大学物理第七章习题与答案.docx
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大学物理第七章习题与答案
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第七章振动学基础
一、填空
1．简谐振动的运动学方程是。
简谐振动系统的机械能
是。
2．简谐振动的角频率由决定，而振幅和初相位由决定。
3.达到稳定时，受迫振动的频率等于，发生共振的条
件。
-2㎏的小球与轻质弹簧组成的系统，按0.1cos（82）
4．质量为10xt的规律
3
做运动，式中t以s为单位，x以m为单位，则振动周期为初相位速
度最大值。
5．物体的简谐运动的方程为xAsin（t），则其周期为，初相位
6．一质点同时参与同方向的简谐振动，它们的振动方程分别为
x10.1cos（t），x20.1cos（t），其合振动的振幅为，初相位
44
为。
7．一质点同时参与两个同方向的简谐振动，它们的振动方程分别为
5
x10.06cos（t），x20.05cos（t），其合振动的振幅为，初相
44
位为。
8．相互垂直的同频率简谐振动，当两分振动相位差为0或时，质点的轨迹是
当相位差为或
2
3
2
时，质点轨迹是。
二、简答
1．简述弹簧振子模型的理想化条件。
2．简述什么是简谐振动，阻尼振动和受迫振动。
3．用矢量图示法表示振动x0.02cos（10t）,（各量均采用国际单位）.
6
-1-
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三、计算题
-3㎏的小球与轻质弹簧组成的系统，按X=0.1cos（8t+2/3）
4.质量为10×10
的规律做运动，式中t以s为单位，x以m为单位，试求：
（1）振动的圆频率，周期，初相位及速度与加速度的最大值；
（2）最大恢复力，振动能量；
（3）t=1s，2s，5s，10s等时刻的相位是多少？
（4）画出振动的旋转矢量图，并在图中指明t=1s，2s，5s，10s等时刻矢量的位
置。
5.一个沿着X轴做简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用
余弦函数表示，如果在t=0时刻，质点的状态分别为：
（1）X0=-A；
（2）过平衡位置向正向运动；
（3）过X=A/2处向负向运动；
（4）过X=
A
2
处向正向运动。
试求出相应的初相位之值，并写出振动方程。
-1，振幅为0.02m，若令速度具7.3做简谐振动的小球速度的最大值为0.03m·s
有正最大值的时刻为t=0，试求：
（1）振动周期；
（2）加速度的最大值；
（3）振动的表达式。
-2-
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6.有一系统做简谐振动，周期为T，初位相为零，问在哪些时刻，物体的动能
和势能相等？
7.一轻弹簧下挂一质量为0.1㎏的砝码，砝码静止时，弹簧伸长0.05m，如果
把砝码向下拉0.02m释放，求其振动频率，振幅和能量。
8.如图所示，两轻弹簧与物体m串联置于光滑水平面上，两端固定于墙面。
试
证，在这种情况下，振动频率为
f
1
2
KK
12
m
，式中k1，k2为两弹簧的劲
度
系数，m为物体的质量。
9.已知两个同方向简谐振动：
X1=0.05cos（10t+3/5），X2=0.06cos（10t+1/5），
式中x以m计，t以s计。
求合振动的振动和初相位；
另有一同方向简谐振动x3=0.07co（s10t+），问为何值时，x1+x3的振幅最小？
为何值时，x2+x3的振幅最小？
用旋转矢量法表示
（1）和
（2）的结果。
-3-
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第七章振动学基础答案
一、填空
1．xAcost，
11
222
EkA或mA2．系统自身的性质，初始条件
22
23．强迫力的频率，强迫力的频率等于系统的固有频率4．0.25s,,0.8（m/s）
32
5．,6．0.14，07．0.01，8．直线，正椭圆
24
二、简答
1．简述弹簧振子模型的理想化条件。
弹簧为轻弹簧，其质量可忽略。
物体可视为质点，所受阻力忽略不计。
2．简述什么是简谐振动，阻尼振动和受迫振动。
振动系统在线性回复力作用下，在平衡位置附近做的周期性的振动，称为简谐振
动。
系统在阻力作用下作振幅不断减小的振动叫阻尼振动。
系统在周期性外力作用下
所做的振动叫受迫振动。
3．用矢量图示法表示振动x0.02cos（10t）,（各量均采用国际单位）.
