第六章 数据的集中程度.docx
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第六章数据的集中程度
6.1平均数
教学目标：
1.理解平均数的概念，会计算平均数2.了解加权平均数，会计算加权平均数
3.会用样本的加权平均数来估计总体的平均数
教学重点：
平均数的计算（包括加权平均数）
教学难点：
例2的问题情境比较复杂，还涉及加权平均数的计算，是本节教学的难点
教学过程：
一、创设情境导入新课
农场里有100棵果树，水果在收获前，果农常会先估计果园里果树的产量。
你认为该怎样估计呢？
二、合作交流解读探究
果农从100棵苹果数中任意选出10棵，数出这10棵苹果树上的苹果数，得到以下数据（单位：
个）
154，150，155，155，159，150，152，155，153，157
你能估计出平均每棵树的苹果个数吗？
如果有n个数
我们把
叫做这n个数的算术平均数（arithmeticmean），简称平均数（mean），记做
（读做“
拔”）
大概果园里果树的产量有多少个？
生：
（个）
用10克树的平均苹果个数154个来估计100棵树的平均苹果个数。
在实践中，常用样本的平均数来估计总体的平均数。
做一做
某中学足球队20名队员的身高如下（单位：
cm）
170，167，171，168，160，172，168，162，172，169，
164，174，169，165，175，170，165，167，170，172.
请计算这20名队员的平均身高。
例1统计一名射击运动员在某次训练中15次射击的中靶环数，获得如下数据：
6，7，8，7，7，8，10，9，8，8，9，9，8，10，9。
求这次训练中该运动员射击的平均成绩。
上例中，
这种形式的平均数叫做加权平均数（weightedmean），其中1，3，5，4，2表示各相同数据的个数，称为权（weight）。
“权”越大，对平均数的影响就越大
例2：
某校在一次广播操比赛中，801班，802班，803班的各项得分如下：
服装统一
动作整齐
动作准确
801班
80
84
87
802班
98
78
80
803班
90
82
83
（1）如果根据三项得分的平均数从高到低确定名次，那么三个班的排名顺序怎样？
解
（1）三个班得分的平均数分别为:
（2）如果学校认为这三项的重要程度有所不同，而给予这三个项目的权的比为15∶35∶50。
以加权平均数来确定名次，那么三个班的排名又怎样？
（2）三个班得分的加权平均数分别为:
（分）
（分）
（分）
答 ……
3.练习巩固
课内联系1,2
4.课堂小结：
谈谈本节课有何收获？
5.作业布置：
课后作业作业本
6.1平均数
（2）
教学目标：
会求加权平均数，并体会权的差异对结果的影响，通过利用平均数解决实际问题，发展学生的数学应用能力。
教学重点：
加权平均数对结果的影响及算术平均数的联系与区别
教学难点：
探索算术平均数和加权平均数的联系和区别
教学过程：
（一）创设情境导入新课
导入问题：
学校举办了一次英语竞赛，该竞赛由阅读、作文、听力和口语四部分构成，小明、小亮和小丽参加了这次竞赛，成绩如下：
1、计算3个人4项比赛成绩的算术平均数，谁的竞赛成绩最高？
2、根据这4项比赛成绩的“重要程度”，将阅读、作文、听力和口语分别按30%、30%20%和20%的比例计算他们3人的竞赛成绩，谁的竞赛成绩最高？
3、如果你是比赛的负责人，你觉得谁得第一名合适？
（二）合作交流解读探究
1、学校广播站要招聘1名记者，小明、小亮、小丽报名参加了3项素质测试，成绩如下，
把采访写作、计算机和创意设计按成绩按5：
2：
3的比例计算3个人的素质测试平均成绩，那么谁将被录取？
在实际生活中，一组数据中各个数据的重要程度并不总是相同的，有时有些数据比期他数据更重要，所以，我们在计算这组数据的平均数时，往往根据其重要程度，分别给每个数据一个“权”，例如在本例中的5、2、和3分别是采访写作、计算机和创意设计测试成绩的“权”，将计算结果叫做小明、小亮、小丽3项素质测试成绩的加权平均数。
2、我校对各个班级教室卫生情况的考查包括以下几项：
黑板、门窗、桌椅、地面、一天，三个班级的各项卫生成绩分别如下：
