届江苏高考数学理总复习讲义等差数列.docx
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届江苏高考数学理总复习讲义等差数列
第二节
等差数列
1．等差数列的有关概念
（1）定义：
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
（2）等差中项：
数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．
2．等差数列的有关公式
（1）通项公式：
an＝a1＋（n－1）d.
（2）前n项和公式：
Sn＝na1＋d＝.
3．等差数列的常用性质
（1）通项公式的推广：
an＝am＋（n－m）d（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则ak＋al＝am＋an.
（3）若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.
（4）若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
（5）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差为md的等差数列．
[小题体验]
1．已知等差数列的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6＝________.
解析：
设等差数列的公差为d，由题意知，3×2＋3d＝12，解得d＝2，
故a6＝2＋（6－1）×2＝12.
答案：
12
2．已知等差数列{an}，a5＝－20，a20＝－35，则an＝________.
答案：
－15－n
3．（2018·南京、盐城一模）设{an}是等差数列，若a4＋a5＋a6＝21，则S9＝________.
解析：
因为{an}是等差数列，且a4＋a5＋a6＝21，所以3a5＝21，即a5＝7，
故S9＝＝9a5＝63.
答案：
63
1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．
2．求等差数列的前n项和Sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件．
[小题纠偏]
1．首项为24的等差数列，从第10项开始为负数，则公差d的取值范围是________．
答案：
2．已知数列为等差数列，若a1＝－3,11a5＝5a8，则使其前n项和Sn取最小值的n＝________.
解析：
∵a1＝－3,11a5＝5a8，∴d＝2，
∴Sn＝n2－4n＝（n－2）2－4，∴当n＝2时，Sn最小．
答案：
2
[题组练透]
1．在等差数列中，已知d＝，an＝，Sn＝－，则a1＝________.
解析：
由题意，得
由②得a1＝－n＋2，代入①得n2－7n－30＝0，
∴n＝10或n＝－3（舍去），
∴a1＝－3.
答案：
－3
2．公差不为零的等差数列{an}中，a7＝2a5，则数列{an}中第________项的值与4a5的值相等．
解析：
设等差数列{an}的公差为d，因为a7＝2a5，所以a1＋6d＝2（a1＋4d），则a1＝－2d，所以an＝a1＋（n－1）d＝（n－3）d，而4a5＝4（a1＋4d）＝4（－2d＋4d）＝8d＝a11，故数列{an}中第11项的值与4a5的值相等．
答案：
11
3．（2018·苏北四市一模）设Sn是等差数列{an}的前n项和，且a2＝3，S4＝16，则S9＝________.
解析：
设等差数列{an}的公差为d，
则由a2＝3，S4＝16，得解得
因此S9＝9＋×2＝81.
答案：
81
4．（2019·南京调研）记等差数列{an}前n项和为Sn.若am＝10，S2m－1＝110,则m＝_______.
解析：
因为S2m－1＝＝（2m－1）am＝110，所以2m－1＝11，即m＝6.
答案：
6
[谨记通法]
等差数列基本运算的方法策略
（1）等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”．解决这些问题一般设基本量a1，d，利用等差数列的通项公式与求和公式列方程（组）求解，体现方程思想．
（2）如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题，一般是等差数列的性质和等差数列求和公式Sn＝结合使用，体现整体代入的思想．
[典例引领]
（2019·启东联考）已知函数f（x）＝x2－2（n＋1）x＋n2＋5n－7（n∈N*）．
（1）设函数y＝f（x）的图象的顶点的纵坐标构成数列{an}，求证：
{an}为等差数列；
（2）设函数y＝f（x）的图象的顶点到x轴的距离构成数列{bn}，求{bn}的前n项和Sn.
解：
（1）证明：
因为f（x）＝x2－2（n＋1）x＋n2＋5n－7＝[x－（n＋1）]2＋3n－8，
所以an＝3n－8，
因为an＋1－an＝3（n＋1）－8－（3n－8）＝3，
所以数列{an}为等差数列．
（2）由题意知，bn＝|an|＝|3n－8|，
所以当1≤n≤2时，bn＝8－3n，
Sn＝b1＋…＋bn＝
＝＝；
当n≥3时，bn＝3n－8，
Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝5＋2＋1＋…＋（3n－8）
＝7＋
＝.
所以Sn＝
[由题悟法]
等差数列的判定与证明方法
方 法
解 读
适合题型
定义法
对于任意自然数n（n≥2），an－an－1（n≥2，n∈N*）为同一常数⇔{an}是等差数列
解答题中证明问题
等差中项法
2an－1＝an＋an－2（n≥3，n∈N*）成立⇔{an}是等差数列
通项公式法
an＝pn＋q（p，q为常数）对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
填空题中的判定问题
前n项和公式法
验证Sn＝An2＋Bn（A，B是常数）对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
[即时应用]
已知数列满足：
a1＝2，an＋1＝3an＋3n＋1－2n.设bn＝.
（1）证明：
数列为等差数列；
（2）求数列的通项公式．
解：
（1）证明：
∵bn＋1－bn＝－＝－＝1，
∴数列为等差数列．
（2）∵b1＝＝0，∴bn＝n－1，∴an＝（n－1）·3n＋2n.
[典例引领]
1．已知{an}为等差数列，若a1＋a2＋a3＝5，a7＋a8＋a9＝10，则a19＋a20＋a21＝________.
解析：
由等差数列的性质，可知S3，S6－S3，S9－S6，…，S21－S18成等差数列，
设此数列公差为D.所以5＋2D＝10，所以D＝.
所以a19＋a20＋a21＝S21－S18＝5＋6D＝5＋15＝20.
答案：
20
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a8＝1，S16＝0，当Sn取最大值时n的值为________．
解析：
法一：
由解得则Sn＝－n2＋16n＝－（n－8）2＋64，则当n＝8时，Sn取得最大值．
法二：
因为{an}是等差数列，所以S16＝8（a1＋a16）＝8（a8＋a9）＝0，则a9＝－a8＝－1，即数列{an}的前8项是正数，从第9项开始是负数，所以（Sn）max＝S8，故Sn取最大值时，n＝8.
答案：
8
[由题悟法]
1．等差数列的性质
（1）项的性质：
在等差数列{an}中，am－an＝（m－n）d⇔＝d（m≠n），其几何意义是点（n，an），（m，am）所在直线的斜率等于等差数列的公差．
（2）和的性质：
在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
①S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1）；
②S2n－1＝（2n－1）an.
2．求等差数列前n项和Sn最值的2种方法
（1）函数法：
利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
（2）邻项变号法：
①当a1＞0，d＜0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1＜0，d＞0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
[即时应用]
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324（n＞6），则数列{an}的项数为________．
解析：
由题意知a1＋a2＋…＋a6＝36，①
an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，②
①＋②得（a1＋an）＋（a2＋an－1）＋…＋（a6＋an－5）＝6（a1＋an）＝216，所以a1＋an＝36，
又Sn＝＝324，所以18n＝324，所以n＝18.
答案：
18
2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________.
解析：
依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋（10－1）d＝16＋9d，解得d＝，因此S100＝10S10＋d＝10×16＋×＝200.
答案：
200
3．已知在等差数列中，a1＝31，Sn是它的前n项和，S10＝S22.
（1）求Sn；
（2）这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值．
解：
（1）∵S10＝a1＋a2＋…＋a10，S22＝a1＋a2＋…＋a22，
S10＝S22，
∴a11＋a12＋…＋a22＝0，＝0，
即a11＋a22＝2a1＋31d＝0.又a1＝31，
∴d＝－2，
∴Sn＝na1＋d＝31n－n（n－1）＝32n－n2.
（2）由
（1）知Sn＝32n－n2，∴当n＝16时，Sn有最大值，Sn的最大值是256.
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．（2018·徐州、连云港、宿迁质检）已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则的值为________．
解析：
设等差数列{an}的首项为a1，则由＝3，得＝3，所以d＝4a1，所以＝＝＝.
答案：
2．（2019·常州一中检测）在等差数列中，若a2＋a12＝4，则a2＋a7＋a12＝________.
解析：
∵a2＋a12＝2a7＝4，∴a7＝2.
则a2＋a7＋a12＝3a7＝6.
答案：
6
3．（2018·徐州期中）已知等差数列的前n项和为Sn，S11＝132，a6＋a9＝30，则a12的值为________．
解析：
在等差数列中，设首项为a1，公差为d，
由S11＝132，a6＋a9＝30，
得解得a1＝d＝2.
∴a12＝a1＋11d＝24.
答案：
24
4．（2018·苏州质量监测）已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1＜0，则正整数k＝________.
解析：
3an＋1＝3an－2⇒an＋1＝an－⇒{an}是等差数列，则an＝－n.因为ak＋1·ak＜0，
所以＜0，所以＜k＜，
又因为k∈N*，
所以k＝23.
答案：
23
5．等差数列{an}中，已知a5＞0，a4＋a7＜0，则{an}的前n项和Sn的最大值为________．
解析：
因为所以
所以Sn的最大值为S5.
答案：
S5
6．（2018·无锡期末）在等差数列中，若an＞0，a4＝5，则＋的最小值为________．
解析：
∵在等差数列中，an＞0，a4＝5，
∴a2＋a6＝2a4＝10，
∴＋＝（a2＋a6）＝≥＝，
当且仅当＝时取等号．故＋的最小值为.
