3．：
如图1-8，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？
为什么？
例3：
如图1-9，△ABD和△BEC均为等边三角形，M、N分别为AE和DC的中点，那么△BMN是等边三角形吗？
说明理由．
练习3
1．：
如图1-10，在等边三角形ABC中，BD=CE=AF，AD与BE交于G，BE与CF交于H，CF与AD交于K，试判断△GHK的形状．
1-10
2．：
如图1-11，△ABC是等边三角形，E是AC延长线上的任意一点，选择一点D，使△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，那么△CMN是等边三角形吗？
为什么？
1-11
3．：
如图1-12，等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使AD=AE，作等边三角形PCD、QAE和RAB，那么以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形，请说明理由．
1-12
例4：
如图1-13，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=100°，∠ABC的平分线交AC于E，试比拟AE+BE与BC的大小？
练习4
1．如图1-14，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F，那么PD+PE与CF相等吗？
1-14
2．：
如图1-15，△ABC和△ADE都是等边三角形．B、C、D在一条直线上，说明CE与AC+CD相等的理由．
1-15
3．：
如图1-16，△ABC是等边三角形，延长AC到D，以BD为一边作等边三角形BDE，连结AE，那么AD_______AE+AB．〔填“>〞或“＝〞或“<〞〕
1-16
例5：
如图1-17，△ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD=AB，那么CE是CD的几分之几？
练习5
1．如图1-18，D、E分别是等边三角形ABC两边BC、AC上的点，且AE=CD，连结BE、AD交于点P．过B作BQ⊥AD于Q，请说明BP是PQ的2倍．
2．如图1-19，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE，那么CE是BD的几分之几？
1-19
3．：
如图1-20，在△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们相交于H，且AE=BE，那么AH是BD的________倍．
1-20
答案:
例1分析AB=AC，MN=AN可知△ABC和△AMN均为等腰三角形，充分利用等腰三角形的性质寻找所求角间的关系．
1-1
解：
设∠BAM=∠CAN=α，∠AMN=β，
∵MN=AN，∴∠AMN=∠MAN=β．
设∠ABC=γ，在△ABC中，
∠ABC+∠BCA+∠CAB=180°，
由于∠BCA=∠CAB=2α+β，∴4α+2β+γ=180°．
在△ABM中，β=α+γ，
∴4α+2β+〔β-α〕=180°．即3〔α+β〕=180°．
∴α+β=60°，故∠MAC=60°．
例2分析要说明似乎没有任何关系的两条线段相等，往往需要做一些工作，如添加辅助线，构造全等三角形等，从而到达解决问题的目的．
解：
延长AD到F，使AF=EF，
1-5
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠A=60°．
∴△AEF是等边三角形．
∴EA=EF，∠AEF=∠A=60°．
又∵EH垂直平分BD，
∴EB=ED，∠EBD=∠EDB．
∴△EAD≌△EFB．
∴AD=BF．
又∵BF=AF-AB=AE-AC=CE，
∴AD=CE．
1-9
例3分析要说明一个三角形是等边三角形，只要能够证明这个三角形满足“三条边相等或三个角相等或一个角是60°的等腰三角形〞即可．此题只需利用三角形全等证得BM=BN，且∠MBN=60°即可．
解：
在△ABE和△DBC中，
∵∠ABE=60°+∠DBE，∠DBC=60°+∠DBE，
∴∠ABE=∠DBC．
∵AB=BD，BE=EC．
∴△ABE≌△DBC．
∴AE=DC，∠MEB=∠NCB．
又∵M、N分别是AE和DC的中点，
∴ME=NC，又△BEC为等边三角形，
∴BE=BC．
∴△MBE≌△NBC，BM=BN．
∴∠MBN=∠MBE-∠NBE=∠NBC-∠NBE=60°．
∴△BMN为等边三角形．
例4分析说明一条线段的长是否等于其他两条线段长的和，常常采用截取等长线段的方法，将那些本来没有关系的线段放在条线段上，这样可迎刃而解．
解：
在BC上截取BF=BE，BD=BA，连结FE、DE，
∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠C=40°，又BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2=
∠ABC=20°．
1-13
∵BF=BE，∴∠BEF=∠5=80°．
在△BAE和△BDE中，
BA=BD，∠1=∠2，BE=BE．
∴△BAE≌△BDE．
∴AE=DE，∠3=∠A=100°．
∴∠4=180°-∠3=180°，
∴∠4=∠5，DE=FE，AE=FE．
又∠6=∠5-∠C=80°-40°=40°，
∴∠6=∠C，∴FE=FC．
故AE+BE=FC+BF=BC．
例5分析延长线段到倍长，再证明三角形全等，往往是说明线段倍分关系的重要途径和必要手段．
解：
延长CE到F，使EF=CE，连结BF，CE是AB的中线，∴AE=EB．
又∠FEB=∠AEC，
1-17
∴△EBF≌△EAC，∴∠EBF=∠A．
BF=AC=BD．
在△FBC和△DBC中，
FB=BD，BC=BC．
∴∠FBC=∠FBE+∠EBC．=∠A+∠ACB．
∠DBC=∠A+∠ACB．
∴∠FBC=∠DBC．∴△BCF≌△BCD．
∴CF=CD=2CE，故CE=
CD．
练习1
1．解：
设∠DEC=x，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED．
∴x=∠AEC-∠ADE=〔∠B+30°〕-∠ADE=〔∠B+30°〕-〔∠C+x〕
