数学分析课本华师大三版习题及答案第十七章0511214748.docx

1、数学分析课本华师大三版习题及答案第十七章0511214748第十七章多元函数微分学、证明题1.证明函数J_ x2y 2 2在点(0,0)连续且偏导数存在，但在此点不可微2 2，x y= 0f(x, y) = x +yc 2 , 2 c0, x +y =02.证明函数f(x, y) = *(x2 y2)sin J 2,x + y2 20, x y-0在点(0,0)连续且偏导数存在，但偏导数在点(0,0)不连续，而f在原点(0,0)可微.3证明：若二元函数f在点p(X0,y。)的某邻域U(p)内的偏导函数fx与fy有界，则f在U(p)内 连续4.试证在原点(0,0)的充分小邻域内有arctg y

2、- x+y.1 +xy5.试证:(1)乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和(2)商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和6.设乙/,其中f为可微函数,验证7.设 Z=sin y+f(sin x-sin y),其中f为可微函数证明excZsec x + secy=1.8.设f(x,y)可微，证明:在坐标旋转变换x=u cos 0 -v sin 0 , y=u sin 0 +v cos 0之下.(f x 2 + (f y 2是一个形式不变量，即若g(u,v)=f(u cos 0 -v sin 0 ,u sin 0 +v cos 0 ).则必有fx 2+ fy 2= gu 2+ gv 2.

3、(其中旋转角b是常数)9设f(u)是可微函数,F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t),试求：Fx(O,O)与 Fg(0,0)10.若函数u=F(x,y,z)满足恒等式kF(tx,ty,tZ)=t (x,y,z)(t0)则称F(x,y,x)为K次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理 ：可微函数F(x,y,z)为K次齐次函数的充要条件是：xFx x,y,z +yFy x, y,z + ZFX x, y,z =KF(x,y,z).并证明:Z=xy2x2 y2-xy为二次齐次函数11.设 f(x,y,z)具有性质 f tx,tky,tmZ = tnf (x,y,z)(t0)证明：(1)f(

4、x,y,z)= xnf1,Exx j . . xf x,y,z +kyfy x,y,z + mzfz x,y,z =nf(x,y,z).12.设由行列式表示的函数D(t)=an(t) a12(t ) - am(t 】 a21(t) a22(t) a2n(t)an1(t ) an2(t ) ann(t )其中aj t (i,j=1,2,n)的导数都存在 证明anfi) a12(t) am(tdD(t),dt kda；1(t) a：2(t) akn (t)an1(t) an2(t) ann(t )13.证明:(1)grad(u+c)=grad u(c 为常数);(2)graqd( a u+ 3 v

5、)= a grad u+ 3 grad v( a , 3 为常数);(3)grsdu v=u grad v+v grsd u;(4)grad f(u)= f (u)grad u.14.设f(x,y)可微,Li与L2是R2上的一组线性无关向量,试证明若fj x, y = 0(i=1,2)则f(x,y) 三常数15.通过对F(x,y)=sin x cos y施用中值定理 证明对某丁 (0,1),有3=cos cos sin sin43 3 6 6 3 616.证明：函数u=12a 二t(a,b为常数)純 詡2满足热传导方程：H=a2U2 217.证明：函数u=ln ： x - a y - b (a

6、,b为常数)满足拉普拉斯方程.:x2=0.18.证明：若函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程-2 :u -+:x-2:u=0.则函数V=f(yx2 y22 2 )也满足此方程x y19.设函数u= ：:x，证明：2 2.u : u : u : u I = 1 2x ；x;y ;y ；x20.设fx,fy和fyx在点(x 0,y0)的某领域内存在,fyx在点(X,y0)连续，证明fxy(X0,y0)也存在，且fxy(X0,y0)= f yx(X0,y0),21.设fx,fy在点(x0,y0)的某邻域内存在且在点(X0,y0)可微,则有fxy(X0,y0)= fyx(X0,y0)二、计算题1.求下

7、列函数的偏导数：2(4) Z=ln(x+y );(5) Z=exy; (6) Z=arctg -;xsin(xy) Z=xye ;y Z x(8) u= ;x y zzyz2.设 f(x,y)=x+(y-1)arcsin二求 fx(x.3.2(1) Z=x y; (2) Z=ycosx;Z=y2(10) u= x(9) u=(xy)设f 1 2 2ysin 2 ,x y =0f(x, y)才 x2+y20,x2 +y2 =0考察函数f在原点(0,0)的偏导数4.证明函数z= , x2 y2在点(0,0)连续但偏导数不存在5.考察函数xysin ,x2 y2 =0f(x, y) = * x +

8、y 在点(0,0)处的可微性c 2 丄 2 cQ,x + y =06.求下列函数在给定点的全微分 ；(1)Z=x 4+y 4-4x2y2 在点(0,0),(1,1);x Z= 在点(1,0),(0,1).,x2 y27.求下列函数的全微分(1)Z=ysi n( x+y);yx -z(2)u=xe +e +y、/ ( y8.求曲面Z=arctg 在点1,1,处的切平面方程和法线方程x I 4丿2 2 29.求曲面3x +y -Z =27在点(3,1,1)处的切平面方程与法线方程.10.在曲面Z=xy上求一点，使这点的切平面平行于平面 x+3y+Z+9=0,并写出这切平面方程和法线方程.11.计算

