）.

（1）当t=20s,Δt=0.1s时,求Δs与;

（2）求t=20s时的瞬时速度.

B　巩固提升

1.在函数y=x2+1的图象上取一点（1,2）及附近一点（1+Δx,2+Δy）,则=　　　　. 

2.已知函数f（x）=f'cosx+sinx,那么f

的值为　　　　. 

3.（2015·天津卷）已知函数f（x）=axlnx,x∈（0,+∞）,其中a为实数,f'（x）为f（x）的导函数.若f'

（1）=3,则a的值为　　　　. 

4.已知f1（x）=sinx+cosx,记f2（x）=f'1（x）,f3（x）=f'2（x）,…,fn（x）=f'n-1（x）（n∈N*且n≥2）,则f1+f2+…+f2017=　　　　. 

5.已知某物体的运动方程为s=（位移s的单位:

m,时间t的单位:

s）.

（1）求该物体在t∈[3,5]内的平均速度;

（2）求该物体的初速度v0;

（3）求该物体在t=1时的瞬时速度.

6.对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）,定义f″（x）是函数y=f（x）的导函数y=f'（x）的导函数.若f″（x）=0有实数解x0,则称点（x0,f（x0））为函数y=f（x）图象的“拐点”.已知函数f（x）=x3-3x2+2x-2.

（1）求函数f（x）图象的“拐点”A的坐标;

（2）求证:

f（x）的图象关于“拐点”A对称.

第17课　曲线的切线

A　应知应会

1.已知曲线f（x）=ax2+3x-2在点（2,f

（2））处的切线的斜率为7,那么实数a的值为　　　　. 

2.曲线y=-5ex+3在点（0,-2）处的切线方程为　　　　　　　　. 

3.（2015·南师附中调研）若曲线f（x）=2ax3-a在点（1,a）处的切线与直线2x-y+1=0平行,则实数a的值为　　　　. 

4.曲线y=lnx上的点到直线x-y+1=0的距离的最小值是　　　　. 

5.对于函数f（x）=x3+ax2-9x-1,当曲线y=f（x）的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行时,求实数a的值.

6.已知曲线y=（ax-1）ex在点A（x0,y1）处的切线为l1,曲线y=（1-x）e-x在点B（x0,y2）处的切线为l2.若存在x0∈,使得l1⊥l2,求实数a的取值范围.

B　巩固提升

1.（2015·如东模拟）已知函数f（x）=f'（0）cosx+sinx,则函数f（x）的图象在x0=处的切线方程为　　　　　　. 

2.若曲线y=在点（a,）处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则实数a=　　　　. 

3.（2016·海安中学）若曲线f（x）=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是　　　　. 

4.（2015·通州模拟）已知曲线C1:

y=x2与C2:

y=-（x-2）2,若直线l与C1,C2都相切,则直线l的方程为　　　　　　. 

5.已知曲线y=（x>0）.

（1）求曲线在x=2处的切线方程;

（2）求曲线上的点到直线3x-4y-11=0的距离的最小值.

6.已知曲线f（x）=x+（t>0）和点P（1,0）,过点P作曲线y=f（x）的两条切线PM,PN,切点分别为M（x1,y1）,N（x2,y2）.

（1）求证:

x1,x2是关于x的方程x2+2tx-t=0的两根;

（2）设MN=g（t）,求函数g（t）的表达式.

第18课　利用导数研究函数的单调性

A　应知应会

1.已知函数f（x）=x2-5x+2lnx,那么f（x）的单调增区间为　　　　. 

2.（2016·无锡期末改编）函数f（x）=lnx+的单调减区间是　　　　. 

3.已知f（x）=x3-ax在[1,+∞）上是增函数,那么实数a的最大值是　　　　. 

4.若函数f（x）=-（x-2）2+blnx在（1,+∞）上是减函数,则实数b的取值范围为　　　　. 

5.已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a,b∈R）的图象过点P（1,2）,且在点P处的切线的斜率为8.

（1）求a,b的值;

（2）求函数f（x）的单调区间.

6.（2016·山东卷）已知函数f（x）=xlnx-ax2+（2a-1）x,a∈R.令g（x）=f'（x）,求g（x）的单调区间.

B　巩固提升

1.函数y=x-2sinx在（0,2π）内的单调增区间为　　　　. 

2.已知函数f（x）=lnx+2x,若f（x2+2）

3.已知函数f（x）=ax3-3x2+1,若f（x）存在唯一的零点x0,且x0>0,则实数a的取值范围是　　　　. 