6
三、计算
-3㎏的小球与轻质弹簧组成的系统，按7.1质量为10×10
X=0.1cos（8t+2/3）的规律做运动，式中t以s为单位，x以m为单位，试求：
（1）振动的圆频率，周期，初相位及速度与加速度的最大值；
（2）最大恢复力，振动能量；
（3）T=1s，2s，5s，10s等时刻的相位是多少？
（4）画出振动的旋转矢量图，并在图中指明t=1s，2s，5s，10s等时刻矢量的位置。
解：
（1）将小球的振动方向与简谐振动的方程比较：
-4-
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X=Acos（t+）x=0.1cos（8t+
圆周率：
8；
2
3
）
周期：
T=
2
=
1
4
s；
2
初相位：
=
3
速度：
v=
dx
dt
=-Asin（t+）=-0.1×8sin（8t+
2
3
）
Vmax=0.1×8=2.5m/s
加速度：
a=
dv
dt
=-
2Acos（t+）=—（8）2×0.1cos（8t+
2
3
）
amax=0.1（8）
2=6.42=63.1m/s2
（2）最大恢复力：
-3×63.1N=0.631N
F=mamax=10×10
振动能量：
E=EK+EP=
1
2
KA
2=0.032J
（3）t=1s8
2
3
=t+=8×1+
2
3
=8
2
3
t=2s时16
2
3
=8×2+
2
3
=16
2
3
t=3s时40
2=8×5+
3
2=40
3
2
3
t=3s时80
2
3
=8×10+
2
3
=80
2
3
（4）当t=1s时=8
2
3
，矢量的位置和t=0时重合。
当t=2s时=16
2
3
，矢量的位置和t=0时重合。
当t=5s时=40
2
3
，矢量的位置和t=0时重合。
当t=10s时=80
2
3
，矢量的位置和t=0时重合。
10.一个沿着X轴做简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用
余弦函数表示，如果在t=0时刻，质点的状态分别为：
（1）X0=-A；
（2）过平衡位置向正向运动；
（3）过X=A/2处向负向运动；
-5-
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（4）过X=
A
2
处向正向运动。
试求出相应的初相位之值，并写出振动方程。
解：
x=Acos（t+）=
2
T
X==Acos（
2
T
t+）
（1）当x0=-A时，t=0时，cos=-1=
振动方程x=Acos（
2
T
t+）
（2）过平衡位置正向运动
已知：
t=0，x=0，v>0
X=Acos（
2
T
t+）=0t=0=
2
V=-A
2
T
sin（
2
T
t+）>0=-
2
振动方程：
x=Acos（
2
T
t-
2
）
（3）过x=
A
2
处向负向运动
已知t=0，x=
A
2
，v<0
由X=Acos（
2
T
t+）=0当t=0，x=
A
2
=
3
V=-A
2
T
sin（
2
T
t+）<0=
3
振动方程：
x=Acos（
2
T
t+
3
）
（4）过x=
A
2
处向正向运动
x=Acos（
2
T
t+）
当t=时，x=
A
2
且v>0
振动方程：
x=Acos（
2
T
t-
4
）
-1，振幅为0.02m，若令速度具7.3做简谐振动的小球速度的最大值为0.03m·s
-6-
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有正最大值的时刻为t=0，试求：
（1）振动周期；
4
3
-2
（2）加速度的最大值；0.045m·s
（3）振动的表达式。
3
2
rad/s
解：
Vmax=A=0.03m/s
-1，A=0.02m
=
3
2
rad/s
（1）T=
2
=
4
3
（2）amax=A
2=0.02×（
3
2
2=0.045m·s-2
）
（3）x=Acos（t+）
T=0时。
X=0，v>0
当t=0时，x=0则=，v=-Asin（t+）>0
2
则=-
2
振动表达式为：
x=0.02cos（
3
2
t-
2
）
11.有一系统做简谐振动，周期为T，初位相为零，问在哪些时刻，物体的动能
和势能相等？
解：
初相位为0，其振动表达式可以表示为：
X=Acost=Acos（
2
T
t）
动能等于势能，即
X=Acost
V=-A
2
T
sin（
2
T
t）
1
2
mA
22cos2t=
1
2
2
mA（
2
T
2cos（
）
2
T
t）
1
2
2（
mA
2
T
2cos2（
）
2
T
t）=
1
2
2（
mA
2
T
）sin2（
2（
2
T
）
2
cos（
2
T
2
t）=sin
（
2
T
）
又cos2（
2（
2
T
2（
t）+sin
2
T
）=1
-7-
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2
cos
（
2
T
t）=
1
2
2
t（k）（k0,1,2）
T4
k1
t（）T（k0,1,2）
28
12.一轻弹簧下挂一质量为0.1㎏的砝码，砝码静止时，弹簧伸长0.05m，如果
把砝码向下拉0.02m释放，求其振动频率，振幅和能量。
解：
mg=kx0.1×9.8=0.05kk=19.6N/m
2=
m
k
=14rad/s
振动频率：
f==2.2（Hz）
2
振幅：
A=0.02m
能量：
以平衡位置为零势面，系统总能量在砝码处于位移最大处的弹性势能
E=
1
2
kA
2=0.0392J
13.如图所示，两轻弹簧与物体m串联置于光滑水平面上，两端固定于墙面。
试
证，在这种情况下，振动频率为
f=
1
2
K1K2
m
，式中k1，k2为两弹簧的劲度
系数，m为物体的质量。
证明：
以物体m为隔离体,水平方向受
k,k的弹性力F1,F2,以平衡位置为原点建
12
立坐标系Ox，水平向右为x轴正方向。
设m处于O点对两弹簧的伸长量为0，
即两个弹簧都处于原长状态。
m发生一小位移x之后，弹簧
k的伸长量为x，弹
1
簧k2被压缩长也为x。
故物体受力为：
Fkxkx=（kk）x（线性恢复力）
x1212
m相当于受到刚度系数为k=k1k2的单一弹簧的作用
由牛顿第二定律：
2
dx
m（kk）x
212
dt
2
dx
m（kk）x=0
212
dt
-8-
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kk2120
m
f==
2
1
2
k1k2
m
14.已知两个同方向简谐振动：
X1=0.05cos（10t+3/5），X2=0.06cos（10t+1/5），
式中x以m计，t以s计。
求合振动的振动和初相位；
另有一同方向简谐振动x3=0.07co（s10t+），问为何值时，x1+x3的振幅最小？
为何值时，x2+x3的振幅最小？
用旋转矢量法表示
（1）和
（2）的结果。
解：
（1）合振动振幅：
22
A=A1A2A1A2cos（21）
2
代入数据得：
A=8.92×10
-2m
初相位
Tan=
A
1
A
1
sin
cos
1
1
A
2
A
2
sin
cos
2
2
代入数据得：
Tan=2.5
=1.19rad=68.2o
（2）-
5
3
=2k时，即
=2k+
5
3
时，x1+x3的振幅最大。
-1
5
=（2k+1）时，即
=2k+
6
5
时，x1+x3的振幅最小。
-9-
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