勾股定理总复习.docx

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勾股定理总复习

勾股定理

1.勾股定理：

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2.勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，即三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

（C为斜边最长，c＞a，c＞b）

注释：

（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系。

（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角形。

（3）理解勾股定理的一些变式：

c2=a2+b2，a2=c2－b2，b2=c2－a2

3.图形解释：

4.勾股数：

满足a2+b2=c2的三个正整数成为勾股数.

例如：

（3，4，5），（6，8，10），（5，12，13），（7，24，25）

注释：

勾股数的每一项的整数倍的组合也是勾股数，例如（3，4，5）的二倍（6，8，10）同样也为勾股数。

知识点一：

已知两边求第三边

1．在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边

①若a＝5，b＝12，则c＝________；

②若c＝41，a＝40，则b＝________；

③若∠A＝45°，a＝1．则b＝________，c＝________,a：

b：

c＝.

2.在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为_____________．

3.已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．

4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD=。

5.如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3，则AB的长是多少?

总结：

在应用勾股定理进行计算时，一定要分清哪条是直角边哪条是斜边。

【同步训练一】

1.在Rt△ABC中，∠C=90°

（1）已知a=6，c=10，求b；

（2）已知a=40，b=9，求c；

（3）若∠A=30°，a=1，则c=________,b=_________；

（4）若∠A=45°，a=1，则c=________,b=_________

2．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为_____________．

3．已知直角三角形的两边长为6、8，则另一条边长是________________．

4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=3，AC=4，则AB=。

5．在数轴上作出表示

的点．

6．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．求①AD的长；②ΔABC的面积．

知识点二：

运用勾股定理求面积

1．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以BC、AB、AC为边向外作正方形，面积分别记为S1、S2、S3，若S2=4，S3=6，则S1=。

2.如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积

=

，

，则S3=。

3．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2，则S1+S2=。

总结：

找出图中每个图形的面积和相对应的直角三角形每边具有怎样的关系式，运用勾股定理把每个图形的面积结合起来。

【同步训练二】

1．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A2的边长为6cm，正方形B的边长为5cm，正方形C的边长为5cm，则正方形D的面积是cm2

\

2.已知：

如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB=6，则图中阴影部分的面积为？

知识点三：

利用列方程求线段的长

1.若三角形三边之比为3：

4：

5，周长为24，则三角形面积为

2.矩形纸片ABCD中，AD=10cm，AB=4cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=cm。

3.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1m，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及

水面，已知红莲移动的水平距离为2m，求这里的水深是多少米？

4．图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？

【同步训练三】

1.小强想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂直到地面还多一米，当他把绳子下端拉开5米后，发现绳子下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？

2.如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．

【巩固训练】

1．在△ABC中，∠90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若a=6，c=10，则b=；若a=12，b=5，则c=；若c=15，b=13，则a=。

2．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，若AB=13，BC=10，则AD=。

3．若一个三角形的三边长分别是6、8、a，如果这个三角形是直角三角形，则a2=。

4．小颖从学校出发向南走了150m，接着向东走了80m到书店，则学校与书店的距离是。

5．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好到一个站着不动的女孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个女孩头顶5000米处，则飞机飞行的速度为千米/时。

6.如图1，等腰△ABC的底边BC为16,底边上的高AD为6,则腰长AB的长为.

7.如图2，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为　　　m.

（图2）

（图1）

8.如图所示,某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4km，又往北走1.5km，遇到障碍后又往西走2km，再折回向北走到2.5km处往东一拐，仅走1km就找到宝藏。

问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少？

9．将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和10

㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？

知识点四：

判别一个三角形是否是直角三角形

1.下列选项中的三条线段不能构成直角三角形的是（）

A．3，4，5B．6，8，10C．6，7，8D．0．9，1．2，1．5

2.下列选项中是勾股数的是（）

A．30，40，70B．30，40，50C．0.3，0.4，0.5D．3，4，7

3．a、b、c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：

①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形

②以

，

，

的长为边的三条线段能组成一个三角形

③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形

④以

，

，

的长为边的三条线段能组成直角三角形

其中所有正确结论的序号为（）

Ａ．①④Ｂ．①③④C．②③④Ｄ．②④

4．若一个三角形的三边之比为5：

12：

13，且周长为60cm，则它的面积为cm2

5.三边长为

（其中m＞n＞0）的三角形是直角三角形吗？

说明理由

6．已知a、b、c为△ABC的三边，且满足

，试判断

△ABC的形状.

【同步训练四】

1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：

（1）3、4、5

（2）5、12、13

（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有________________

2.若三角形的三边的比是1：

：

2，则这个三角形是________________

3.若一个三角形的周长12cm,一边长为3cm,其他两边之差为2cm,则这个三角形是________________

4.分别以下列四组数为一个三角形的边长：

（1）3、4、5

（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有

5．如图，在我国沿海有一艘不明国际的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。

已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西400.那么甲巡逻艇的航向是怎样的？

知识点五：

运用勾股定理解决实际问题

1.如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米。

2.如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.

3.如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？

4.如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯米

5.如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要多少米？

【同步训练五】

1.如图，隔湖有两点A、B，为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C，若测得CA=50m，CB=40m，那么A、B两点间的距离是米。

2.如图，一牧童在A处放羊，牧童的家在B处，A、B距河岸的距离AC、BD分别为500m和700m，且C、D两地相距500m，天黑前牧童要将羊赶往河边喝水再回家，那么牧童至少应该走

3.如图所示，一个梯子AB长5m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C间的距离为3m梯子滑动后停在DE位置上，如图，测得DB的长为1m，则梯子顶端A下落了米。

4.如图有一个矩形花坛ABCD，有个别人贪图方便，从E点直插过去到C点，已知BE=7米，BC=24米，那么这些人以践踏花草为代价，仅仅是只少走了米的路程

5．木工师傅做一个人字形屋梁，如图所示，上弦AB=AC=4m，跨度BC为6m，现有一根长为3m的木料打算做中柱AD（AD是△ABC的中线），请你通过计算说明这根木料的长度是否适合做中柱AD．（只考虑长度、不计损耗）

【巩固训练】

1．判断题。

⑴如果a3＞0，那么a2＞0；

⑵如果三角形有一个角小于90°，那么这个三角形是锐角三角形；

⑶勾股定理的逆定理是：

如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等。

2.分别以下列四组数为一个三角形的边长：

（1）3，4，5；

（2）5，12，13；（3）8，

15，17；（4）4，5，6.其中能构成直角三角形的有（）

A.4组B.3组C.2组D.1组

3.三角形的三边长分别为a2＋b2、2ab、a2－b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（）

A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定

4．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的（）

A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍

5.下列各命题的逆命题不成立的是（）

A.两直线平行,同旁内角互补B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等

C.对顶角相等D.如果a=b,那么a2=b2

6．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）

7.如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m，AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积.

8.如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=5km,BC=12km,AC=13km.要从B修一条公路BD直达AC.已知公路的造价为26000元/km，求修这条公路的最低造价是多少？

9.如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB.