51 三种常见的运动的合成与分解问题 教案.docx

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51三种常见的运动的合成与分解问题教案

【新课导入】

在学习新课之前，我们先对5.1节《曲线运动》的知识，进行一个回顾。

同学们打开笔记本，对应的去寻找黑板上括号里的答案，一会儿我叫几位同学把它补充完整。

（板书：

写完前4点，逐一提问写出，结合PPT讲解）

首先，曲线运动的定义是什么？

（PPT讲解）这个很直观，轨迹是曲线的运动就称之为曲线运动。

第二个，曲线运动的特点是什么？

（PPT讲解）任意时刻速度的方向沿轨迹的切线方向（两个例子），且速度的方向时刻发生变化，是一种变速运动。

（PPT）我们知道，速度是一个矢量，只要大小，方向中任意一个发生改变，就可以认为速度发生了变化。

曲线运动的方向是时刻改变的，所以它一定是变速运动。

第3，曲线运动的产生条件是什么？

合外力不为0，且不与初速度共线。

知道原因是什么吗？

其实它是从特点上推出来的：

你看，曲线运动是一种变速运动，所以会产生速度变化量△v;而△v是如何产生的呢？

是由于物体具有一定的加速度a,对时间△t累积产生的（滴血认亲，追溯DNA）；那么这个加速度又是从何而来的？

根据牛顿第二定律，是不是一定的合外力作用在物体上产生的？

所以一定有合外力。

那如果合外力的方向与初速度共线，物体就会做什么运动？

直线运动。

所以我们有了这样的条件。

接下来，我们回顾这样一个实验，看满足这样的条件是否可以发生曲线运动？

（PPT实验视频）

第4，设合外力与初速度的夹角为θ，若θ<90°，做加速曲线运动；若θ=90°，做匀速曲线运动；若θ>90°，做减速曲线运动。

画个图就清楚了，好，这就是以上三种情况。

在这三种情况中，我们把合外力按照切线和半径的方向进行正交分解。

径向的力由于和速度垂直，只能改变速度的方向；而切向的力与速度在同一直线上，可以改变速度的大小。

当θ<90°，切向力与速度同向，做加速运动；当θ>90°，切向力与速度反向，做减速运动；当θ=90°，不存在切向力，所以速度大小不发生改变。

好，我们看到：

这里有加速曲线运动，减速曲线运动，它们的速度大小都在发生改变，是变速运动，那它就不是变速运动了吧？

这是同学们容易出现的误区。

因为速度是矢量，只要大小、方向任意一个发生改变就算变速运动。

那么匀速曲线运动，虽然速度的大小不变，但是方向是不是时刻在发生改变？

对，所以它仍然是变速运动。

那这三个都是变速运动，变速运动再深入一点，还可以分为两类：

匀变速曲线运动，非匀变速曲线运动。

就像并非所有的牛奶都是特仑苏一样，那并非所有的曲线运动都是匀变速的。

二者的区别在哪儿？

分成两部分去理解：

都是变速运动，速度肯定要变；但一个变得均匀，一个变得不均匀。

其实这一概念大家并不陌生，我们是不是学过匀变速直线运动和非匀变速直线运动啊？

它们的区别是什么？

加速度是否恒定。

那这里也一样：

加速度一定的曲线运动就是匀变速曲线运动；加速度发生变化的曲线运动就是非匀变速曲线运动。

而加速度的恒定与否有取决于什么呢？

根据牛顿第二定律，它受到的合外力是否是恒力。

所以可以进一步理解：

受到合外力是恒力的物体（抛粉笔只受重力，重力是恒力）做匀变速曲线运动，受到合外力是变力的物体（天体运动，万有引力是变力）做非匀变速曲线运动。

最后我们学习了一个知识点——运动的合成与分解。

任何矢量都可以合成或分解。

对于力来说，我们有分力与合力；对于运动来说，就有分运动与合运动。

那么，分运动根据平行四边形法则相加可以得到合运动，它们二者之间满足怎样的特性呢？

有三大特性，请一位同学上黑板完成。

**，第一个，等时性：

各个分运动是同时进行的；第二个，独立性：

各个分运动之间互不影响，各自独立；第三个，等效性：

分运动与合运动的效果完全相同。

还有最后一个，我们学习了分运动与合运动之间的对应关系。

我写分运动的，同学们填合运动的。

①当两分运动都是匀速直线运动，合运动是？

②当一个分运动是匀速直线运动，另一个分运动是匀变速直线运动，合运动是？

③当两分运动都是匀变速直线运动，合运动是？

应该如何理解呢？

主要把握这么一点——F合与V合是否共线。

（结合PPT讲解）

【板书】

【新课教学】

那我就可以提一个非常好的问题了。

在之前，我们学过如何求解描述直线运动的物理量。

比方说，要求做直线运动物体的速度和位移，用什么公式？

Vt=v0+at,x=v0t+1/2at2还有印象吗？

嗯，那现在同样的，要让你求做曲线运动物体的速度和位移，会吗？

不会。

回答的还挺干脆啊。

有时候非常佩服导演啊，在电影前期设置一个不太起眼的小细节，然后到后半拉的时候发现这个小细节是如此之重要。

每部电影最典型的特点，就是到结尾最后一般坏人都死不了，突然从地底下冒出个手啊什么的，为什么埋下伏笔了？

拍续集。

在这里（手指对应关系）我也留了个细节。

我们要求曲线运动（特殊一点啊），匀变速曲线运动的速度与位移。

可以怎么做呢？

按照刚才分运动与合运动的对应关系先把它进行分解，分解成我们最熟悉的直线运动。

你来找找，哪儿有匀变速曲线运动？

这儿一个，这儿一个（红线勾画）。

也就是说，同样是匀变速曲线运动，可以分成什么？

一个匀速直线运动，一个匀变速直线运动；或者是两个分运动都是匀变速直线运动。

刚刚我们讲合运动与分运动具有等效性（红线勾画），所以合运动，也就是匀变速曲线运动的速度，加速度与两个分运动的速度合，加速度合都是怎么样的？

等效的。

那么求解匀变速曲线运动物理量的问题，至此就解决了。

我们采用的方法是“运动的合成与分解”，把它分解成什么呢？

直线运动。

这就是高考中常见的一种手段——“正交分解、化曲为直”：

变曲线形式的合运动为两个直线形式的分运动。

然后利用平行四边形定则再把两个分运动中待求的物理量进行合成，就可以得到最后的答案。

这个方法大家一定要掌握啊，要印在脑子里。

就好像一看到物理书，你会想到我（你真的有这种想法啊）；一看到匀变速曲线运动，一定要想到把它分解为两个直线运动去分析。

举个例子，一支粉笔被水平抛出，它的运动轨迹是一条抛物线。

也就是说，它做的是匀变速曲线运动。

已知粉笔在水平方向的初速度是5m/s，在竖直方向做自由落体运动，求在3秒末粉笔的速度是多少？

那遇到这种题目怎么办？

我来示范一下。

第一步，“化曲为直”：

这根粉笔的合运动是匀变速曲线运动，根据题意，可以分解为水平方向的匀速直线运动，和竖直方向的匀加速直线运动。

第二步，“求分物理量”：

写出水平分速度和竖直分速度的表达式，分别为v水=5m/s；v竖=gt=10*3=30m/s；第三步，“分量合成”：

利用平四法则，求合速度的大小是（52+302）1/2，方向是tanθ=1/6.

【板书】

好，再看一个例子。

不知道同学们喜不喜欢柯南【图片】，他是我们那会儿最喜欢的动漫人物之一，尤其是在快考试的当头，找幅柯南画像挂在桌前，心里面也很安慰。

不光是因为“挂科难”，主要是想拥有和柯南一样聪明的头脑。

好，今天我们就跟随柯南一起走进一个现场，当一回侦探。

【视频1】那么请问各位侦探，你认为当车速不低于多少时，柯南他们能够驾车飞到对面的大楼楼顶呢？

好，我们还原一下现场：

这两栋楼之间相距60米，高度差为20米，现在驾车从A位置飞到B位置，最低车速为多少？

怎么分析呢？

还是按照刚才的方法，汽车现在实际的运动轨迹是不是一条抛物线呢？

对，也就是说它在做匀变速曲线运动。

那我们可以把这个运动“化曲为直”，分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。

好，由于分运动之间具有等时性，所以汽车在水平和竖直方向经历的时间应该相等。

水平方向的时间是60/v，竖直方向经历的时间是1/2gt2=△H，所以t=（2*20/10）1/2=2s；由此可得，v=60/2=30m/s=108km/h.好，我们看看大家的推理是否正确？

