第七节动能和动能定理.docx

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第七节动能和动能定理

第七节动能和动能定理

【知能准备】

1．物体由于________而具有的能叫做动能，反之，凡是做__________的物体都具有动能，质量为m的物体，以速度v运动时的动能是Ek=____________。

2．国际单位制中，动能的单位是____________。

1970年我国发射的第一颗人造地球卫星，质量为173kg，运动速度为7.2km/s，它的动能是______________。

3．动能是矢量还是标量？

______________；动能是状态量还是过程量？

_____________；动能可能小于零吗？

____________；动能具有相对性，参考系的不同，速度就不同，动能就_________。

一般取______为参考系。

4．动能是由物体的质量和速度的大小共同决定的，由于速度是矢量，因此，物体的速度变化，动能__________。

5．力在一个过程中对物体所做的功等于_________________________________。

这个结论叫做_________，可用公式表述为W=___________，其中Ek1表示____________，Ek2表示____________，W表示__________。

如果物体受到几个力的作用，则动能定理中的W表示______________。

6．物体的动能增加，表示物体的动能增量是___________值，合外力对物体做的功为___________值；反之，物体的动能减少，表示物体的动能增量是___________值，合外力对物体做的功为___________值。

【同步导学】

1．理解动能定理

（1）力（合力）在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。

这就是动能定理，其数学表达式为　　　　 W=Ek2－Ek1。

通常，动能定理数学表达式中的W有两种表述：

一是每个力单独对物体做功的代数和，二是合力对物体所做的功。

这样，动能定理亦相应地有两种不同的表述：

1外力对物体所做功的代数和等于物体动能的变化。

2合外力对物体所做的功等于物体动能的变化。

例1一架喷气式飞机，质量m=5×103kg，起飞过程中从静止开始滑跑的路程为s=5.3×102m时，达到起飞的速度v=60m/s，在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重量的0.02倍（k=0.02），求飞机受到的牵引力。

解答：

取飞机为研究对象，对起飞过程研究。

飞机受到重力G、支持力N、牵引力F和阻力f作用，如图2-7-1所示

2-7-1

各力做的功分别为WG=0，WN=0，WF=Fs，Wf=-kmgs.

起飞过程的初动能为0，末动能为

据动能定理得：

代入数据得：

点评：

上面的解法中是先求出各个力的功，再求出功的代数和。

当几个力同时对物体做功时，也可以先求出物体所受的合力，再求出合力的功。

然而，当几个力对物体做功有先后时，那就只能先求出各个力的功，再求出功的代数和。

例2将质量m=2kg的一块石头从离地面H=2m高处由静止开始释放，落入泥潭并陷入泥中h=5cm深处，不计空气阻力，求泥对石头的平均阻力。

（g取10m/s2）

解答石头在空中只受重力作用；在泥潭中受重力和泥的阻力。

对石头在整个运动阶段应用动能定理，有

。

所以，泥对石头的平均阻力

N=820N。

（2）动能的变化是末动能减去初动能，称之为动能的“增量”。

动能的变化量为正值，表示物体的动能增加了，对应于合力对物体做正功；动能的变化量为负值，表示物体的动能减小了，对应于合力对物体做负功，或者说物体克服合力做功。

例3一质量为0.3㎏的弹性小球，在光滑的水平面上以6m/s的速度垂直撞到墙上，碰撞后小球沿相反方向运动，反弹后的速度大小与碰撞前速度的大小相同，则碰撞前后小球速度变化量的大小Δv和碰撞过程中墙对小球做功的大小W为（）

A.Δv=0B.Δv=12m/sC.W=0D.W=10.8J

解答由于碰撞前后速度大小相等方向相反，所以Δv=vt-（-v0）=12m/s,根据动能定理

答案：

BC

若小球撞墙后速度大小变为3m/s，则碰撞前后小球速度变化量Δv？

碰撞过程中墙对小球做功的W？

（3）．动能定理的计算式为标量式，V为相对地面的速度。

（4）．动能定理的适用范围

动能定理是从牛顿第二定律F=ma和匀变速直线运动公式 v22－v12=2al推导而得的，虽然它是在受恒力作用、物体做直线运动的特殊条件下得到的，但是，当物体受变力作用或做曲线运动时，我们可把过程分解成许多小段，认为物体在每小段受恒力作用、做直线运动。

因此，无论作用在物体上的合力的大小和方向是否改变，物体是沿直线运动还是沿曲线运动，结论仍然成立。

也就是说，动能定理适用于直线运动，也适用于曲线运动；适用于恒力做功，也适用于变力做功。

力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分段作用。

只要求出和确定各力做功的多少和正负即可。

值得注意的是，在推导动能定理的过程中应用了只能在惯性参考系中成立的牛顿第二定律，因而动能定理也只适用于惯性参考系。

例4在h高处，以初速度v0向水平方向抛出一个小球，不计空气阻力，小球着地时速度大小为（）

A.