（1）小明将黑板、门窗、桌椅、地面这四项得分依次按15%、10%、35%、40%的比例计算各班的卫生成绩，那么哪个班的成绩最高？
（2）你认为上述四项中，哪一项更为重要？
请你按自己的想法设计一个评分方案，根据你的方案，哪一个班的卫生成绩最高？
（三）应用迁移巩固提高
类型加权平均数的理解
例：
小颖家去年的饮食支出为3600元，教育支出为1200元，其他支出为7200元，小颖家今年的这三项去出比去年增长39%、3%、6%，小颖家今年的总支出比去年增长的百分数是多少？
由于小颖家去年的饮食、教育和其他三项支出金额不等，因此，饮食、教育和其他在项支出的增长率“地位”不同，它们对总支出增长率的“影响”不同，不能简单的用算术平均数计算总支出的增长率，而应将这三项支出金额3600、1200、7200分别视为三项支出增长率的“权”，从而求出总支出的增长率。
（三）总结反思拓展升华
一般说来，如果在n个数中，x1出现f1次，x2出现f2次……，xn出现fn次（这里f1+f2+…fn=n），那么这n个数的平均数可以表示为
在计算这个平均数的公式中，相同数据x1的个数f1叫做“权”，这个“权”，含有所占分量轻重的意思，f1越大，表示x1的个数越多，于是x1的“权”就越重。
因此这个公式又成为加权平均数公式。
[思考]
1、加权平均数受什么因素影响？
权的差异对结果有无影响？
2、算术平均数与加权平均数有哪些联系与区别？
[拓展]
小明在初二第二学期的数学成绩分别为：
测验一得分85分，测验二得84分，测验三得86分，期中考试得92分，期末考试得88分，如果按照平时、期中、期末的权分别为10%、30%、60%，那么小明该学期的总评成绩应该为多少分？
（88.9分）
6.2中位数与众数
（1）
教学目标1、理解众数和中位数的含义，会正确计算众数和中位数。
2、：
进一步发展学生类比、归纳、猜想等合情推理能力；让学生接触并解决一些现实生活中的问题，逐步培养学生的应用能力和创新意识。
教学重点：
众数和中位数两概念的形成过程及两概念的简单运用。
教学难点：
利用收集的数据整理分析，形成一定的统计观念。
（即数据感）
教学过程
一、创设情境，提出问题
2004-08-22贾占波获男子50米步枪金牌在男子50米步枪3x40决赛中，中国选手贾占波以1264.5环的总成绩获得金牌，美国选手安提以1263.1环的总成绩获得银牌，奥地利选手普雷纳尔1962.8环获得铜牌。
而在第9枪后占据第一位的美国选手埃蒙斯因在最后一枪射击失误没有成绩，最终仅排在所有8名决赛参赛选手的第8位
这两个运动员的射击成绩如下表：
由表中数据可以看出，当第9次射击后，埃蒙斯以5环的优势遥遥领先于贾占波，但由于第10次射击，意外地不能击中靶子，最终贾占波以总分第一获得该项目的金牌。
想一想：
（1）如果用10次射击的平均数来表示埃蒙斯的射击成绩的实际水平合适吗？
（2）如果你认为不合适，你能说出不合适的道理吗？
二、合作交流，解读探究
上海某软件科技公司招聘
市场销售总监
要求：
大专以上学历，有丰富的市场营销经历，有良好的市场判断能力及社会关系，
沟通能力强，对游戏产业有一定的了解。
工作地：
上海。
公司提供业界富有竞争力的薪酬
福利待遇，广阔的个人发展空间。
你怎样看待该公司员工的收入？
月平工资2000元，指所有员工工资的平均数是2000元．说明公司每月将支付工资总计2000×9元．
职员C的工资1200元，恰好居所有员工工资的“正中间”（恰有4人的工资比他高，有4人的工资比他低）我们称它为中位数
9个员工中有3个人的工资为1100元，出现的次数最多，我们称它为众数
练习：
1、在一次英语考试中,11名同学得分如下：
80701006080709050807090请指出这次英语考试中,11名同学得分的中位数和众数。
2、10名工人某天生产同一零件,生产的件数是:
131510141917161412
你能说出这一天10名工人所生产零件数的众数和中位数吗？
3、在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如下表所示：
分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数（平均数的计算结果保留到小数点后第2位）.