4.（2015·唐山一中模拟）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f'（x）>1,f（0）=4,那么不等式exf（x）>ex+3的解集为　　　　. 

5.（2016·上饶期初）已知函数f（x）=x3+ax2+x+1,a∈R.

（1）求函数f（x）的单调区间;

（2）若函数f（x）在区间上是减函数,求a的取值范围.

6.已知函数f（x）=alnx+,其中a为常数.

（1）若a=0,求曲线y=f（x）在点（1,f

（1））处的切线方程;

（2）讨论函数f（x）的单调性.

第19课　利用导数研究函数的最（极）值

A　应知应会

1.函数y=x+2cosx在区间上的最大值是　　　　. 

2.已知函数f（x）=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1处取得极大值10,那么=　　　　　. 

3.已知函数f（x）=x3+ax2+3x-9,且f（x）在x=-3处取得极值,那么实数a=　　　　. 

4.若函数f（x）=-x3+mx2+1（m≠0）在（0,2）内的极大值为最大值,则实数m的取值范围是　　　　. 

5.已知f（x）=alnx++x+1,其中a∈R,曲线y=f（x）在点（1,f

（1））处的切线垂直于y轴.

（1）求a的值;

（2）求函数f（x）的极值.

6.（2016·南通、扬州、泰州三模）已知函数f（x）=xex-asinxcosx（a∈R）.

（1）当a=0时,求f（x）的极值;

（2）若对于任意的x∈,f（x）≥0恒成立,求a的取值范围.

B　巩固提升

1.已知函数f（x）=x3+a2x2+ax+b,且当x=-1时,函数f（x）的极值为-,那么f

（2）=　　　　. 

2.已知函数f（x）=x3-ax2+3ax+1在区间（-∞,+∞）内既有极大值,又有极小值,那么实数a的取值范围是　　　　. 

3.（2015·中华中学模拟）函数y=+（x∈（0,π））的最小值为　　　　. 

4.（2016·苏州、无锡、常州、镇江二模）已知函数f（x）=若存在x1,x2∈R,当0≤x1<4≤x2≤6时,f（x1）=f（x2）,则x1·f（x2）的取值范围是　　　　. 

5.（2016·无锡期末改编）已知函数f（x）=lnx+（a>0）,若不等式f（x）≥a对于任意x>0恒成立,求实数a的取值范围.

6.（2016·南通一调）已知函数f（x）=a+lnx（a∈R）.

（1）求函数f（x）的单调区间;

（2）试求函数f（x）的零点个数,并证明你的结论.

第20课　导数的综合应用

A　应知应会

1.若函数y=ax3-x在R上是减函数,则实数a的取值范围是　　　　. 

2.已知函数f（x）=x3-3a2x+1的图象与直线y=3只有一个公共点,那么实数a的取值范围是　　　　. 

3.（2015·无锡模拟）已知某生产厂家的年利润y（单位:

万元）与年产量x（单位:

万件）间的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为　　　　万件. 

4.已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上,那么当正六棱柱的体积最大时,其高为　　　　. 

5.（2015·曲塘中学模拟）已知函数f（x）=x3-x2+6x-a.

（1）若对于任意实数x,f'（x）≥m恒成立,求实数m的最大值;

（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实数根,求实数a的取值范围.

6.（2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调）某植物园拟建一个多边形苗圃,苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙.现有两种方案:

方案一,多边形为直角三角形AEB（∠AEB=90°）,如图

（1）所示,其中AE+EB=30m;方案二,多边形为等腰梯形AEFB（AB>EF）,如图

（2）所示,其中AE=EF=BF=10m.请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积,并从中确定使苗圃面积最大的方案.

图

（1）

图

（2）

（第6题）

B　巩固提升

1.已知a∈R,函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点,那么实数a的取值范围是　　　　. 

2.若函数y=m与y=3x-x3的图象有三个不同的交点,则实数m的取值范围为　　　　　　. 

3.（2016·北京卷改编）若函数f（x）=x3+4x2+4x+c有三个不同的零点,则实数c的取值范围为　　　　. 

4.（2015·海门中学模拟）若对任意的x∈[1,e],都有alnx≥-x2+（a+2）x恒成立,则实数a的取值范围是　　　　. 

5.（2015·全国卷）已知函数f（x）=lnx+a（1-x）.