B.

C.

D.

解答小球下落为曲线运动，在小球下落的整个过程中，对小球应用动能定理，有

，

解得小球着地时速度的大小为 

。

正确选项为C。

注意：

应用动能定理只能求出小球着地时速度的大小，而无法求出速度的方向。

若要求小球着地时速度的方向，还得应用平抛运动的相关规律。

例5一质量为 m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点。

小球在水平拉力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图2-7-3所示，则拉力F所做的功为（）

A.mglcosθB.mgl（1－cosθ）C.FlcosθD.Flsinθ

解答将小球从位置P很缓慢地拉到位置Q的过程中，球在任一位置均可看作处于平衡状态。

由平衡条件可得F=mgtanθ，可见，随着θ角的增大，F也在增大。

而变力的功是不能用W=Flcosθ求解的，应从功和能关系的角度来求解。

小球受重力、水平拉力和绳子拉力的作用，其中绳子拉力对小球不做功，水平拉力对小球做功设为W，小球克服重力做功mgl（1－cosθ）。

小球很缓慢移动时可认为动能始终为0，由动能定理可得W－mgl（1－cosθ）=0，

 W=mgl（1－cosθ）。

正确选项为B。

2．应用动能定理

（1）动能定理应用的思路

动能定理中涉及的物理量有F、l、m、v、W、Ek等，在处理含有上述物理量的力学问题时，可以考虑使用动能定理。

由于只需从力在各段位移内的功和这段位移始末两状态动能变化去研究，无需注意其中运动状态变化的细节，又由于功和动能都是标量，无方向性，无论是对直线运动或曲线运动，计算都会特别方便。

当题给条件涉及力的位移效应，而不涉及加速度和时间时，用动能定理求解一般比用牛顿第二定律和运动学公式求解简便。

用动能定理还能解决一些用牛顿第二定律和运动学公式难以求解的问题，如变力作用过程、曲线运动等问题。

（2）．应用动能定理解题的一般步骤：

①确定研究对象和研究过程。

②分析物理过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，画受力示意图，及过程状态草图，明确各力做功情况，即是否做功，是正功还是负功。

③找出研究过程中物体的初、末状态的动能（或动能的变化量）

④根据动能定理建立方程，代入数据求解，对结果进行分析、说明或讨论。

例6如图2-7-4所示，绷紧的传送带在电动机带动下，始终保持v0＝2m/s的速度匀速运行，传送带与水平地面的夹角θ＝30°，现把一质量m＝l0kg的工件轻轻地放在传送带底端，由传送带传送至h＝2m的高处。

已知工件与传送带间的动摩擦因数

，g取10m/s2。

（1） 试通过计算分析工件在传送带上做怎样的运动?

（2） 工件从传送带底端运动至h＝2m高处的过程中摩擦力对工件做了多少功?

．

解答

（1） 工件刚放上皮带时受滑动摩擦力

，

工件开始做匀加速直线运动，由牛顿运动定律

可得 

m/s2=2.5m/s2。

设工件经过位移x与传送带达到共同速度，由匀变速直线运动规律

可得 

m=0.8m＜4m。

故工件先以2.5m/s2的加速度做匀加速直线运动，运动0.8m与传送带达到共同速度2m/s后做匀速直线运动。

（2） 在工件从传送带底端运动至h＝2m高处的过程中，设摩擦力对工件做功Wf ，由动能定理

可得

J

J=220J。

点评本题第

（2）问也可直接用功的计算式来求：

设工件在前0.8m内滑动摩擦力做功为Wf 1，此后静摩擦力做功为Wf 2，则有

  Wf 1=μmgcosθ ·x=

J=60J,

 Wf 2=mgsinθ （s－x）=

J=160J。

所以，摩擦力对工件做的功一共是

Wf =Wf 1+Wf 2=60J+160J=220J。

当然，采用动能定理求解要更为简捷些。

（3）应用动能定理求变力的功。

例7如图2-7-5所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为R=0.8m，BC是水平轨道，长S=3m，BC处的摩擦系数为μ=1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。