9、近似值：2 3 1.002 X 2.003 X 3.004 ;(2)sin29 X tg46 .12.设园台上下底的半径分别为 R=30cm, r=20cm 高h=40cm.若 R,r,h分别增加3mm,4mm,2mm.求此园台体积变化的近似值13.设二元函数f在区域 D=a,b X c,d上连续(1)若在intD内有fx三0,试问f在D上有何特性？(2)若在intD内有fx=fy= 0,f又怎样？(3)在(1)的讨论中，关于f在D上的连续性假设可否省略 ？长方形区域可否改为任意区域 ？2 2x /y14.求曲面Z= 与平面y=4的交线在x=2处的切线与 OZ轴的交角.415.测得一物体的体积

10、 v=4.45cm3,其绝对误差限为0.01cm3,又测得重量 W=30.80g,其绝对误 差限为0.018，求由公式d=w算出的比重d的相对误差限和绝对误差限.v16.求下列复合函数的偏导数或导数 ：(1)设 Z=arc tg(xy),y=e x，求 翌;ax2 2 x2 y2x y 飞-z :Z设Z= e ,求 ，；xy :x : y、 2 2 2 cZ设 Z=x +xy+y ,x=t ,y=t,求 ;dt之；-：v、 2 U CZ设 Z=x Iny,x= ,y=3u-2v,求v cuu 设 u=f(x+y,xy),求ex设u=f-：ucu，求,一x :y-:u-Z17.求函数2 3u=x

11、y +z -xyz在点(1,1,2)处沿方向L(其方向角分别为 60, 45 ,60 )的方向导数.18.求函数u=xyz在点A(5,1,2)处沿到点B(9,4,14)的方向AB上的方向导数.2 2 2 Z19.求函数u=x +2y +3z +xy-4x+2y-4z在点A(0,0,0)及点B(5,-3, )处的梯度以及它们的模20.设函数u=ln 1，其中lr丿r=*；(x _af +(y _0+(z_cf求u的梯度；并指出在空间哪些点上成立等式 gradu =1.2 2 2z x y21设函数u=二 2 2,求它在点(a,b,c)的梯度.cab22.设 r= . r2 y2 z2 試求：1(

12、1)grad r; (2)grad -.r23.设u=x3+y3+z3 3xyz,试问在怎样的点集上 grad u分加满足:(1)垂直于Z轴,(2)平行于Z轴(3)恒为零向量.24.设f(x,y)可微丄是R2上的一个确定向量，倘若处处有fL(x,y)三0,试问此函数f有何特征?25.求下列函数的高阶偏导数：(1) Z=x 4+y4 4x2y2,所有二阶偏导数； Z=e x(cos y+x sin y),所有二阶偏导数-3 -3c z c z Z=xln( xy), 2 , 厂ex 列 cxdy(4) u=xyze x+y+z2 2Z=f(xy ,x y),所有二阶偏导数; u=f(x 2+y2

13、+x2),所有二阶偏导数;x(7)Z=f(x+y,xy, 一),Zx, zxx, Zxy.y26.求下列函数在指定点处的泰勒公式 ：2 2(1) f(x,y)=sin(x +y )在点(0,0)(至U二阶为止);Xf(x,y)= 在点(1,1)(至U三阶为止);y(3)f(x,y)=ln( 1+x+y)在点(0,0);(4)f(x,y)=2x 2xyy2 6x 36+5 在点(1, 2).27.求下列函数的极值点3 3 Z=3axy x y (a0);2 2 Z=x +5y 6x+10y+6;2x 2 Z=e (x+y +2y).28.求下列函数在指定范围内的最大值与最小值(1) Z= x2

14、_y2,x,y x2 +y2 乞 4，;(2) Z= x2 xy +y2, x, y 网 +|y| ;(3) Z=sin x+s ing sin( x+y), x,y Kx,y 収王0,x + y 兰 2)29.在已知周长为2P的一切三角形中，求出面积为最大的三角形.30.在xy平面上求一点，使它到三直线x=0,y=0,及x+2y 16=0的距离平方和最小.31.已知平面上n个点的坐标分别是A1 xy! , A2 X22，An xn ,yn .试求一点，使它与这n个点距离的平方和最小.1 1 132.设 u= x y z2 2 2x y z求(1)ux+Uy+Uz； (2)xUx+yUx+ZU

15、z； (3)Uxx+Uyy + Uzz.2 2 233.设 f(x,y,z)=Ax +By +Cz +Dxy+Eyz+Fzx,试按 h,k,L 的下正整数幕展开 f(x+h,y+k,z+L).三、考研复习题1.设 f(x,y,z)=x 2y+y2z+z2x，证明2fx+fy+fz=(x+y+z).2.求函数3 3x -y 2 22 2 ,x yf(x, y)二 X y一 +y2 =00在原点的偏导数fx(O,O)与 fy(O,O),并考察 f(x,y)在(0,0)的可微3.设 u0,x2X12X1n AX1n 二2Xn A. nXn -证明： -k =1 tX k=0；n、XkJ.:uk ：X

16、kn(n2u.4.设函数f(x,y)具有连续的n阶偏导数：试证函数g(t)=f (a+ht,b+kt)的n阶导数dng(t)dtn5.设L、 rc ch k & 勺丿(x, y,z)二nf(a ht, b kt).a +xb +yc +zd +ze +xf +yg +yh +zk +xfd x )f2(x)f3(X)求二.:Xc)求 .)cxcydz7.设函数u=f(x,y)在R2上有阴=0,试求u关于x,y的函数式.8.设f在点p(X0,y。)可微且在p0给定了 n个向量Li(i=1,2,n).相邻两个向量之间的夹角为2n仝，证明n6.设(x,y, z)二n二 f Li(P) = 0 i dg( y) g2( y) g3( y hj(z) h2(z) h3( z9.设f(x,y)为n次齐次函数 证明fc X+ y! fGX3 )二 n(n1) (n1)f .10.对于函数f(x,y)=sin y,试证xx+y.x cyf=0.