学生独立思考后讨论回答。
结合学生回答的实际情况，对练习：
ａ、能说出１ ２ ３ ４ ５ ６ 的众数吗？
ｂ、如何求一组数据的中位数？
ｃ、在一组数据中平均数，众数和中位数会都是同一个数吗？
d、实话实说，对平均数、众数和中位数知道多少？
谈谈它们的区别和共同特点．
归纳探索结果：
中位数、众数都是用来描述一组数据的集中趋势。
中位数是指：
将一组数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数的平均数），一组数据中的中位数是惟一的。
众数是一组数据中出现次数最多数据；一组数据中的众数可能不止一个，也可能没有。
4．巩固提高，鼓励创新
（！
）请你当厂长某鞋厂生产销售了一批女鞋３０双，其中各种尺码的销售量如下表所示：
计算３０双女鞋尺寸的平均数、中位数、众数
从实际出发，请回答①中三种统计特征量对指导本厂的生产是否有实际意义？
（２）请你评判
甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，
参赛学生每分钟输入的个数经统计计算后得到下表：
请你评判两班的学生成绩的平均水平、优秀率（每分钟输入汉字数≥１５０个为优秀）的高低。
由已知中位数估计＂中间＂位置，培养学生的逆向思维，同时也是从不同角度理解概念。
让学生会用数据多角度进行全面分析，制定科学决策，在用数学中学会创新．
这一环节通过对实践问题的分析解决，突破教学难点，强化学生对知识的理解，促进知识的迁移、深化、巩固，进一步完善知识结构；鼓励学生用数学的眼光分析实际问题，增强用数学意识。
5．总结反思，拓展升华
（1）列表对比
在生活中可用平均数、众数和中位数这三个特征数来描述一组数据的集中趋势，它们各有不同的侧重点，需联系实际选择。
（2）一组数据的众数、中位数、与平均数有可能是同一数据吗？
巩固型作业：
课本Ｐ227，１、２
6.2众数和中位数
（2）
教学目标：
进一步理解众数和中位数的概念，能根据所给信息合理地运用相应的数据代表分析问题，体会平均数、中位数和数三者之间的差别，能选择恰当的数据代表对数据做出自己的判断
教学重点：
掌握中位数、众数等数据代表的概念
教学难点：
选择恰当的数据代表对数据做出判断
教学过程：
（一）创设情境导入新课
导入问题1：
草地上有6个人在玩游戏，他们的平均年龄是15岁，请你想象一下是怎样年龄的6个人在玩游戏?
（可以都是15岁，也可以是65岁+5个5岁，只有平均数还不能恰当地描述这个例子）
问题2甲、乙两班举行跳绳比赛，比赛学生的成绩经统计后得下表：
比较两班学生成绩的平均数、优秀率
（大于150为优秀）的高低，（平均数
显然是一样，优秀率乙比甲高。
由中位数的定义可知，甲班45个数据中由低到高排，中间的数（也就是23位）是149，而乙班中间的数是151，它后面的数肯定都大于150，这说明乙班优秀人数比甲班多，那么乙班的优秀率就比甲班高）
（二）合作交流解读探究
1、交流讨论：
某公司职工的月工资及人数如下：
你认为该公司总经理、工会主席、普通职工将分别关心职工月工资数据的平均数、中位数和众数中的那一个？
说说你的理由，并相互交流。
根据上表，可得到公司职工月工资这组数据的平均数、中位数和众数分别为1387.14元、900元、800元，这三个数据分别反映职工月工保留意见的“平均水平”、“中等水平”和“多数水平”。
由于各人的工作岗位、任务与性质不同，所以每人对这3个数据关注的程度也不同，比如总经理关心职工月工资，所以他感兴趣的是平均数，工会主席关心众多职工利益，他看重的是众数，而普通职工关心的是自己的收入在本公司职工群体中的位置，中位数能帮助职工了解自己的工资收入是“中上”还是“中下”水平。
在实际生活中针对同一份材料，同一组数据，当人们怀着不同的目的，选择不同的数据代表，从不同的角度进行分析时，看到的结果可能是截然不同的，作为信息的接受者，分析数据应从多角度对统计数据人出较全面的分析，从而避免机械的，片面的解释。
2、数学实验：
教师捏住一根绳子的两端，将绳子拉直，面对全体学生。
（1）请全班同学目测并估计这根绳子的长度。
（2）将全班每位同学的估计值制成统计表和统计图，并计算全班同学估计值的平均数、中位数和众数
（3）根据
（2）中计算的结果，请你确定一个最后的估计值，作为全班同学对这根绳子长度的估计值。
（三）应用迁移巩固提高
例1：
某班的教室里，三位同学正在为谁的数学成绩最好而争论，他们的五次数学成绩分别是小玲：
62、94、95、98、98、小明：
62、62、98、99、100小丽：
40、62、85、99、99，他们都认为自己的成绩比另两位同学的好，请你结合各组数据的三个代表，谈谈你的观点
[议一议]平均数、中位数与众数都有哪些自己的特点？
平均数：
充分利用数据所提供的信息，应用最为广泛，但……
中位数：
计算简单，受极端值影响较小，但……
众数：
当一组数据中有些数据多次重复出现时，众数往往是人们尤为关心的一个量
（三）总结反思拓展升华
在实际问题中，平均数是最常用的指标，但不能一味的使用平均数来确定数据的特征，根据不同的实际需要，确定用平均数、中位数还是众数反映数据的特征。
平均数、中位数、和众数各有所长，也各有其短。