求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。

解答：

物体在从A滑到C的过程中，有重力、AB段的阻力、BC段的摩擦力共三个力做功，WG=mgR，fBC=umg，由于物体在AB段受的阻力是变力，做的功不能直接求。

根据动能定理可知：

W外=0，

所以mgR-umgS-WAB=0

即WAB=mgR-umgS=1×10×0.8-1×10×3/15=6（J）

点评：

如果我们所研究的问题中有多个力做功，其中只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。

例8电动机通过一条绳子吊起质量为8kg的物体。

绳的拉力不能超过120N，电动机的功率不能超过1 200W，要将此物体由静止起，用最快的方式将物体吊高90m（已知物体在被吊高90m以前已开始以最大速度匀速上升），所需时间为多少？

（g取10m/s2）

解答起吊最快的方式是：

开始时以最大拉力起吊，达到最大功率后维持最大功率起吊。

在匀加速运动过程中，加速度为

m/s2=5m/s2，

末速度 

m/s=10m/s，

上升时间

s=2s，

上升高度

m=10m。

在功率恒定的过程中，最后匀速运动的速度为

m/s=15m/s，

由动能定理有

，

解得上升时间

s=5.75s。

所以，要将此物体由静止起，用最快的方式将物体吊高90m，所需时间为

  t=t1+t2=2s+5.75s=7.75s。

（4）应用动能定理解多过程问题

例9一个物体从斜面上高h处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，测得停止处对开始运动处的水平距离为S，如图2-7-6，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并设斜面与水平面对物体的动摩擦因数相同．求动摩擦因数μ．

解答设该斜面倾角为α，斜坡长为l，则物体沿斜面下滑时，重力和摩擦力在斜面上的功分别为：

物体在平面上滑行时仅有摩擦力做功，设平面上滑行距离为S2，则

对物体在全过程中应用动能定理：

ΣW=ΔEk．

mglsinα－μmglcosα－μmgS2=0

得　　　　　　　h－μS1－μS2=0．

式中S1为斜面底端与物体初位置间的水平距离．故

点评本题中物体的滑行明显地可分为斜面与平面两个阶段，而且运动性质也显然分别为匀加速运动和匀减速运动．依据各阶段中动力学和运动学关系也可求解本题．比较上述两种研究问题的方法，不难显现动能定理解题的优越性．

例10从离地面H高处落下一只小球，小球在运动过程中所受的空气阻力是它重力的k（k<1）倍,而小球与地面相碰后，能以相同大小的速率反弹，求：

（1）小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高度是多少？

（2）小球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程是多少？

解答：

（1）设小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高度是h，则由动能定理得：

mg（H-h）-kmg（H+h）=0

解得

（2）、设球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程是S，对全过程由动能定理得mgH-kmgS=0

解得

点评：

物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的小过程（如加速、减速的过程），此时可以分段考虑，也可以对全过程考虑，但如能对整个过程利用动能定理列式则使问题简化。

3．对功能关系理解

1做功的过程是能量转化的过程能量有机械能、电能、内能、光能、化学能、核能等多种形式，各种形式的能可以相互转化，在转化过程中满足总能量守恒。

在电灯通电时，电流做功，电能转化为内能和光能；当汽车发动机工作时，把化学能转化为机械能；在核反应过程中，核力做功，把核能转化为内能。

要使能量的形式发生变化，必须通过做功过程才能实现。

这一点和初中学过的热传递有着本质的区别。

在热传递中过程，能量的形式并不发生变化。

2功是能量转化的量度在做功使能量的形式发生变化时，做了多少功，就有多少的能量从一种形式转化为另一种形式。

例如，电阻丝通电时，若电流做了100J的功，就有100J的电能转化为内能。

从这个意义上讲，功好像是一把尺子，可以用它来量度能量转化的大小。

我们在推导重力势能、弹性势能和动能的表达式时，正是从这一原理入手的。

例11某同学从高为h处水平地投出一个质量为m的铅球，测得成绩为s，求该同学投球时所做的功．

解答同学对铅球做的功等于铅球离手时获得的动能，即

铅球在空中运动的时间为

铅球时离手时的速度

解上三式得同学对铅球做的功

例12新疆达坂城风口的风速约为v=20m/s，设该地空气的密度为ρ=1.4kg/m3，若把通过横截面积S=20m2的风能的50%转化为电能，利用上述已知量推导计算电功率的公式，并求出发电机电功率的大小。