【视频2】果然没错，看来完美的推理还是要以科学知识为基础的，我们不能盲目迷信。

【例1擦掉，板书】

好，接下来我们来讨论三类常见的“运动的合成与分解”问题。

【板书】

第一类，是“小船过河”问题（各点结合PPT）。

小船过河问题是这样的，我画一个图像出来。

这是一条河岸，其中有水。

水的速度为v2，在从左向右流动。

船的速度为v1，这个船速是什么意思呢？

就是船在静水中的速度。

这个小船过河呢，就有几个典型问题和它的具体分解。

A、均恒水速问题

第一种情况，是船速>水速。

就是咱们这个船性能不能太差了，至少比水流的速度大。

在这个前提下，有两个问题。

第一，如何渡河使时间最短？

第二，如何渡河使位移最小？

这两类问题在高考当中作为选择题出现过。

那么让你当船长应该怎么做？

其实船的速度已经固定了，你能改变的是谁？

只有船头的指向。

第一类，当船速大于水速，如何使时间最短？

实际上船在流水当中啊，第一，它要被水往下游冲；第二，船本身还有一个速度。

所以怎样就能让时间最短呢？

因为水流速度是横向的，并不影响渡河，只有谁影响渡河时间啊？

船速。

所以我们能够想到是不是当船头正对对岸，全力以赴往对岸开，所需时间最短。

在这种情况下，船实际发生的运动是不是应该是这两个速度的合成？

哎，是指向船的下游o’点的。

所以当船头正对对岸的时候，用时最短，又由于分运动与合运动具有等时性，在这个方向的时间和总时间相不相等？

相等，所以渡河时间就是t=d/v1，即河岸的宽度比上船速。

渡河位移就等于d/sinα（α为合速度与河岸的夹角）。

那考试题有时候喜欢这样问你：

“想要让渡河时间最短，船现在保持船头正对河岸开啊，结果走了一半突然洪水来了，船也到达了对岸，问时间变还是不变？

”哪种结果呀？

你第一感觉肯定是要变，不管变大变小一会儿再说。

实际上变不变？

不变！

为什么呀？

河岸的宽度没变，船速没变，用时t=d/v1就不变。

那哪个变了？

肯定有一个会变啊，是到达下游的距离变了。

你原来在这儿登岸的，水流突然大了，你跑到这儿，更下游的地方登岸去了。

明白了吧，时间是不变的，需要你了解。

这是第一个，第二个问题，渡河位移最短。

显然刚才船头正对对岸的模型，走过的距离不是最短，是一条斜线。

那怎么就最短了？

当船沿着出发点o以河岸的垂线方式去走，是不是就最短了？

对不对？

但实际上看，我们说这条船呢，第一它要参与水流的速度v2，那船要走垂线，它的合速度一定是沿着这个方向的，这样才能从o到o’点。

那我此时船头的方向还能不能指向河对岸了？

不能了。

根据矢量相加的平行四边形法则，可以知道：

船头应该指向上游，对吧？

但是这个指向上游可不是随意的，你看我现在画的这个位置是指向上游的，那这样是不是也是指向上游的？

所以在这里指向上游，就有个船头与河岸所成夹角的问题。

这个角θ等于多少？

其实就是这个角θ对吧？

等于多少？

你能告诉我等于多少吗？

注意啊，船头指向上游与河岸所成夹角的余弦值cosθ等于谁？

V2/v1，是不是这个？

也就是说等于V水比上V船。

所以你要想让渡河时间最短，就要把船头指向上游，船头与河岸的夹角不是任意的，是有确定值的，它的余弦值是V2/v1，也就是说水速比上船速。

此时，最短的渡河时间为t=d/v1sinθ.

