数学分析课本华师大三版习题及答案第十七章0511214748.docx
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数学分析课本华师大三版习题及答案第十七章0511214748
第十七章多元函数微分学
、证明题
1.证明函数
J_x2y22
在点（0,0）连续且偏导数存在，但在此点不可微
22，xy=0
f（x,y）={x+y
c2,2c
0,x+y=0
2.证明函数
f（x,y）=*
（x2y2）sinJ2,
x+y
22
0,xy-0
在点（0,0）连续且偏导数存在，但偏导数在点（0,0）不连续，而f在原点（0,0）可微.
3•证明：
若二元函数f在点p（X0,y。
）的某邻域U（p）内的偏导函数fx与fy有界，则f在U（p）内连续•
4.试证在原点（0,0）的充分小邻域内有
arctgy-x+y.
1+xy
5.试证:
（1）乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和
（2）商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和
6.设乙/^,其中f为可微函数,验证
7.设Z=siny+f（sinx-siny）,
其中f为可微函数
证明—
ex
cZ
secx+——secy=1.
8.设f（x,y）可微，证明:
在坐标旋转变换
x=ucos0-vsin0,y=usin0+vcos0
之下.（fx2+（fy2是一个形式不变量，即若
g（u,v）=f（ucos0-vsin0,usin0+vcos0）.
则必有fx2+fy2=gu2+gv2.（其中旋转角b是常数）
9•设f（u）是可微函数,
F（x,t）=f（x+2t）+f（3x-2t）,
试求：
Fx（O,O）与Fg（0,0）
10..若函数u=F（x,y,z）满足恒等式
k
F（tx,ty,tZ）=t（x,y,z）（t>0）
则称F（x,y,x）为K次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理：
可微函数F（x,y,z）为K次
齐次函数的充要条件是：
xFxx,y,z+yFyx,y,z+ZFXx,y,z=KF（x,y,z）.
并证明:
Z=
xy2
x2y2
-xy为二次齐次函数
11..设f（x,y,z）具有性质ftx,tky,tmZ=tnf（x,y,z）（t>0）
证明：
（1）
f（x,y,z）=xnf
1,E
x
xj..
⑵xfx,y,z+kyfyx,y,z+mzfzx,y,z=nf（x,y,z）.
12.设由行列式表示的函数
D（t）=
an（t）a12（t）■■-am（t】a21（t）a22（t）a2n（t）
an1（t）an2（t）ann（t）
其中ajt（i,j=1,2,…,n）的导数都存在证明
anfi）a12（t）am（t
dD（t）,
dtkd
a；1（t）a：
2（t）akn（t）
an1（t）an2（t）•ann（t）
13.证明:
（1）grad（u+c）=gradu（c为常数）;
（2）graqd（au+3v）=agradu+3gradv（a,3为常数）;
（3）grsduv=ugradv+vgrsdu;
（4）gradf（u）=f（u）gradu.
14.设f（x,y）可微,Li与L2是R2上的一组线性无关向量,试证明若fjx,y=0（i=1,2）则f（x,y）三常数•
15.通过对F（x,y）=sinxcosy施用中值定理证明对某丁（0,1）,有
3
=coscossinsin
4336636
16.证明：
函数
u=
1
2a二t
（a,b为常数）
純詡2
满足热传导方程：
£H=a2—U
22
17.证明：
函数u=ln：
x-a•y-b（a,b为常数）满足拉普拉斯方程
.:
x2
=0.
18.证明：
若函数u=f（x,y）满足拉普拉斯方程
-2:
u-+
:
x
-2
:
u
—=0.则函数V=f（
y
x2y2
2'2）也满足此方程
xy
19.设函数u=：
:
x，证明：
22
.u:
:
u:
u:
:
u
I=1
2
x；x;y;y；x
20.设fx,fy和fyx在点（x0,y0）的某领域内存在,fyx在点（X°,y0）连续，证明fxy（X0,y0）也存在，且
fxy（X0,y0）=fyx（X0,y0）,
21.设fx,fy在点（x0,y0）的某邻域内存在且在点（X0,y0）可微,则有
fxy（X0,y0）=fyx（X0,y0）
二、计算题
1.求下列函数的偏导数：
2
（4）Z=ln（x+y）;
（5）Z=exy;（6）Z=arctg-;
x
sin（xy）
⑺Z=xye;
yZx
（8）u=;
xyz
z
yz
2.设f（x,y）=x+（y-1）arcsin
二求fx（x^.