解答首先建立风的“柱体模型”，如图2-7-7所示，设经过时间t通过截面S的空气的质量为m，则有

  m=ρV=ρSl=ρSvt。

这部分空气的动能为 

。

因为风的动能只有50%转化为电能，所以其电功率的表达式为

。

代入数据得 

W=5.6×104W。

【同步检测】

1．车作匀加速运动，速度从零增加到V的过程中发动机做功W1，从V增加到2V的过程中发动机做功W2，设牵引力和阻力恒定，则有（）

A．W2=2W1B．W2=3W1C．W2=4W1D．仅能判断W2＞W1

2.用100N的力将0.5千克的足球以8m/s的初速度沿水平方向踢出20米，则人对球做功为（）

A．200JB．16JC．2000JD．无法确定

3.子弹以水平速度V射入静止在光滑水平面上的木块M，并留在其中，则（）

A．子弹克服阻力做功与木块获得的动能相等

B．阻力对子弹做功小于子弹动能的减少

C．子弹克服阻力做功与子弹对木块做功相等

D．子弹克阻力做功大于子弹对木块做功

4.（2000年全国高考试题）如图2-7-8所示，DO是水平面，AB是斜面，初速度为v0,物体从D点出发沿DBA滑到顶点时速度恰好为零，如果斜面改为AC，让该物体从D点出发沿DCA滑到A点且速度刚好为零，则物体具有的初速度（已知物体与路面间的动摩擦系数处处相等且不为零）（）

A.大于v0

B.等于v0

C.小于v0

D.取决于斜面的倾角

5.质量不等，但具有相同初动能的两个物体，在摩擦系数相同的水平地面上滑行，直到停止，则（）

A．质量大的物体滑行的距离大

B．质量小的物体滑行的距离大

C．它们滑行的距离一样大

D．它们克服摩擦力所做的功一样多

6.速度为ｖ的子弹，恰可穿透一块固定着的木板，如果子弹的速度为２ｖ，子弹穿透木板时阻力视为不变，则可穿透同样的木板：

（）

Ａ．１块；Ｂ．２块；

Ｃ．３块；Ｄ．４块。

7.一物体在竖直弹簧的上方ｈ米处下落，然后又被弹簧弹回，如图2-7-9所示，则物体动能最大时是：

（）

Ａ．物体刚接触弹簧时；

h

Ｂ．物体将弹簧压缩至最短时；

Ｃ．物体重力与弹力相等时；

Ｄ．弹簧等于原长时。

2-7-9

8.一人从高处坠下，当人下落H高度时安全带刚好绷紧，人又下落h后人的速度减为零，设人的质量为M，则绷紧过程中安全带对人的平均作用力为____________。

9.M=2千克的均匀木板长为L=40cm，放在水平面上，右端与桌面齐，板与桌面间的摩擦系数为μ=0.2,现用水平力将其推落，水平力至少做功为___________。

2-7-10

10.如图2-7-11所示,物体沿一曲面从A点无初速度滑下,滑至曲面最低点B时,下滑的高度为5m.若物体的质量为1㎏,到B点的速度为6m/s,则在下滑过程中克服阻力所做的功是多少?

2-7-11

第七节动能和动能定理知能准备答案

1．运动，机械运动，

　　　2．焦耳，4484160000J　　3．标量，状态量，不，不一样，地面

4．不一定变化5．物体在这个过程中动能的变化，动能定理， W=Ek2－Ek1，初动能，末动能，力做的功，合力的功6．正，正，负，负

第七节动能和动能定理同步检测答案

1.B2.B3.D4.B5.BD6.D7.C8.

9.0.8J10.32J

第七节动能和动能定理练习题

1.关于速度与动能，下列说法中正确的是（）

A.一个物体速度越大时，动能越大

B.速度相等的物体，如果质量相等，那么它们的动能也相等

C.动能相等的物体，如果质量相等那么它们的速度也相同

D.动能越大的物体，速度也越大

2.对于做匀速圆周运动的物体，下面说法中正确的是（）

A.速度在改变，动能也在改变B.速度改变，动能不变

C.速度不变，动能改变D.动能、速度都不变

3.一质量为1.0kg的滑块，以4m／s的初速度在光滑水平面上向左滑行，从某一时刻起一向右水平力作用于滑块，经过一段时间，滑块的速度方向变为向右，大小为4m／s，则在这段时间内水平力所做的功为（）

A.0B.8JC.16JD.32J

4.两物体质量之比为1:

3，它们距离地面高度之比也为1:

3，让它们自由下落，它们落地时的动能之比为（）

A.1:

3B.3:

1C.1:

9D.9:

1

5.在距地面15m高处，某人将一质量为4kg的物体以5m／s的速度抛出，人对物体做的功是（）

A.20JB.50JC.588JD.638J

6.一个物体由静止沿长为L的光滑斜面下滑当物体的速度达到末速度一半时，物体沿斜面下滑了（）

A.