好，这是第一个。

也是遇到的比较多的一种情况：

船速大于水速。

那么面临第二个情况——我的船速比水速小，假如咱们买了艘假冒伪劣的船，漏水了。

这是一个比较麻烦的情况。

在这个背景下，同样还是这两个问题：

渡河时间最短？

位移最小？

注意看啊，这个渡河时间最短，没有发生任何变化，仍然是船头正对对岸。

但是渡河位移最小，问题就出来了。

你看，水速沿水平方向，刚才我们是想让合速度垂直于对岸，是吧？

好，那根据三角形定则，船的速度是不是就是这个？

可以吗？

刚才是可以的，因为船速大于水速，所以斜边大于直角边。

现在船速小于水速，还能够实现吗？

实现不了了。

所以在这种情况下，最小距离肯定就不是河岸宽度d了，也就是说船会向下游飘移。

这个时候我们怎么办？

这个时候使用的方法是矢量三角形法。

我以水速v2的末端为圆心，以船速的大小为半径做圆（一扎做圆，注意我的操作！

“人体圆规”），然后过o点做圆的切线。

那么这就是船速v1，这就是合速度v合。

而这条线段所代表的长度就是最短的渡河距离。

也就是说合速度与圆相切的时候，渡河距离最短。

那我要是不相切的话，距离都比它长。

比方说任选不相切的两点A，B。

它们的合速度方向分别是这样，你发现，船走过的距离是不是比相切的要长？

所以在这个背景下，我们就说当合速度与原相切的时候渡河距离最短，但是这个最短呢，你发现这个船头还得指向上游。

这个时候，它和河岸的夹角θ，你看有什么要求？

就变成了cosθ=v1/v2，变成了船速比水速。

这两种情况都是余弦，但是它们表示的含义不一样。

那么在这里告诉大家一个做题技巧。

不管是水速大还是船速大，只要题目问到你当船头与河岸夹角的余弦值为多少时，所需距离最短。

你怎么办？

就用小的速度除以大的速度，这个规律能观察出来吧？

为什么？

因为余弦的值肯定小于1，对不对？

这是一个数学技巧。

而此时的最短位移为Smin=d/sinθ.

B、非均恒水速问题

【板书】

这就是我们看到的一个“小船渡河”的问题，好了。

这个我就说这么多，把它的基础概念记住就可以了。

下面我们看小船模型的第二个——“小船靠岸”。

实际上不完全是小船，很多东西都可以变成这个样子,所以它也叫作“牵连问题”。

这个模型是这样的：

底下是一条河，上面是一条小船。

通过光滑定滑轮，绳子的一头拴在船上，另一头速度是v0，拉着这个小船靠岸。

问小船将做怎样的运动？

匀速运动？

加速运动？

减速运动？

“小船靠岸”主要有两个概念：

第一个，是“细绳模型”，还有印象没有？

理想的绳和杆是刚性的，不可伸长的，长度是守恒的，就是说：

拉绳子的时候，用相同的时间，绳两端增加和减少的长度是相同的，所以在绳子两端，沿着绳子的方向，速度大小是怎么样的？

相等的。

同样的，在杆的两端，沿着杆的方向，速度大小也是怎么样的？

相等的。

这是第一个概念。

第二个概念，物体的实际速度一定是合速度。

（分解时两个分速度方向应取沿绳方向——平动和垂直于绳的方向——转动）。

这个概念咱们说了，但是你理解多少，掌握多少，在这道题里表现的非常清楚。

现在你来看一下，如果在一端绳子是以v0做匀速运动的，小船将做怎样的运动？

好多同学想这样做，不是说绳子中的速度相等吗？

所以这里的速度也是v0,，然后把这个速度正交分解，要求的就是水平方向的分速度v1，很显然，v1与v0存在三角关系v1=v0*cosθ，由于靠岸过程中，θ在增大，所以cosθ在减小，即v1在减小。

这样一种思想。

那这就是最典型的错误分解方法。

错在哪儿？

就错在你没有深刻认识合运动就是实际发生的运动（否则成了飞船了）。

你说这个v1是不是小船实际发生的运动？

是，所以它应该充当什么运动？

合运动。

这里把它当做什么了？

分运动了。

所以就不对。

再看这个竖直方向的v2可不可能存在？

小船还能飞起来呢？

不能。

所以它是不存在的。

那怎么做呢？

你看，船从这儿运动到这儿，实际发生的运动是这个，所以这是合运动，你要分解的是它。

题目给了v0了，所以一般这是一个分解方向；另外垂直于绳是不是还可以分解出一个速度？

对，那么由此得出：

v=v1/cosθ=vo/cosθ,说明小船的速度在变大（实际上，快靠岸的时候不拉绳，还要踹两脚），跟刚才的结论正好相反。

那这道题最重要的一点，就是你要清楚：

你分解的是谁？

是合运动，而不是分运动。

这个题可以演变到哪儿？

我拓展一下，这就比较难了，看看你能掌握到什么程度？

有这么一个题：

现在这儿呢，有一个定滑轮，定滑轮下方吊着一个物体。

可以认为是一个矿井，正往上升。

这根绳子通过定滑轮拉的时候，它不是一般意义上的拉，它是通过一辆汽车。

汽车往前是匀速开的，那自然要把这个重物拉上来，能理解吧？

我们问的是什么？

问的是这个物体受一个重力作用，受一个绳子拉力T的作用，我问你这个拉力T和重力G做比较而言，是比重力大？

还是小？

还是相等？

问这样一个问题。

拿到这样一个问题，你怎么入手？

咱们学过超重和失重。

要分析受力，先看运动：

如果加速上升，T>G；如果减速上升，T

所以关键点在哪儿？

就是看我这个物体的速度是如何变化的？

你要是能想到这儿的话，恭喜你，你现在可以和高三的同学去PK一把了，你的思维已经不输于他了；但是有的同学说，我还想不到这儿，没关系，你还可以再修炼修炼。

所以这个地方我们先分析速度。

小车实际的速度就是v0，那它就是合速度，我们把它正交分解为沿绳方向的速度v1和垂直于绳方向的速度v2，设与地面的夹角为θ。

那么就可以得到v1=v0*cosθ，由于一根绳子上速度总是相等的，所以v=v0*cosθ.小车向右行驶的过程中θ在减小，说明物体的速度在增大，也就是在做加速上升；具有向上的加速度；那么具有向上的加速度就必须具有向上的合外力；合外力等于谁？