3.
2
（1）Z=xy;
（2）Z=ycosx;
⑶Z=
y2
（10）u=x
（9）u=（xy）
设
f122
ysin2,xy=0
f（x,y）才x2+y2
0,x2+y2=0
考察函数f在原点（0,0）的偏导数•
4.证明函数z=•,x2y2在点（0,0）连续但偏导数不存在
5.考察函数
xysin―,x2y2=0
f（x,y）=*x+y在点（0,0）处的可微性
c2丄2c
Q,x+y=0
6.求下列函数在给定点的全微分；
（1）Z=x4+y4-4x2y2在点（0,0）,（1,1）;
x
⑵Z=在点（1,0）,（0,1）.
x2y2
7.求下列函数的全微分
（1）Z=ysin（x+y）;
yx-z
（2）u=xe+e+y
、/（y
8.求曲面Z=arctg—在点1,1,—［处的切平面方程和法线方程
xI4丿
222
9.求曲面3x+y-Z=27在点（3,1,1）处的切平面方程与法线方程.
10.在曲面Z=xy上求一点，使这点的切平面平行于平面x+3y+Z+9=0,并写出这切平面方程
和法线方程.
11.计算近似值：
23
⑴1.002X2.003X3.004;
（2）sin29°Xtg46°.
12.设园台上下底的半径分别为R=30cm,r=20cm高h=40cm.若R,r,h分别增加
3mm,4mm,2mm.求此园台体积变化的近似值
13.设二元函数f在区域D=[a,b]X[c,d]上连续
（1）若在intD内有fx三0,试问f在D上有何特性？
（2）若在intD内有fx=fy=0,f又怎样？
（3）在
（1）的讨论中，关于f在D上的连续性假设可否省略？
长方形区域可否改为任意区域？
22
x/y
14.
求曲面Z=与平面y=4的交线在x=2处的切线与OZ轴的交角.
4
15.
测得一物体的体积v=4.45cm3,其绝对误差限为0.01cm3,又测得重量W=30.80g,其绝对误差限为0.018，求由公式d=w算出的比重d的相对误差限和绝对误差限.
v
16.求下列复合函数的偏导数或导数：
（1）
设Z=arctg（xy）,y=ex，求翌;
ax
22x2■'y2
xy飞-—z:
Z
设Z=e,求，；
xy:
x:
y
、222cZ
设Z=x+xy+y,x=t,y=t,求;
dt
之；
-：
v
、2UCZ
设Z=xIny,x=—,y=3u-2v,求—
vcu
'u设u=f（x+y,xy）,求
ex
设u=f
-：
u
cu
，求,一
x:
y
-:
u
-Z
17.求函数
23
u=xy+z-xyz在点（1,1,2）处沿方向L（其方向角分别为60,°45°,60°）的方向导数.
18.求函数u=xyz在点A（5,1,2）处沿到点B（9,4,14）的方向AB上的方向导数.
222Z
19.求函数u=x+2y+3z+xy-4x+2y-4z在点A（0,0,0）及点B（5,-3,—）处的梯度以及它们的模
20.设函数u=ln1，其中
lr丿
r=*；（x_af+（y_0『+（z_cf
求u的梯度；并指出在空间哪些
点上成立等式gradu=1.
222
zxy
21设函数u=二22,求它在点（a,b,c）的梯度.
cab
22.设r=.r2y2z2試求：
1
（1）gradr;
（2）grad-.
r
23.设u=x3+y3+z3—3xyz,试问在怎样的点集上gradu分加满足:
（1）垂直于Z轴,
（2）平行于Z轴
（3）恒为零向量.