B.

C.

D.

7.质点在恒力作用下，从静止开始做直线运动，则质点的动能（）

A.与它通过的位移成正比B.与它通过的位移的平方成正比

C.与它运动的时间成正比D.与它的运动的时间的平方成正比

8.两个材料相同的物体，甲的质量大于乙的质量，以相同的初动能在同一水平面上滑

动，最后都静止，它们滑行的距离是（）

A.乙大B.甲大C.一样大D.无法比较

9.两辆汽车在同一水平路面上行驶，它们的质量之比为m1:

m2=1:

2，速度之比为v1:

v2=2:

1当汽车急刹车后，甲、乙两辆汽车滑行的最大距离为s1和s2，若两车与路面的动摩擦因数相同，且不计空气阻力，则（）

A.s1:

s2=1:

2B.S1:

S2=1:

1C.S1:

S2=2:

1D.s1:

s2=4:

1

10．如图2-7-12所示，质量为M的木块放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度v0沿水平射中木块，并最终留在木块中与木块一起以速度v运动.已知当子弹相对木块静止时，木块前进距离L，子弹进入木块的深度为s.若木块对子弹的阻力f视为恒定，则下列关系式中正确的是（）

2-7-12

A．fL=

Mv2B．fs=

mv2

C．fs=

mv02－

（M＋m）v2D．f（L＋s）=

mv02－

mv2

11.两个物体的质量分别为m1和m2，且m1=4m2，当它们以相同的动能在动摩擦因数相同的水平面上运行时，它们的滑行距离之比s1:

s2和滑行时间之比t1:

t2分别为（）

A.1:

2,2:

1B.4:

1,1:

2C.2:

1,4:

1D.1:

4,1:

2

12．跳伞运动员在刚跳离飞机、其降落伞尚未打开的一段时间内，下列说法中正确的是（）A．空气阻力做正功B．重力势能增加

C．动能增加D．空气阻力做负功

13.以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h，空气阻力的大小恒为f，则从抛出至回到原出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为（）

A.0B.-fhC.-2fhD.-4fh

14.有两个物体其质量M1>M2，它们初动能一样，若两物体受到不变的阻力F1和F2作用经过相同的时间停下，它们的位移分别为s1和s2，则（）

A.F1>F2，且s1F2，且s1>s2

C.F1s2

15.质量为m的物体从地面上方H高处无初速释放，落在地面后出现一个深度为h的坑，如图2-7-13所示，在此过程中（）

A.重力对物体做功为mgH

B.重力对物体做功为mg（H+h）

C.外力对物体做的总功为零

D.地面对物体的平均阻力为mg（H+h）／h

2-7-13

16.物体与转台间的动摩擦因数为μ，与转轴间距离为R，m随转台由静止开始加速转动，当转速增加至某值时，m即将在转台上相对滑动，此时起转台做匀速转动，此过程中摩擦力对m做的功为（）

A.0B.2πμmgRC.2μmgRD.μmgR／2

17.如图2-7-14所示，质量为m的物体静放在水平光滑平台上，系在物体上的绳子跨过光滑的定滑轮由地面以速度v0向右匀速走动的人拉着，设人从地面上且从平台的边缘开始向右行至绳和水平方向成30°角处，在此过程中人所做的功为（）

A.mv02／2B.mv02C.2mv02／3D.3mv02／8

2-7-14

18.如图2-7-15所示，一小物块初速v1，开始由A点沿水平面滑至B点时速度为v2，若该物块仍以速度v1从A点沿两斜面滑动至B点时速度为v2’，已知斜面和水平面与物块的动摩擦因数相同，则（）

A.v2>v2'

B.v2

C.v2=v2’

D.沿水平面到B点时间与沿斜面到达B点时间相等

2-7-15

19.木块受水平力F作用在水平面上由静止开始运动，前进sm后撤去F，木块又沿原方向前进3sm停止，则摩擦力f=________．木块最大动能为________.

20.质量M=500t的机车，以恒定的功率从静止出发，经过时间t=5min在水平路面上行驶了s=2.25km，速度达到了最大值vm=54km／h，则机车的功率为________W，机车运动中受到的平均阻力为________N．

21.如图2-7-16所示，光滑水平面上，一小球在穿过O孔的绳子的拉力作用下沿一圆周匀速运动，当绳的拉力为F时，圆周半径为R，当绳的拉力增大到8F时，小球恰可沿半径为R／2的圆周匀速运动在上述增大拉力的过程中，绳的拉力