1、用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中的每一个数都有关系，对这组数据所包含的信息的反映最为充分，因而其应用也最为广泛，特别是在进行统计推断时有最要的作用，但计算时比较繁琐，并且容易受到极端数据的影响。
2、用众数作为一组数据的代表，着眼于对数据出现的频数的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关，可靠性比较差，但众数不受极端数据的影响。
当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往是我们关心的一种统计量。
3、用中位数作为一组数据的代表，可靠性也比较差，但中位数也不受极端数据的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用他来描述其集中趋势。
[想一想]
高一级学校录取新生主要是依据考生的总分，这与平均数、中位数、众数中的哪一个关系较大？
第6章总结归纳
（一）知识框架
（二）重点难点突破
平均数、中位数和众数都是描述一组数据的集中程度的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数运用最为广泛，应当注意平均数、中位数和众数的合理选用，避免平均数的误用。
这三个量的各自特点是：
平均数的大小与一组数据的每个数据均有关系，其中任何数据的变动都会引起相应平均数的变动，这既表明平均数非常充分地反映了一组数据的信息，也带来了求平均数较为麻烦的问题。
中位数的大小仅与数据的排列位置有关，当将一组数据按从小到大的顺序排列后，最中间的数据为中位数，于是部分数据的变动对中位数没有影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，常用它来描述这组数据的集中趋势。
众数着眼于对各数据出现的频数的考察，因此求一组数据的众数既不需要计算，也不需要排序，而只要数出出现次数较多的数据的频数就行了，众数的大小仅与一组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，它的众数也往往是我们关心的一种集中趋势。
整合拓展创新
类型一求平均数
例1已知两组数据x1，x2，x3，…xn和y1，y2，y3，…yn的平均数分别为
，
，求
（1）2x1，2x2，2x3…2xn的平均数
（2）2x1+1，2x2+1，2x3+1…2xn+1的平均数
（3）x1+y1，x2+y2，x3+y3…xn+yn的平均数
类型之二求中位数与众数
例22005中考维坊某年北京与巴黎的年降水量都是630毫米，它们的月降水量占全年降水量的百分比如下表：
（1）计算两个城市的月平均降水量
（2）写出两个城市的降水量的中位数和众数
（3）通过观察北京与巴黎两个城市的降水情况，用你所学过的统计知识解释北京地区干旱与缺水的原因。
类型之三求加权平均数
例3某校在期末考核学生的英语成绩时，将口语、听力、笔试成绩按照2：
3：
5的比例
来确定学生的英语成绩，小路的上述成绩分别为95分、85分、82分，则小路这学期的英语成绩是多少？
类型之四中位数与众数的实际应用
例4：
甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参赛学生每分钟输入的个数经统计计算后得下表：
比较两班的学生成绩的平均水平、优秀率（每分
钟输入汉字字数＞150个为优秀）的高低
（平均水平相同，优秀率乙班高）
例5：
（关于标准日产量的定额）某车间为了改变
管理松散的状况，准备采取每天任务定额，超产有奖的措施，提高工作效率，下面是该车间15名工人过去一天中各自装备机器的数量（单位：
台）6，7，7，8，8，8，8，9，10，10，13，14，16，16，17，管理者应确定每人标准日产量为多少台最好？
中位数为9，众数为8，平均数为10.47，从管理者的角度应确定每人标准日产量为9台最好，若确定10台，则激发不了大多数人的工作积极性。
中考名题赏析：
1、2005年杭州学校食堂出售两种厚度一样但大小不同的面饼，小饼直径30cm，售价30分，大饼直径40cm，售价40分，你更愿意买饼，原因是
2、2005年宁波在航天知识竞赛中包括甲同学在内的6名同学的平均分为74分，其中甲同学考了89分，则除甲以外的5名同学的平均分为分
3、2005年广东若数据8，9，7，8，x，3的平均数是7，则这组数据的众数是
4、2005年盐城某移动公司为了调查手机发短信的情况，在本区域内的1000位用户中抽取了10位用户来统计他们某月发送短信息的条数，结果如下表所示：
则本次调查中抽取的样本容量是中位数是众数是（1000，84.5，85）
5、2005年上海六个小学生进行投篮比赛，投进的个数分别为2，3，3，5，10，13，这六个数的中位数为（）A、3B、4C、5D、6
6、2005年泉州小林在初三第一学期的数学书面测验成绩分别为：
平时考试第一单元得84分，第二单元得76分，第三单元得92分，期中考试得82分，期末考试得90分，如果按照平时、期中、期末的权重分别为10%，30%，60%计算，那么小林该学期数学书面测验的总评成绩应为多少分？
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