T-mg，所以显然，我们就知道结论：

T>mg。

【视频】

【板书】

“小船靠岸”的受力分析

第三个，实际上不是很常见，顺带提一下。

就是风（雨）速模型。

我们还是以例题的形式来说一下。

一辆火车以16m/s的速度向东行驶，雨点的速度是12m/s，方向竖直向下.问：

火车上的人看到雨点的运动方向是朝哪儿？

好，不看这个题了，先问你个生活中的问题：

坐过汽车没有？

下雨天坐过汽车没有？

下雨天坐汽车看到过雨滴的飞行轨迹没有？

（生：

没有）我就你反的听你们的话了啊。

那个轨迹长啥样？

应该是斜的吧？

如果你看到雨滴是沿着车窗竖直往下落的，那只有一种情况：

就是汽车现在是静止不动的。

但凡汽车动，那都是斜的，能想起来吗？

生活中已经告诉你结果了。

车速向前，雨滴速度向下，你在车厢中看到雨滴是怎么飘的？

是这样向右下方飘的？

还是向左下方飘的。

哎，有一些同学认为是右下方，原因是什么？

哦，根据运动的合成。

但是结果恰恰不是这样。

【PPT视频】为什么？

参考系的问题。

你想想你在车厢中看到雨滴怎么飘？

参考系是谁？

是你。

所以雨滴相对于你有一个向左的速度，就是火车的速度16m/s，这个时候雨滴同时还具有一个向下的速度12m/s。

所以这道题关键在于参考系的确立：

如果以大地作为参考系，你在水平运动，雨滴并不动；但是如果以你为参考系，你是不动的，那雨滴就会得到一个水平方向的速度，就好像在火车里看电线杆一样，是不是原本不动的电线杆，以火车为参考系之后就往后退了？

【视频】对，那么这二者合成得到的合速度就是25m/s，方向朝左下方。

这就是这个轨迹的成因，明白了吧？

那同样的，风速问题。

什么是风啊？

就是空气的流动。

对吧，空气流动。

那这个风速是人感觉到的，在这个背景下，就有两种情况：

一种是人不动。

人站着不动的话，那人感觉到风向你吹来，就是风实际发生的速度。

没问题吧？

往哪个方向吹，你就能感觉到哪个方向的风。

什么西北风，东南风是吧？

但是有一种情况是人动：

假如人是沿着这个方向动的，那么刮风还是刮的这个方向的风，那么你说人感觉到风是朝哪儿刮的？

人是沿着正东方向运动的，风是沿着正南方向刮的，你感觉（晓明说：

“不要你觉得只要我觉得”，因为我是参考系）风是朝哪儿？

是不是沿着这一方向？

（比划东南方向）是这一方向吗？

是哪一方向？

和火车那个例子一样，人往东走，以人为参考系，相对人而言，风是向西吹的，再与向南的速度合成，总的速度是向哪儿吹的？

西南方向。

你会感觉到，实际风是朝这个方向刮的。

所以，人感觉到的是什么运动？

合运动。

以人为参考系的一种合运动。

（风向指风来的方向。

）

●思路

找中介参考系问题：

绝对速度=相对速度+牵连速度

再结合矢量的三角形合成的几种情况求解。

●“小船渡河问题”：

中介参考系——“水”

绝对速度：

小船与河岸之间的速度；

相对速度：

小船与水之间的速度；

牵连速度：

水与河岸之间的速度。

●“风速问题”：

中介参考系——“人”

绝对速度：

风与地面之间的速度；

相对速度：

风与人之间的速度；

牵连速度：

人与地面之间的速度。

曲线运动“曲直谈”：

●一般的曲线运动的解决方法：

“化曲为直，正交分解”；

●速度可分解为切向速度vt和径（法）向速度vn，

●加速度可分解为径、切向加速度an=

at=

●“小船靠岸”：

速度可分解为沿绳方向的平动径向速度vn，以及垂直于绳方向的转动切向速度vt。