（1）讨论f（x）的单调性;

（2）当f（x）有最大值,且最大值大于2a-2时,求实数a的取值范围.

6.（2016·南通、扬州、泰州、淮安三调）某宾馆在装修时,为了美观,欲将客房的窗户设计成半径为1m的圆形,并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域,其中四边形ABCD为中心在圆心的矩形,现计划将矩形ABCD区域设计为可推拉的窗口.

（1）若窗口ABCD为正方形,且面积大于m2（木条的宽度忽略不计）,求四根木条总长的取值范围;

（2）若四根木条总长为6m,求窗口ABCD面积的最大值.

（第6题）

第三章　导数及其应用

第16课　导数的概念及运算

A　应知应会

1.-6　【解析】f'（x）=2x+2f'

（1）,f'

（1）=2+2f'

（1）,所以f'

（1）=-2,所以f'（x）=2x-4,故f'（-1）=-6.

2.4m/s2　【解析】由题意知汽车的速度函数为v（t）=s'（t）=6t2-2gt,则v'（t）=12t-2g,故当t=2s时,汽车的加速度是v'

（2）=12×2-2×10=4（m/s2）.

3.2　【解析】由题设得f'（x）=-,当x=1时,-a=-2,即a=2.

4.（2,+∞）　【解析】函数f（x）的定义域为（0,+∞）,f'（x）=2x-2->0,解得x>2.

5.【解答】

（1）y'=nex+xnex=

ex（n+x）.

（2）y'==-.

（3）y'=exlnx+ex·=ex.

（4）因为y=（x+1）2（x-1）=（x+1）·（x2-1）=x3+x2-x-1,

所以y'=3x2+2x-1.

6.【解答】

（1）Δs=s（20+Δt）-s（20）=

10（20+0.1）+5（20+0.1）2-10×20-5×202=21.05（m）.

==210.5（m/s）.

（2）由导数的定义知瞬时速度为v（t）====5Δt+10t+10.

当Δt→0,t=20s时,v=10×20+10=210（m/s）.

B　巩固提升

1.Δx+2　【解析】==Δx+2.

2.1　【解析】由题意得f'（x）=-f'sinx+cosx⇒f'=-f'sin+cos,所以f'==-1,所以f（x）=（-1）cosx+sinx,所以f=（-1）cos+sin=1.

3.3　【解析】因为f'（x）=a（1+lnx）,所以f'

（1）=a=3.

4.1　【解析】f2（x）=f'1（x）=cosx-sinx,f3（x）=f'2（x）=-sinx-cosx,f4（x）=f'3（x）=sinx-cosx,f5（x）=f'4（x）=sinx+cosx,故周期为4,前四项和为0,所以原式=f1=sin+cos=1.

5.【解答】

（1）因为该物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt=5-3=2,

该物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs=3×52+2-（3×32+2）=3×（52-32）=48,

所以该物体在t∈[3,5]内的平均速度为==24（m/s）.

（2）求该物体的初速度v0即求该物体在t=0时的瞬时速度.

因为该物体在t=0附近的平均变化率为=

=

=3Δt-18,

当Δt无限趋近于0时,=3Δt-18无限趋近于-18,

所以该物体的初速度v0为-18m/s.

（3）该物体在t=1时的瞬时速度即为函数s在t=1处的瞬时变化率.

因为物体在t=1附近的平均变化率为=

=

=3Δt-12,

当Δt无限趋近于0时,=3Δt-12无限趋近于-12,

所以该物体在t=1时的瞬时速度为-12m/s.

6.【解答】

（1）f'（x）=3x2-6x+2,f″（x）=6x-6.

令f″（x）=6x-6=0,得x=1,

f

（1）=1-3+2-2=-2,

所以拐点A的坐标为（1,-2）.

（2）设P（x0,y0）是y=f（x）图象上任意一点,则y0=-3+2x0-2.

因为P（x0,y0）关于点A（1,-2）的对称点为P'（2-x0,-4-y0）,

将P'代入y=f（x）,得左边=-4-y0=-+3-2x0-2,

右边=（2-x0）3-3（2-x0）2+2（2-x0）-2=-+3-2x0-2,

所以左边=右边,

所以点P'（2-x0,-4-y0）在函数y=f（x）的图象上,

所以y=f（x）的图象关于点A对称.

第17课　曲线的切线

A　应知应会

1.1　【解析】因为f'（x）=2ax+3,由题意知2a×2+3=7,解得a=1.

