初二数学专项训练因式分解.docx

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初二数学专项训练因式分解

因式分解――提公因式法

例题分析

　　例1．下列从左到右的变形，属于因式分解的有（　）

　　1.（x+1）（x-2）=x2-x-2　　2.ax-ay-a=a（x-y）-a

　　3.6x2y3=2x2·3y3　　　　4.x2-4=（x+2）（x-2）

　　5.9a3-6a2+3a=3a（3a2-2a）

　　A、0个　　B、1个　　C、2个　　D、3个

　　分析：

从左到右，式1是整式乘法；式2右端不是积的形式；式3中左右两边的均是单项式，原来就是乘积形式，我们说的因式分解，指的是将多项式分解成n个整式的乘积形式；式5的右边括号内漏掉了“1”这项；只有式4是正确的。

　　解：

B

　　例2．把-3a2b3+6a3b2c+3a2b分解因式

　　分析：

如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的。

此题各项系数的最大公约数是3，相同字母的最低次项是a2b.

　　解：

-3a2b3+6a3b2c+3a2b

　　　=-（3a2b3-6a3b2c-3a2b）

　　　=-3a2b（b2-2abc-1）

　　评注：

当公因式和原多项式中某项相同时提公因式后，该项应为1或-1，而不是零。

1作为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，为防止错误，可利用因式分解是乘法运算的逆过程的原理来检查。

例如，观察-3a2b（b2-2abc-1）是否等于-3a2b3+6a3b2c+3a2b，从而检查分解是否正确以及丢项漏项。

　　例3．分解因式3a2b（2x-y）-6ab2（y-2x）

　　分析：

因为y-2x=-（2x-y）,就是说y-2x与2x-y实质上是相同因式，因此本题的公因式是3ab（2x-y）.

　　解：

3a2b（2x-y）-6ab2（y-2x）

　　　=3a2b（2x-y）+6ab2（2x-y）

　　　=3ab（2x-y）（a+2b）

　　评注：

本题的公因式是多项式，此类型题只要把（2x-y）看作一个整体即可。

另外，注意因式分解的结果，单项式写在多项式的前面。

　　例4．分解因式：

2a（a-b）3-a2（a-b）2+ab（b-a）2

　　分析：

要找出这三个项的公因式。

因为（b-a）2=[-（a-b）]2=（a-b）2，因此（a-b）2就是公因式，分解结果有相同的因式要写成幂的形式。

　　解：

2a（a-b）3-a2（a-b）2+ab（b-a）2

　　　=2a（a-b）3-a2（a-b）2+ab（a-b）2

　　　=a（a-b）2[2（a-b）-a+b]

　　　=a（a-b）2（a-b）

　　　=a（a-b）3.

　　评注：

多项式中的公因式，有些比较简单，有些则比较复杂，需要进行些运算才能发现公因式，但不能生搬硬套。

记住下面结论是有益的。

　　当n为奇数时，（x-y）n=-（y-x）n;

　　当n为偶数时，（x-y）n=（y-x）n.

　　例5．不解方程组

求7y（x-3y）2-2（3y-x）3的值。

　　分析：

先把7y（x-3y）2-2（3y-x）3进行因式分解，再将2x+y=6和x-3y=1整体代入。

　　解：

7y（x-3y）2-2（3y-x）3

　　　=7y（x-3y）2+2（x-3y）3

　　　=（x-3y）2[7y+2（x-3y）]

　　　=（x-3y）2（2x+y）

　　∵

　　∴原式=12×6=6

　　评注：

先化简再求值以及整体代入的思想在求值问题中经常运用。

　　例6．求证：

32000-4×31999+10×31998能被7整除。

　　分析：

先把32000-4×31999+10×31998因式分解

　　证明：

∵32000-4×31999+10×31998

　　　　　=31998×（32-4×3+10）

　　　　　=7×31998

　　　　　∴32000-4×31999+10×31998能被7整除。

　　（三）、练习

　　一、选择题：

（1）在下列四个式子中，从等号左边到右边的变形是因式分解的是（　）

　　A、-5x2y3=-5xy（xy2）　　B、x2-4-3x=（x+2）（x-2）-3x

　　C、ab2-2ab=ab（b-2）　　D、（x-3）（x+3）=x2-9

（2）49a3bc3+14a2b2c2-21ab2c2在分解因式时，应提取的公因式是（　）

　　A、7abc2　　B、7ab2c2　　　C、7a2b2c2　　D、7a3bc3

　　（3）把多项式3m（x-y）-2（y-x）2分解因式的结果是（　）

　　A、（x-y）（3m-2x-2y）　　B、（x-y）（3m-2x+2y）　　C、（x-y）（3m+2x-2y）　　D、（y-x）（2x-2y+3m）

　　（4）在下列各式中：

①a-b=b-a;②（a-b）2=（b-a）2;③（a-b）2=-（b-a）2;④（a-b）3=（b-a）3;⑤（a-b）3=-（b-a）3;⑥（a+b）（a-b）=（-a+b）（-a-b）