答案：
二保高考，全练题型做到高考达标
1．（2018·张家港期末）在古巴比伦泥板（公元前2000年～前1000年）有这样一个数学问题：
10兄弟分100个金币，哥哥比弟弟依次多分．已知每一个级差相等，还知道老八分得6个金币（每个人分得的金币可以是分数）．问：
老三应该分得________个金币．
解析：
∵10兄弟分100个金币，哥哥比弟弟依次多分，每一个级差相等，老八分得6个金币，
∴可将其看作一个等差数列，
∴
解得a1＝，d＝－，
∴a3＝a1＋2d＝－＝14，
即老三应该分得14个金币．
答案：
14
2．数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋3n（n∈N*），若p－q＝5，则ap－aq＝________.
解析：
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋3n－[2（n－1）2＋3（n－1）]＝4n＋1，
当n＝1时，a1＝S1＝5，符合上式，
所以an＝4n＋1，ap－aq＝4（p－q）＝20.
答案：
20
3．（2018·苏州期末）已知{an}是等差数列，a5＝15，a10＝－10，记数列{an}的第n项到第n＋5项的和为Tn，则|Tn|取得最小值时n的值为________．
解析：
由a5＝15，a10＝－10得an＝－5n＋40，an＋5＝－5n＋15，Tn＝＝15（11－2n），当11－2n＝±1时，即n＝5或6时，|Tn|取最小值15.
答案：
5或6
4．（2019·泰州模拟）设等差数列的前n项和为Sn，且S4＝4，S12＝24，则S8＝________.
解析：
由等差数列的性质可得，S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，
所以2（S8－4）＝4＋24－S8，
解得S8＝12.
答案：
12
5．设数列{an}的前n项和为Sn，若为常数，则称数列{an}为“吉祥数列”．已知等差数列{bn}的首项为1，公差不为0，若数列{bn}为“吉祥数列”，则数列{bn}的通项公式为________．
解析：
设等差数列{bn}的公差为d（d≠0），＝k，因为b1＝1，则n＋n（n－1）d＝k，即2＋（n－1）d＝4k＋2k（2n－1）d，
整理得（4k－1）dn＋（2k－1）（2－d）＝0.
因为对任意的正整数n上式均成立，
所以（4k－1）d＝0，（2k－1）（2－d）＝0，
解得d＝2，k＝.
所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1.
答案：
bn＝2n－1
6．（2019·扬州模拟）已知等差数列的前n项和为Sn，且S13＝6，则3a9－2a10＝________.
解析：
由S13＝6，得＝13a7＝6，∴a7＝，
∴3a9－2a10＝3（a1＋8d）－2（a1＋9d）＝a1＋6d＝a7＝.
答案：
7．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．
解析：
由题意，当且仅当n＝8时Sn有最大值，
可得即解得－1＜d＜－.
答案：
8．（2019·启东中学模拟）若等差数列的首项为a1，公差为d，关于x的不等式x2＋x＋c≥0的解集为[0,10]，则使数列的前n项和Sn最大的正整数n的值是________．
解析：
∵关于x的不等式x2＋x＋c≥0的解集为[0,10]，
∴＜0,0＋10＝－，0×10＝，
解得d＜0，c＝0，a1＝－.
an＝a1＋（n－1）d＝－＋（n－1）d＝d，
令an≥0，解得n≤，因此使数列的前n项和Sn最大的正整数n的值是5.
答案：
5
9．（2018·启东期末）已知等差数列的前n项和为Sn，且a3＝7，a5＋a7＝26.
（1）求an及Sn；
（2）令bn＝（n∈N*），求证：
数列为等差数列．
解：
（1）设等差数列的首项为a1，公差为d，
∵a3＝7，a5＋a7＝26.
∴
解得a1＝3，d＝2，
∴an＝a1＋（n－1）d＝3＋2（n－1）＝2n＋1，
Sn＝＝＝n（n＋2）．
（2）证明：
∵bn＝＝＝n＋2，
bn＋1－bn＝n＋3－（n＋2）＝1，
∴数列为等差数列．
10．（2018·南京、盐城二模）已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足（n＋1）bn＝an＋1－，（n＋2）cn＝－，其中n∈N*.
（1）若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式；
（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：
数列{an}是等差数列．
解：
（1）因为数列{an}是公差为2的等差数列，
所以an＝a1＋2（n－1），＝a1＋n－1.
因为（n＋2）cn＝－（a1＋n－1）＝n＋2，所以cn＝1.
（2）证明：
由（n＋1）bn＝an＋1－，
得n（n＋1）bn＝nan＋1－Sn，（n＋1）（n＋2）bn＋1＝（n＋1）an＋2－Sn＋1，两式相减，并化简得an＋2－an＋1＝（n＋2）bn＋1－nbn.
从而（n＋2）cn＝－＝－[an＋1－（n＋1）bn]＝＋（n＋1）bn＝＋（n＋1）bn＝（bn＋bn＋1），
因此cn＝（bn＋bn＋1）．
因为对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，
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