2.5x+y+2=0　【解析】因为y'=-5ex,所以所求切线的斜率k=-5e0=-5,所以切线方程是y-（-2）=-5（x-0）,即5x+y+2=0.

3.　【解析】由题意得f'（x）=6ax2,所以f'

（1）=6a=2,所以a=.

4.　【解析】设曲线y=lnx在点（x0,y0）处的切线与直线x-y+1=0平行.因为y'=,令=1,解得x0=1,所以切点坐标为（1,0）,所以距离的最小值为点（1,0）到直线x-y+1=0的距离,即为.

5.【解答】由题意知f'（x）=3x2+2ax-9=3-9-,

即当x=-时,函数f'（x）取得最小值-9-.

因为曲线y=f（x）斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,

所以-9-=-12,即a2=9,

所以a=±3.

6.【解答】由y=（ax-1）ex,得y'=aex+（ax-1）ex=（ax+a-1）ex.由y=,得y'==.

由题意知（ax0+a-1）·=-1,即（ax0+a-1）（x0-2）=-1在上有解,方程可化为ax0+a-1=-.设f（x0）=ax0+a-1,g（x0）=-,作图可知1≤a≤.

另法:

方程可化为a=,求函数t（x0）=在x0∈上的值域即可

故实数a的取值范围为.

B　巩固提升

1.y=-x+1+　【解析】因为f'（x）=-f'（0）sinx+cosx,则f'（0）=-f'（0）·sin0+cos0,所以f'（0）=1,所以f（x）=cosx+sinx,所以f'=-1,f=1,所以切线方程为y=-x+1+.

2.64　【解析】由题知x>0,y'=-,所以k=-,切线方程为y-=-（x-a）.令x=0,得y=;令y=0,得x=3a.所以三角形的面积S=·3a·==18,解得a=64.

3.（-∞,0）　【解析】由题意得函数f（x）的定义域为（0,+∞）,f'（x）=2ax+.因为存在垂直于y轴的切线,故此时斜率为0,问题转化为“当x>0时,导函数f'（x）=2ax+存在零点”,即等价于“方程2ax+=0在（0,+∞）上有解”,显然a=-∈（-∞,0）.

4.y=0或y=4x-4　【解析】设两个切点的坐标依次为（x1,）,（x2,-（x2-2）2）.由题意得

解得或从而切线方程为y=0或y=4x-4.

5.【解答】

（1）设f（x）=,

则f'（x）=1-,

所以k=f'

（2）=1-=.

又因为f

（2）==,

所以所求切线方程为y-=（x-2）,

即3x-4y+4=0.

（2）由题知曲线y=（x>0）与直线3x-4y-11=0不相交,所以设曲线在点（x0,y0）处的切线与直线3x-4y-11=0平行.因为y'=1-,令1-=,解得x0=2,所以切点坐标为,所以距离的最小值为点到直线3x-4y-11=0的距离,即为3.

6.【解答】

（1）由题意可知y1=x1+,

y2=x2+.

因为f'（x）=1-,

所以切线PM的方程为y-=（x-x1）.

又切线PM过点P（1,0）,

所以0-=（1-x1）,

即+2tx1-t=0.　①

同理,由切线PN也过点P（1,0）,得+2tx2-t=0.　②

由①②可得x1,x2是关于x的方程x2+2tx-t=0的两根.

（2）由

（1）知

MN=

=

=,

所以g（t）=（t>0）.

第18课　利用导数研究函数的单调性

A　应知应会

1.（2,+∞）和　【解析】因为函数f（x）=x2-5x+2lnx,且x>0,令f'（x）=2x-5+>0,解得x>2或0

2.（0,e）　【解析】因为f（x）=lnx+,x>0,所以f'（x）=-=,所以当x∈（0,e）时,f'（x）<0,故函数f（x）在（0,e）上单调递减.

3.3　【解析】由题意知f'（x）=3x2-a≥0在[1,+∞）上恒成立,即a≤3x2在[1,+∞）上恒成立,又（3x2）min=3×12=3,所以a≤3,故amax=3.

4.（-∞,-1]　【解析】由f（x）=-（x-2）2+blnx,得f'（x）=-（x-2）+（x>0）.由题意知f'（x）≤0,即-（x-2）+≤0在（1,+∞）上恒成立,所以b≤[x（x-2）]min,当x∈（1,+∞）时,[x（x-2）]∈（-1,+∞）,所以b≤-1.