正确的等式有（　）

　　A、1个　　　B、2个　　　C、3个　D、4个

　　（5）在分解-5x3（3a-2b）2+（2b-3a）2时，提出公因式-（3a-2b）2后，另一个因式是（　）

　　A、5x3　　B、5x3+1　　C、5x3-1　　D、-5x3

　　（6）下列各组代数式中没有公因式的是（　）

　　A、5m（a-b）与b-a　　B、（a+b）2与-a-b　　C、mx+y与x+y　　　D、-a2+ab与a2b-ab2

　　（7）下列各题因式分解正确的是（　）

　　A、3x2-5xy+x=x（3x-5y）　　　　　　　　B、4x3y2-6xy3z=-2xy2（2x2-yz+3）

　　C、3ab（a-b）-6a（a-b）=3（a-b）（ab-2a）　　D、-56x3yz+14x2y2z-21xy2z2=-7xyz（8x2-2xy+3yz）

　　（8）把（-2）1999+（-2）2000分解因式后是（　）

　　A、21999　　　　B、-2　　　　C、-21999　　　　　D、-1

　　（9）把3an+2+15an-1-45an分解因式是（　）

　　A、3（an+2+5an-1-15an）　　B、3an（a2+5a-1-15）

　　C、3an-1（a3+5-15a-1）　　　D、3an-1（a3+5-15a）

　　[答案]:

1.C　2.A　3.B　4.C　　5.C　6.C　7.D　8.A　9.D

　　二、填空题：

　　1．单项式-4a2b2c3，12ab2c,8ab3的公因式是________。

　　2．多项式9x3y-36xy3+3xy提取公因式________后，另一个因式是______。

　　3．多项式8x2n-4xn提取公因式后，括号内的代数式是______。

　　4．分解因式：

x（m-n）（a-b）-y（n-m）（b-a）=_________.

　　5．分解因式：

x（x+y）（x-y）-x（y+x）2=________.