∵AB=AC，∴∠B=∠C
∴2x=30°，x=15°，应选C．
2．解：
∵AB=BB′，
∴∠BAB′=∠BB′A，∠B′BD=∠BAB′+∠BB′A=2∠BAB′．
又∠CBB′=∠DBB′，
∴∠ACB=∠CBB′+∠CB′B=3∠CAB．
设∠CAB=x，∴∠ACB=3x，∠CBD=4x，又AA′=AB，
∴∠A′=∠ABA′=∠CBD=4x．
∵AA′平分∠EAB．
∴∠A′AB=
〔180°-x〕．
又∠A′AB=180°-〔∠A′+∠ABA′〕=180°-8x
∴
〔180°-x〕=180°-8x．
∴x=12°，故∠ACB=36°．
3．解：
如图，作△AED≌△BAC，连结EC．
那么∠AED=∠BAC=20°，
∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°．
∴∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°．
又∵AB=AE=AC，
∴△ACE是正三角形，AE=EC=ED．
∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°．
∴∠EDC=
〔180°-∠DEC〕=70°．
∴∠BDC=180°-〔∠ADE+∠EDC〕=30°．
练习2
1．解：
∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠FEC=90°．
在Rt△DEB与Rt△FEC中，
∵∠B=∠C，∴∠BDE=∠F．
∵∠FDA=∠BDE，
∴∠FDA=∠F，故AD=AF．
2．解：
以AD为边在△ADB作等边△ADE，连结BE．
那么∠1=∠2=∠3=60°．
∴AE=ED=AD．
∵∠DAC=15°，
∴∠EAB=90°-∠1-∠DAC=15°．
∴∠DAC=∠EAB．
又∵DA=AE，AB=AC，
∴△EAB≌△DAC．
∴∠EBA=∠DCA=15°．
∴∠BEA=180°-∠EBA-∠EAB=150°．
∵∠BED=360°-∠BEA-∠AED=150°．
∴∠BEA=∠BED．
又∵EB=EB，AE=ED．
∴△BEA≌△BED，∴BD=BA．
应选择C．
3．解：
延长AD到G，使DG=AD，连结BG，
∵BD=DC，∠BDG=∠CDA，AD=DG，
∴△ADC≌△BDE．
∴AC=BG，∠G=∠EAF，
又∵BE=AC，∴BE=BG．
∴∠G=∠BED，而∠BED=∠AEF，
∴∠AEF=∠AFE，故FA=FE．
练习3
1．解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA
∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．
又∵BD=AF=CE，
∴△ABD≌△BCE≌△CAF．
∴∠1=∠2=∠3．
∴∠BAC-∠1=∠ABC-∠2=∠ACB-∠3．
即∠CAK=∠ABG=∠BCH．
又∵AB=BC=CA，
∴△ABG≌△BCH≌△CAK．
∴∠AGB=∠BHC=∠CKA．
即∠KGH=∠GHK=∠GKH．
故△GKH是等边三角形．
2．解：
由于△ABC与△CDE均为等边三角形，A、C、E三点共线，得知：
CA=CB，CD=CE，∠ACD=∠BCE，
故△ACD≌△BCE．
∴∠ADC=∠BEC，AD=BE．
又DM=
AD，EN=
BE，
∴△DCM≌△E．
∴∠DCM=∠E，CM=．
又∠E+∠NCD=∠ECD=60°，
∴∠NCM=∠MCD+∠NCD=60°．
∴△CMN是等边三角形．
3．解：
连结BP．
∵△ABC与△CDP均为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CP，∠ACB=∠DCP=60°．
∴∠1=∠2，
∴△ADC≌△BPC．
∴∠CBP=∠DAC=60°．
∵∠RBP=∠RBA+∠ABC+∠CBP=60°+60°+60°=180°，
∴R、B、P三点共线．
又∵∠RAQ=∠RAB+∠BAC+∠CAQ=60°+60°+60°=180°，
∴R、A、Q三点共线．
而AQ=AE=AD=BP，
∴RQ=RA+AQ=RB+BP=RP．
又∠R=60°，∴△PQR是等边三角形．
故以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形．
练习4
1．解：
∵S△ACB=S△APB+S△APC，
即
AB·CF=
AB·PD+
AB·PE．
∴CF=PD+PE．
2．解：
∵AC=AB，∠CAE=∠BAD，AE=AD，
∴△AEC≌△ADB．
∴CE=BD．
又∵BD=BC+CD=AC+CD．
∴CE=AC+CD．
3．解：
∵△ABC和△BDE均为等边三角形．
∴∠ABE=60°-∠EBC=∠CBD，AB=BC，BE=BD．
∴△ABE≌△CBD．
∴AE=CD．又∵AB=AC，
∴AD=AC+CD=AB+AE．
练习5
1．解：
∵∠CAB=∠C=60°，AE=CD，AB=AC，∴△ADC≌△BEA，∴∠CAD=∠EBA．
又∠BPQ=∠PAB+∠PBA=∠PAB+∠CAD=60°，
∴在Rt△PQB中，∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ．
2．解：
延长CE交BA的延长线于F，
∵∠1=∠2，∠BEC=∠BEF=90°，BE=BE，
∴△BEC≌△BEF．
∴BC=BF，CE=EF，
∴CE=
CF．
又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，∠3=∠4，
∴∠2=∠5，且AB=AC．
∴Rt△AFC≌Rt△ADB．
∴CF=BD．故CE=
BD．
3．解：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，∠DAC+∠C=90°．
又∵BE⊥AC，∴∠EBC+∠C=90°．
∴∠DAC=∠EBC．在△AEH和△BEC中，
∵∠DAC=∠EBC，AE=BE．
∠AEH=∠BEC=90°，∴△AEH≌△BEC，∴AH=BC．
又BC=2BD，故AH=2BD．
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