5.【解答】

（1）由函数f（x）的图象过点P（1,2）,得f

（1）=2,所以a+b=1.

因为函数图象在点P处的切线的斜率为8,所以f'

（1）=8.

又f'（x）=3x2+2ax+b,

所以2a+b=5.

因此,a=4,b=-3.

（2）由

（1）得f'（x）=3x2+8x-3.

令f'（x）>0,得x<-3或x>;

令f'（x）<0,得-3

故函数f（x）的单调增区间为（-∞,-3）,;单调减区间为.

6.【解答】由f'（x）=lnx-2ax+2a,x>0,

得g（x）=lnx-2ax+2a,x∈（0,+∞）,

则g'（x）=-2a=.

当a≤0,x∈（0,+∞）时,g'（x）>0,则函数g（x）在（0,+∞）上单调递增;

当a>0,x∈时,g'（x）>0,则函数g（x）在上单调递增;

当a>0,x∈时,g'（x）<0,则函数g（x）在上单调递减.

综上,当a≤0时,函数g（x）的单调增区间为（0,+∞）;

当a>0时,函数g（x）的单调增区间为,单调减区间为.

B　巩固提升

1.　【解析】由题意得y'=1-2cosx,x∈（0,2π）.令y'>0,得cosx<,所以

2.（1,2）　【解析】由f（x）=lnx+2x,得f'（x）=+2xln2>0,x∈（0,+∞）,所以f（x）在（0,+∞）上单调递增.又由f（x2+2）

3.（-∞,-2）　【解析】①当a=0时,显然f（x）有两个零点,不符合题意.②当a≠0时,f'（x）=3ax2-6x,令f'（x）=0,解得x1=0,x2=.当a>0时,>0,所以函数f（x）=ax3-3x2+1在（-∞,0）和上为增函数,在上为减函数.因为f（x）存在唯一零点x0,且x0>0,则f（0）<0,即1<0,不成立.当a<0时,<0,所以函数f（x）=ax3-3x2+1在和（0,+∞）上为减函数,在上为增函数.因为f（x）存在唯一零点x0,且x0>0,则f>0,即a·-3·+1>0,解得a>2或a<-2.又因为a<0,故实数a的取值范围为（-∞,-2）.

4.（0,+∞）　【解析】设g（x）=exf（x）-ex,则g'（x）=exf（x）+exf'（x）-ex.因为f（x）+f'（x）>1,所以f（x）+f'（x）-1>0,所以g'（x）>0,所以y=g（x）在定义域R上单调递增.因为exf（x）>ex+3,所以g（x）>3.又因为g（0）=e0f（0）-e0=3,所以g（x）>g（0）,所以x>0,故不等式的解集为（0,+∞）.

5.【解答】

（1）由题意得f'（x）=3x2+2ax+1,x∈R.当a2≤3时,Δ≤0,f'（x）≥0,则f（x）在R上单调递增;当a2>3时,由f'（x）=0,得x1=,x2=,

则函数f（x）在,上单调递增,在上单调递减.

（2）因为函数f（x）在区间上是减函数,所以f'（x）=3x2+2ax+1<0在上恒成立,即f'（x）在上的最大值恒小于等于0.因为f'（x）=3x2+2ax+1的图象是开口向上的抛物线,所以它的最大值在区间的端点处取得.由得所以a≥2.故a的取值范围是[2,+∞）.

6.【解答】

（1）由题意知当a=0时,f（x）=,x∈（0,+∞）.

此时f'（x）=,所以f'

（1）=.

又f

（1）=0,所以曲线y=f（x）在点（1,f

（1））处的切线方程为x-2y-1=0.

（2）函数f（x）的定义域为（0,+∞）,

f'（x）=+=.

当a≥0时,f'（x）>0,所以函数f（x）在（0,+∞）上单调递增.

当a<0时,令g（x）=ax2+（2a+2）x+a,

则Δ=（2a+2）2-4a2=4（2a+1）.

①当a≤-时,Δ≤0,f'（x）≤0在（0,+∞）上恒成立,

所以函数f（x）在（0,+∞）上单调递减.

②当-0.

设x1,x2（x1

则x1=,

x2=.

因为x2>x1==>0,

因此,当x∈（0,x1）时,g（x）<0,f'（x）<0,f（x）单调递减;

当x∈（x1,x2）时,g（x）>0,f'（x）>0,f（x）单调递增;

当x∈（x2,+∞）时,g（x