　　6．2y（x-2）-x+2分解因式________。

　　[答案]：

1.4ab2　　2.3xy,3x2-12y2+1　　3.2xn-1

　　4.（m-n）（a-b）（x-y）　5.-2xy（x+y）　6.（x-2）（2y-1）

　　三、解答题：

　　1．把下列各多项式分解因式

（1）a5b-a2b3+a2b　　

（2）-7x2y-14xy2+49x2y2

　　（3）（x+y）（a2+a+1）-（x-y）（a2+a+1）　　（4）18x2（x-2y）2-24xy（2y-x）2-12x（2y-x）3

　　（5）x（x+y-z）+y（x+y-z）+z（z-x-y）　　（6）y（2x-y）2-2x（y-2x）2

　　2．计算下列各式

（1）7.6×200.1+4.3×200.1-1.9×200.1　　

（2）1011-5×109

　　3．先化简，再求值。

（1）已知2x-y=

xy=2,求2x4y3-x3y4的值。

（2）已知4x2+7x+2=4,求-12x2-21x的值。

　　4．求证下列各题

（1）证明72000-71999-71998能被41整除

（2）求证：

奇数的平方减去1能被8整除

　　（3）求证：

连续两个整数的积，再加上较大的整数其和等于较大整数的平方。

因式分解

（二）

　　一、学习指导

　　1．代数中常用的乘法公式有：

　　平方差公式：

（a+b）（a-b）=a2-b2

　　完全平方公式：

（a±b）2=a2±2ab+b2

　　2．因式分解的公式：

　　将上述乘法公式反过来得到的关于因式公解的公式来分解因式的方法，主要有以下三个公式：

　　平方差公式：

a2-b2=（a+b）（a-b）

　　完全平方公式：

a2±2ab+b2=（a±b）2

　　三、例题分析：

　　例1．分解因式：

（1）4a2-9b2　　

（2）-25a2y4+16b16

　　分析：

①∵4a2=（2a）2,9b2=（3b）2,那么只要把2a和3b看作平方差公式中的a和b即可。

　　②将两项交换后，这两项式是平方差的形式。

　　解：

（1）4a2-9b2

　　=（2a）2-（3b）2

　　=（2a+3b）（2a-3b）

　　注：

为保证解题正确要将中间步骤（2a）2-（3b）2写上，即先化为公式的左边形式。

　　分析：

①这是个两项式，且两项符号相反

　　②∵16b16=（4b8）2　　25a2y4=（5ay2）2那么可将4b8和5ay2看作平方差公式中的a和b即可。

　　解：

（2）-25a2y4+16b16

　　=16b16-25a2y4

　　=（4b8）2-（5ay2）2

　　=（4b8+5ay2）（4b8-5ay2）

　　注：

要先将原式写成公式左边的形式，写成（4b8）2-（5ay2）2

　　例2．分解因式：

（1）36b4x8-9c6y10　

（2）（x+2y）2-（x-2y）2

　　（3）81x8-y8　（4）（3a+2b）2-（2a+3b）2

　　分析：

（1）题二项式有公因式9应该先提取公因式，再对剩余因式进行分解，符合平方差公式。

（2）题的两项式符合平方差公式，x+2y和x-2y分别为公式中的a和b。

（3）题也是两项式，9x4和y4是公式中的a和b。

（4）题也是两项式，3a+2b和2a+3b是平方差公式中的a和b。

　　解：

（1）36b4x8-9c6y10

　　=9（4b4x8-c6y10）

　　=9[（2b2x4）2-（c3y5）2]

　　=9（2b2x4+c3y5）（2b2x4-c3y5）

　　注：

解题的第二步写成公式的左边形式一定不要丢。

（2）（x+2y）2-（x-2y）2

　　=[（x+2y）+（x-2y）][（x+2y）-（x-2y）]

　　=（x+2y+x-2y）（x+2y-x+2y）

　　=（2x）（4y）=8xy

　　注：

此例可以用乘法公式展开，再经过合并同类项得到8xy，由本例的分解过程可知，因式分解在某些情况下可以简化乘法与加减法的混合运算。

　　（3）81

　　=（9x4）2-（y4）2

　　=（9x4+y4）（9x4-y4）

　　=（9x4+y4）[（3x2）2-（y2）2]

　　=（9x4+y4）[（3x2+y2）（3x2-y2）]

　　=（9x4+y4）（3x2+y2）（3x2-y2）

　　注：

①第一次应用平方差公式后的第二个因式9x4-y4还可以再用平方差公式分解②3x2-y2在有理数范围内不能分解了，因为3不能化成有理数平方的形式。

　　（4）（3a+2b）2-（2a+3b）2

　　=[（3a+2b）+（2a+3b）][（3a+2b）-（2a+3b）]

　　=（3a+2b+2a+3b）（3a+2b-2a-3b）

　　=（5a+5b）（a-b）

　　=5（a+b）（a-b）

　　注：

（5a+5b）这个因式里还有5可以再提取，应该再提取出来。

　　例3．分解因式：

①（2m-n）2-121（m+n）2　②-4（m+n）2+25（m-2n）2

　　分析：

（1）题的第二项应写成[11（m+n）]2就可以用平方差公式分解，2m-n和11（m+n）为公式中的a和b，

（2）题中将这二项先利用加法交换律后再将每一项写成平方形式就找到公式中的a和b分别为5（m-2n）和2（m+n），再应用平方差公式分解。

　　解：

（1）（2m-n）2-121（m+n）2

　　=（2m-n）2-[11（m+n）]2

　　=[（2m-n）+11（m+n）][（2m-n）-11（m+n）]

　　=（2m-n+11m+11n）（2m-n-11m-11n）

　　=（13m+10n）（-9m-12n）

　　=-3（13m+10n）（3m+4n）

　　注：

（-9m-12n）这项应提取公因式-3

（2）-4（m+n）2+25（m-2n）2

　　=25（m-2n）2-4（m+n）2

　　=[5（m-2n）]2-[2（m+n）]2

　　=[5（m-2n）+2（m+n）][5（m-2n）-2（m+n）]

　　=（5m-10n+2m+2n）（5m-10n-2m-2n）

　　=（7m-8n）（3m-12n）

　　=3（7m-8n）（m-4n）

　　注：

利用平方差分解后的两个因式要进行整式的四则运算，并要注意运算时去括号法则的应用。

例如:

-2（m+n）=-2m-2n≠-2m+2n

　　例4.分解因式:

（1）

b-ab

（2）a4（m+n）-b4（m+n）

　　（3）-

　　分析：

这三道题都有公因式,应先提取公因式再应用平方差公式。

注意要分解到不能分解为止。

　　解：

（1）a5b-ab　

　　=ab（a4-1）

　　=ab（a2+1）（a2-1）

　　=ab（a2+1）（a+1）（a-1）

　　注：

a2+1在有理数范围不能分解，a2-1可以分解。

（2）a4（m+n）-b4（m+n）

　　=（m+n）（a4-b4）

　　=（m+n）（a2+b2）（a2-b2）

　　=（m+n）（a2+b2）（a+b）（a-b）

　　（3）-

　　=-

（a2-16）

　　=-

（a+4）（a-4）

　　注：

提取分数公因式-

便于后面用公式法分解。

　　例5．计算1.22222×9-1.33332×4

　　分析:

这是数字的计算问题,若按运算顺序一步步做很繁,我们认真观察,寻求简便算法,发现题中的两项,每一项都可以写成一个数的完全平方,再可以用平方差公式进行因式分解,这样可以使计算简化。

　　解：

1.22222×9-1.33332×4

　　=（1.2222×3）2-（1.3333×2）2

　　=（1.2222×3+1.3333×2）（1.2222×3-1.3333×2）

　　=（3.6666+2.6666）（3.6666-2.6666）

　　=6.3332×1=6.3332

　　例6．分解因式：

（1）x（x2-1）-x2+1　

（2）（x2+x+2）（x2+x+7）-6

　　分析：

（1）可看成二项式：

将-x2+1变形为-（x2-1）则可提取公因式（x2-1）再将公因式用平方差公式分解。

　　解：

（1）x（x2-1）-x2+1

　　=x（x2-1）-（x2-1）=（x2-1）（x-1）

　　=（x+1）（x-1）（x-1）

　　=（x+1）（x-1）2

　　分析：

（2）题若将此式展开一定繁琐，注意到x2+x+2与x2+x+7的平均数为x2+x+

，故可用换元法解：

　　解：

设y=

=x2+x+

　　则（x2+x+2）（x2+x+7）-6

　　=（y-

）（y+

）-6=y2-

-6

　　=y2-

=（y+

）（y-

）

　　=（x2+x+

+

）（x2+x+

-

）=（x2+x+8）（x2+x+1）

　　注：

此题也可以展开式子（x2+x）2+9（x2+x）+8再应用十字相乘法进行。

　　例7．若（248-1）可以被60和70之间的两个数整除，求这两个数。

　　分析：

首先应分析248-1的特殊形式为平方差，由题意248-1能被两个数整除说明248-1能分解成哪两个数与其它因式的积，并将248-1进行因式分解。

并注意这两个整数的取值范围是大于60且小于70。

　　解：

248-1

　　=（224）2-12=（224+1）（224-1）

　　=（224+1）（212+1）（212-1）

　　=（224+1）（212+1）（26+1）（26-1）

　　∵26+1=65为整数，26-1=63为整数，224+1和212+1都为整数

　　∴

=（224+1）（212+1）（26-1）为整数。

=（224+1）（212+1）（26+1）也为整数。

　　∴248-1被60和70之间的两个数整除，这两个数为65和63。

　　说明：

此题虽然题目中没有因式分解的要求，但是248-1是因式分解的平方差公式的基本形式。

将其进行等价转化，逐步地运用平方差公式，直到出现26+1的因式，26+1=65，及出现26-1=63。

因为23+1=9，23-1=8，这两个数已经不符合本题的要求了。

　　例8．求证：

任意两个连续整数之积是2的倍数，

　　证明：

设这两个连续整数分别为n和n+1

　　则这两个连续整数之积为：

n（n+1）

（1）如果n为偶数，可设n=2k（k为整数）

　　则n（n+1）=2k（2k+1）

　　∴

=k（2k+1）

　　∵k为整数，∴k（2k+1）为整数

　　∴n（n+1）是2的倍数

（2）如果n为奇数，可设n=2k+1（k为整数）

　　则n（n+1）=（2k+1）（2k+1+1）=（2k+1）（2k+2）=2（2k+1）（k+1）

　　∴

=（2k+1）（k+1）

　　∵k为整数，∴（2k+1）（k+1）也为整数

　　∴n（n+1）是2的倍数

　　∴任意两个连续整数之积是2的倍数。

　　注：

本题的证明，主要是明确以下几点：

（1）连续整数的表示法，注意数之间差为1，

（2）2的倍数是什么意思；即被2整除，也就是说除以2所得的商是一个整数。

　　（3）要进行分类讨论，将n分为偶数和奇数来进行讨论。

　　例9、分解因式：

（1）x2+6ax+9a2　　

（2）-x2-4y2+4xy　　（3）9（a-b）2+6（a-b）+1

　　分析：

这题的三个小题都为三项式，又都没有公因式，可考虑是否能用公式中的完全平方公式。

（1）题的x2=（x）2，9a2=（3a）2，且这两项的符号相同，可写成平方和。

这样x和3a就为公式中的a和b了。

另外6ax正好是2（x）（3a）即公式中的2ab项，这样这题就可用和的完全平方公式分解。

　　解：

（1）x2+6ax+9a2

　　=（x）2+2（x）（3a）+（3a）2

　　=（x+3a）2

　　注：

再写第一步的三个项的和时实际上先写x2和（3a）2项，再写固定的“2”常数再将公式中的a、b数即x和3a写进二个括号内；计算出来为6ax，即原题中的中间项。

　　分析：

（2）题中的-x2-4y2，这两项符号相同，提取负号后可写成平方和，即-x2-4y2=-[x2+（2y）2]，4xy正好是2（x）（2y）是公式中的2ab项，此题可用完全平方公式。

注意提取负号时4xy要变号为-4xy。

　　解：

（2）-x2-4y2+4xy

　　=-（x2-4xy+4y2）

　　=-[x2-2（x）（2y）+（2y）2]

　　=-（x-2y）2

　　分析：

（3）题9（a-b）2+1可写成平方和[3（a-b）]2+12，就找到公式中的a和b项为3（a-b）和1，6（a-b）正好是2×3（a-b）×1为公式中的2ab项，符合完全平方公式。

　　解：

（3）9（a-b）2+6（a-b）+1

　　=[3（a-b）]2+2×3（a-b）×1+12

　　=[3（a-b）+1]2

　　=（3a-3b+1）2

　　例10、分解因式：

（1）a4x2-4a2x2y+4x2y2

（2）（x+y）2-12（x+y）z+36z2　　　（3）（x2+4x）2+8（x2+4x）+16

　　（4）

（x2-2y2）2-2（x2-2y2）y2+2y4

　　分析：

（1）题有公因式x2应先提取出来，剩余因式（a4-4a2y+4y2）正好是（a2-2y）2

　　解：

（1）a4x2-4a2x2y+4x2y2

　　=x2（a4-4a2y+4y2）

　　=x2[（a2）2-2（a2）（2y）+（2y）2]

　　=x2（a2-2y）2

　　分析：

（2）中可将（x+y）看作一个整体，那么这个多项式就相当于（x+y）的二次三项式，并且降幂排列，公式中的a和b分别为（x+y）和（6z），中间项-2ab为-2（x+y）（6z），正好适合完全平方公式。

　　解：

（x+y）2-12（x+y）z+36z2

　　=（x+y）2-2（x+y）（6z）+（6z）2

　　=（x+y-6z）2

　　注：

此题中的多项式，切不可用乘法公式展开后再分解，而要注意观察、分析，根据多项式本身的形式特点，善于将多项式中的某一项（或一部分）作为整体与因式分解公式中的字母对应起来。

如此题中将（x+y）代换完全平方公式中的a，6z换公式中的b。

　　分析：

（3）的题型与

（2）题相同，只不过公式中的a和b为x2+4x和4，分解为（x2+4x+4）2后再将x2+4x+4再用一次完全平方公式分解，分解到不能分解为止。

　　解：

（x2+4x）2+8（x2+4x）+16

　　=（x2+4x）2+2（x2+4x）×4+42

　　=（x2+4x+4）2

　　=[（x+2）2]2=（x+2）4

　　分析：

（4）题把x2-2y2和y2看作为一个整体，那么这个多项式就是关于x2-2y2和y2的二次三项式，但首末两项不是有理数范围内的完全平方项，不能直接应用完全平方公式，但注意把首项系数

提出后，括号里边实际上就是一个完全平方公式。

注意分解到不能分解为止。

　　解：

（x2-2y2）2-2（x2-2y2）y2+2y4

　　=

[（x2-2y2）2-4（x2-2y2）y2+4y4]

　　=

[（x2-2y2）2-2（x2-2y2）（2y2）+（2y2）2]

　　=

（x2-2y2-2y2）2

　　=

（x2-4y2）2

　　=

[（x+2y）（x-2y）]2

　　=

（x+2y）2（x-2y）2

　　例11、分解因式：

（1）9（a-b）2+12（a2-b2）+4（a+b）2

（2）3a4-6a2+3　（３）an+1+an-1-2an　　（4）（m2+n2-1）2-4m2n2

　　分析：

（1）题中的9（a-b）2=[3（a-b）]2，

　　4（a+b）2=[2（a+b）]2而中间项

　　12（a