24.设f（x,y）可微丄是R2上的一个确定向量，倘若处处有fL（x,y）三0,试问此函数f有何特征?
25.求下列函数的高阶偏导数：
（1）Z=x4+y4—4x2y2,所有二阶偏导数；⑵Z=ex（cosy+xsiny）,所有二阶偏导数
-3-3
czcz
⑶Z=xln（xy）,2,厂
ex列cxdy
（4）u=xyzex+y+z
22
⑸Z=f（xy,xy）,所有二阶偏导数;⑹u=f（x2+y2+x2）,所有二阶偏导数;
x
（7）Z=f（x+y,xy,一）,Zx,zxx,Zxy.
y
26.求下列函数在指定点处的泰勒公式：
22
（1）f（x,y）=sin（x+y）在点（0,0）（至U二阶为止）;
X
⑵f（x,y）=在点（1,1）（至U三阶为止）;
y
（3）f（x,y）=ln（1+x+y）在点（0,0）;
（4）f（x,y）=2x2—xy—y2—6x—36+5在点（1,—2）.
27.求下列函数的极值点
33
⑴Z=3axy—x—y（a>0）;
22
⑵Z=x+5y—6x+10y+6;
2x2
⑶Z=e（x+y+2y）.
28.求下列函数在指定范围内的最大值与最小值
（1）Z=x2_y2,x,yx2+y2乞4，;
（2）Z=x2—xy+y2,£x,y网+|y|<^;
（3）Z=sinx+sing—sin（x+y）,《x,yKx,y収王0,x+y兰2）
29.在已知周长为2P的一切三角形中，求出面积为最大的三角形.
30.在xy平面上求一点，使它到三直线x=0,y=0,及x+2y—16=0的距离平方和最小.
31.已知平面上n个点的坐标分别是
A1x^y!
A2X2』2，…Anxn,yn.
试求一点，使它与这n个点距离的平方和最小.
111
32.设u=xyz
222
xyz
求
（1）ux+Uy+Uz；
（2）xUx+yUx+ZUz；（3）Uxx+Uyy+Uzz.
222
33.设f（x,y,z）=Ax+By+Cz+Dxy+Eyz+Fzx,试按h,k,L的下正整数幕展开f（x+h,y+k,z+L）.
三、考研复习题
1.设f（x,y,z）=x2y+y2z+z2x，证明
2
fx+fy+fz=（x+y+z）.
2.求函数
33
x-y22
22,xy
f（x,y）二Xy
一+y2=0
"0在原点的偏导数
fx（O,O）与fy（O,O）,并考察f（x,y）在（0,0）的可微
3.设u
0,x2
X1
2
X1
nA
X1
n二
2X
nA.nX
n-
证明：
⑴-
k=1tXk
=0；
n
'、X
kJ
.:
u
k：
：
Xk
n（n
2
^u.
4.设函数
f（x,y）具有连续的n阶偏导数：
试证函数g（t）=f（a+ht,b+kt）的n阶导数
dng（t）
dtn
5.设
L、r\
cc
h——k—
&勺丿
（x,y,z）二
\n
f（aht,bkt）.
a+x
b+y
c+z
d+z
e+x
f+y
g+y
h+z
k+x
fdx）
f2（x）
f3（X）
求二.
:
X
c①
）求.
）cxcydz
7.设函数u=f（x,y）在R2上有阴=0,试求u关于x,y的函数式.
8.设f在点p°（X0,y。
）可微且在p0给定了n个向量Li（i=1,2,…n）.相邻两个向量之间的夹角为
2n
仝，证明
n
6.设
①（x,y,z）二
n
二fLi（P°）=0•
id
g（y）g2（y）g3（yhj（z）h2（z）h3（z
9.设f（x,y）为n次齐次函数证明
f
c}
X
—
+y——!
f
GX
3）
二n（n「1）（n1）f.
10.对于函数f（x,y）=siny,试证
x
x——+y——
.£xcy
f=0.
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